А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
|
|
3. kAVDOJ FUNKCII f 2 R1loc |
SOOTWETSTWUET OBOB]•ENNAQ FUNKCIQ |
||||||||||||||||
f |
2 |
O |
0, |
OPREDELENNAQ RAWENSTWOM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( ) |
|
|
|
|
|
f (') Z |
f(x)'(x) dx; ' 2 O: |
|
|
|
|
|
|||||||
pRI \TOM UKAZANNOE SOOTWETSTWIE IN_EKTIWNO. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI KORREKTNO OPREDELEN |
|
(!!) |
I |
f | |
LINEJNYJ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
||||
FUNKCIONAL NA O. uSTANOWIM NEPRERYWNOSTX FUNKCIONALA f . pUSTX |
|||||||||||||||||||
'n |
! ('n 2 |
O) I OTREZOK [a; b] TAKOW, ^TO supp('n ) [a; b] (n 2 N). |
|||||||||||||||||
tOGDA f ('n ) |
! 0 W SILU OCENKI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j f ('n)j Za jf(x)jj'n(x)j dx k'nk[a;b]Za jf(x)j dx |
|
|
|||||||||||
S U^ETOM TOGO |
, |
^TO W SILU B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
• |
|
|
|
|
( ) 'n =) . |
|
|
|
|
|
! f LINEJNO PO |
||||||
|
|
dOKAVEM IN_EKTIWNOSTX. tAK KAK SOOTWETSTWIE f |
|||||||||||||||||
f , DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO f = WLE^•ET f |
= 0. iTAK, |
PUSTX = |
|||||||||||||||||
f |
|
|
loc |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|||
2 R1 |
|
. |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET OTREZOK [a; b] |
|
R TAKOJ, ^TO IN- |
|||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||
TEGRAL |
Za f(x)dx NE IMEET OSOBENNOSTEJ NA [a; b] I |
Za |
jf (x)jdx > 0. sLE- |
||||||||||||||||
DOWATELXNO |
, f |
NEPRERYWNA P W |
NA |
[a; b], |
I ZNA^IT |
, |
NAJDETSQ |
x0 2 (a; b) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
• |
|||||||
| |
TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII |
f , |
W KOTOROJ |
f (x0 ) = 0; |
NAPRIMER |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
PUSTX f (x0) > 0. sLEDOWATELXNO, f STROGO POLOVITELXNA W NEKOTOROJ
OKRESTNOSTI |
(x0 |
, "; x0 + ") |
[a; b]. |
wOZXMEM |
|
|
O |
; ' 0; |
^TOBY |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
• ' 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
supp(') |
|
(x0 |
, |
"; x0 + "); '(x0) = 1. w SILU 50.3 POLU^IM f (') = |
||||||||||||||||||||||||
x0+" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Zx0 |
|
f (x)'(x) dx > 0, TO ESTX f |
= 0: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
,tAKIM OBRAZOM, OSU]ESTWLENO WLOVENIE |
loc |
W O0. oKAZYWAETSQ, PRO- |
|||||||||||||||||||||||||
STRANSTWO O0 [IRE, |
^EM |
|
loc |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R1 |
|
: SU]ESTWU@T OBOB]•ENNYE FUNKCII, NE QW- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loc |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
LQ@]IESQ FUNKCIONALAMI WIDA f (f 2 R1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4. [ -FUNKCIQ]. oPREDELIM FUNKCIONAL NA PROSTRANSTWE O FORMULOJ |
|||||||||||||||||||||||||||
(') = '(0) (' |
2 |
|
O). tOGDA 0 = |
|
2 |
O0 (!!). pOKAVEM, ^TO NE SU]ESTWUET |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)'(x)dx (' 2 |
||||
f 2 R1loc TAKOJ, ^TO = f . pUSTX, NAPROTIW, '(0) = Z |
||||||||||||||||||||||||||||
O), GDE f |
| NEKOTORAQ FUNKCIQ IZ |
R1loc. pOKAVEM TOGDA, ^TO f(x) = 0 |
||||||||||||||||||||||||||
P.W. (\TO BUDET OZNA^ATX, ^TO f |
= 0 W PROTIWORE^IE S TEM, ^TO = 0). |
|||||||||||||||||||||||||||
pUSTX x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
(= 0) | TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f . eSLI f(x0) = 0, TO |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
O TAK |
|
^TOBY |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
6 |
|
||||
LEGKO PODOBRATX |
' |
, |
0 |
|
|
supp(') |
(x0 |
"; x0 +"); '(x0) = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
271
1, GDE " > 0 TAKOWO, ^TO sgnf(x) = sgnf(x0) (x 2 (x0 , "; x0 + ")). w \TOM SLU^AE 0 = '(0) = Zx0," f (x)'(x) dx 6= 0 | PROTIWORE^IE. tAKIM OBRAZOM, f (x) = 0 P.W.
5. dLQ OBY^NYH FUNKCIJ f : R ! R PO SAMOMU OPREDELENI@ MOVNO
GOWORITX O ZNA^ENII f (x) FUNKCII f W TO^KE x. dLQ \LEMENTA f PRO- STRANSTWA Rloc1 \TO UVE NE TAK (WSPOMNIM, ^TO f | \TO KLASS FUNKCIJ,
OTLI^A@]IHSQ MEVDU SOBOJ NA MNOVESTWE LEBEGOWOJ MERY NULX). wY- BRAW FUNKCI@ | PREDSTAWITELQ KLASSA, MOVNO GOWORITX O E•E ZNA^ENIQH W TO^KAH. dLQ OBOB]ENNYH• FUNKCIJ UTRA^IWAETSQ I TAKOE PONIMANIE. oTMETIM, ODNAKO, ^TO PRI RASSMOTRENNOM WY[E WLOVENII Rloc1 W O0 PO OBOB]•ENNOJ FUNKCII f MOVNO WOSSTANOWITX ZNA^ENIE f W EE• TO^KAH NEPRERYWNOSTI. dEJSTWITELXNO, PUSTX x0 | TO^KA NEPRERYWNOSTI f , I
POSLEDOWATELXNOSTX 'n 2 O OPREDELENA USLOWIQMI 'n 0; supp('n) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 , n; x0 |
+ n); |
R |
'n (x) dx = 1. |
tOGDA PO TEOREME O SREDNEM |
50.4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
+ |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
f ('n ) = |
|
|
|
|
|
|
f(x)'n |
(x)dx = |
n |
|
|
|
'n(x) dx = n; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zx0, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zx0,n |
|
|
|
||||||||||||
GDE n |
2 |
[ |
|
1 |
|
inf |
|
|
|
|
1 |
|
f (x); |
|
sup |
|
|
|
f (x)]. tAK KAK f NEPRERYWNA W |
||||||||||||||||||
|
|
x0, |
x x0+ |
|
|
|
|
|
|
|
x0, |
1 |
x x0+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
TO^KE x0, TO n , f (x0 + |
1 |
) ! 0 (n ! +1). sLEDOWATELXNO, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x0) = lim f(x0 + |
|
1 |
) = lim[f(x0 |
+ |
1 |
) |
, |
n ] + lim n = lim n |
= lim f ('n ): |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
x170. pROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ D I S
wYBOR PROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ, KAK PRAWILO, DIKTUETSQ ZA- DA^AMI, KOTORYE PREDPOLAGAETSQ RE[ATX METODAMI TEORII OBOB]ENNYH• FUNKCIJ. oBY^NO \TO PROSTRANSTWA BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH, BYST- RO UBYWA@]IH NA BESKONE^NOSTI FUNKCIJ. rASSMOTRIM DWA HARAKTERNYH PROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ, OGRANI^IW[ISX SLU^AEM FUNKCIJ OD- NOGO PEREMENNOGO. tOPOLOGI^ESKIE STRUKTURY W NIH BUDEM OPISYWATX W TERMINAH SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. |TO WOZMOVNO, TAK KAK PRO- STRANSTWA OBLADA@T 1-J AKSIOMOJ S^ETNOSTI• (SM. 101.7).
1. pROSTRANSTWOM D NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE WEKTORNOE PROSTRAN- STWO FUNKCIJ, ZADANNYH NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, NEOGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ
272
DIFFERENCIRUEMYH I OBLADA@]IH KOMPAKTNYMI NOSITELQMI. sHODIMOSTX
W \TOM PROSTRANSTWE OPREDELENA USLOWIEM: POSLEDOWATELXNOSTX 'n ,!D , ESLI
(A) |
9[a; b] 8n 2 N (supp('n) [a; b]), |
||
(B) |
'(k) = (n |
+ ); k = 0; 1; 2; : : :, |
|
|
n |
) |
! 1 |
TO ESTX POSLEDOWATELXNOSTX 'n STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO WMESTE SO
WSEMI SWOIMI PROIZWODNYMI. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z A M E ^ A N I Q. 2. pROSTRANSTWO |
D NETRIWIALXNO1 |
. nAPRIMER, W D |
||||||||||
WHODIT FUNKCIQ '(x) = |
(x) |
|
exp |
|
|
|
(x R) (!!). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(0;1) |
|
|
f,x(1 , x)g |
2 |
|
|
|
|
|||
|
3. fUNKCII |
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) |
k'kk xsup2Rj'(k)(x)j |
(k = 0; 1; 2; : : :) |
|
|
|
||||||||
QWLQ@TSQ POLUNORMAMI W D |
I USLOWIE (B) P. 1 \KWIWALENTNO TOMU, ^TO |
||||||||||||
k'nkk ! 0 (n ! +1) PRI L@BOM k = 0; 1; 2; : : : . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. pROSTRANSTWOM S (PROSTRANSTWOM BYSTRO UBYWA@]IH NA BESKO- |
||||||||||||
NE^NOSTI FUNKCIJ) NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO NE- |
|||||||||||||
OGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ ', ZADANNYH NA ^I- |
|||||||||||||
SLOWOJ PRQMOJ I UDOWLETWORQ@]IH TREBOWANI@: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k'kk;m xsup(1R |
+ jxjm)j'(k) (x)j < +1 (k; m = 0; 1; 2; : : :): |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sHODIMOSTX W PROSTRANSTWE OPREDELENA USLOWIEM |
|
|
S |
|
ESLI |
k'kk;m ! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
: 'n ,! , |
|
0 (n ! +1); k; m = 0; 1; 2; : : : .
5. z A M E ^ A N I E. sPRAWEDLIWO WKL@^ENIE D S, KOTOROE SOGLASU-
D S
ETSQ SO STRUKTURAMI SHODIMOSTI: 'n ,! ) 'n ,! .
u P R A V N E N I Q. 6. pOKAVITE, ^TO POLUNORMY ( ) W PROSTRANSTWE D QWLQ@TSQ NORMAMI.
7. pOKAVITE, ^TO IME@T MESTO WKL@^ENIQ S TOGO, ' 2 S WLE^ET• '(k) 2 R1 (R) \ R2(R) (k 2 N).
8. sHODIMOSTX W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH FUNKCIJ D I S, OPREDELENNAQ•
W PP. 1 I 4, ESTESTWENNO SWQZANA S PODHODQ]IMI TOPOLOGIQMI W \TIH PRO- STRANSTWAH. oPI[ITE BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI ' 2 D (SOOTWETSTWENNO
273
' 2 S ) W SOOTWETSTWU@]EJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA D (SOOTWETSTWENNO
PROSTRANSTWA S ).
x171. lINEJNYE OTOBRAVENIQ W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH
FUNKCIJ
1. wS@DU NIVE ^EREZ O OBOZNA^AETSQ ODNO IZ PROSTRANSTW OSNOWNYH FUNKCIJ D ILI S. oTOBRAVENIE A : O ! O NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM,
O O
ESLI 'n ,! ' WLE^•ET A('n) ,! A(').
lINEJNOE OTOBRAVENIE A : O ! O NEPRERYWNO TTOGDA A NEPRERYWNO W TO^KE (!!). rASSMOTRIM OSNOWNYE PRIMERY LINEJNYH NEPRERYWNYH
OTOBRAVENIJ.
2. oPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ. oTOBRAVENIQ
D(N)(') '(N) (' 2 O; N 2 N)
| NEPRERYWNYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ W PROSTRANSTWE O. |
|
|
|||||||
rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLU^AJ PROSTRANSTWA S. s U^ETOM• |
170.3 IME- |
||||||||
EM |
|
S |
|
|
|
|
(N) |
|
|
|
'n |
,! |
|
) k'nkk;m |
|
! 0 (k; m = 0; 1; 2; : : :) ) kD |
'nkk;m = |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
k'nkk+N;m ! |
0 (n ! +1): |
|
> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
rASSMOTRIM TEPERX OPERACI@ UMNOVENIQ NA FUNKCI@. |
|
|
|
|||||
|
3. pUSTX |
|
: R ! R | PROIZWOLXNAQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ |
||||||
FUNKCIQ. oTOBRAVENIE T |
|
: D ! D, ZADANNOE RAWENSTWOM (T ')(x) |
|||||||
(x)'(x); ' |
2 D, ESTX LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PROSTRAN- |
||||||||
STWA D (!!). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~TOBY KORREKTNO OPREDELITX ANALOGI^NU@ OPERACI@ W PROSTRANSTWE |
S NAM PONADOBITSQ NEKOTORAQ PODGOTOWKA.
4. bESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@ : R ! R NAZOWEM• FUNK-
CIEJ POLINOMIALXNOGO ROSTA, ESLI DLQ L@BOGO k = 0; 1; 2; : : : NAJDUTSQ m = m(k) 2 N I KONSTANTA C > 0 TAKIE, ^TO j (k) (x)j C(1+jxjm); x 2 R.
5. p R I M E R. wSQKIJ POLINOM QWLQETSQ FUNKCIEJ POLINOMIALXNOGO ROSTA.
dOSTATO^NO USTANOWITX OCENKU ja0 + a1x + : : : + anxnj C(1 + jxjn ). uTWERVDENIE WERNO PRI n = 0. pUSTX ONO WERNO DLQ POLINOMOW STEPENI
274
n , |
1: tOGDA DLQ p(x) = a0 + a1x + : : : + anxn IMEEM |
|
||||||||||
j |
p(x) |
a0 + a1x + : : : + an |
1xn,1 |
nj |
+ |
an |
x |
n |
|
C (1 + x n,1) |
||
j j |
n |
, |
|
|
j |
|
jj j |
|
j j |
|||
|
+ janj(1 + jxj |
) C1 (1 + jxj |
|
); |
|
|
|
|
|
|
GDE C1 = maxfjanj; 2Cg: >
6. pUSTX | FUNKCIQ POLINOMIALXNOGO ROSTA. tOGDA OTOBRAVENIE
(T ')(x) |
|
(x)'(x); ' 2 S, QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRA- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
VENIEM PROSTRANSTWA |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
pUSTX k; m | PROIZWOLXNYE NEOTRICATELXNYE CELYE ^ISLA. tOGDA PRI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
PODHODQ]IH KONSTANTAH C1; C2 I CELYH mj |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x m )( (x)'(x))(k) |
|
= (1 + x m ) |
|
k |
|
k |
|
(j) (x)'(k,j)(x) |
|
|
||||||||||||||||||||
(1 + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kj j |
j jP=0 j |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 j=0(1 + jxjm)(1 + jxjmj )j'(k,j) (x)j |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
P (1 + |
j |
x |
m+mj ) |
'(k,j)(x) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
j=0 k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ' k,j;m+mj : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
. |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
pUSTX TEPERX |
'n ,! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
s U^ETOM DOKAZANNOGO NERAWENSTWA |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kT ('n )kk;m |
= |
sup(1 + jxjm)j( |
(x)'n (x))(k)j |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2Rk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 k |
|
|
k |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
! |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
P |
|
'n |
|
k,j;m+mj |
|
|
0 (n |
|
+ ): |
> |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. pREOBRAZOWANIE fURXE ]) | LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
BIEKTIWNO OTOBRAVA@]EE |
S NA |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
pUSTX ' 2 S . tOGDA OPREDELENO EE• PREOBRAZOWANIE fURXE '](x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
ixt |
|
PRI^EM |
|
] |
|
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ TAK KAK |
|
|
R |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
p2 Z '(t)e, |
|
|
|
|
|
|
|
2 R1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt, |
|
• ' |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
' |
( ), |
|||||||
SM. 170.7). pOKAVEM, ^TO '] 2 S. fORMALXNO DIFFERENCIRUQ POD ZNAKOM |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
INTEGRALA, IMEEM DLQ k 2 N: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(1) |
|
'](k)(x) = Z |
(t)e,ixt dt; |
|
GDE |
(t) = |
p |
1 |
(,it)k'(t): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
275
w SILU P. 6 2 S, I ZNA^IT, 2 R1 (R), OTKUDA INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI
(1) SHODITSQ RAWNOMERNO, TAK ^TO RAWENSTWO (1) SPRAWEDLIWO. iTAK, OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW. pOSLEDOWATELXNO INTEGRIRUQ PO ^ASTQM W (1), IMEEM
|
|
|
'](k)(x) = |
1 |
Z |
0(t)e,ixt dt = : : : = |
1 |
Z |
(m)(t)e,ixt dt; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ix |
(ix)m |
|
||||||||||
OTKUDA DLQ L@BYH k; m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2) |
k |
'] |
k |
k;m = sup(1 + |
x m ) |
'](k)(x) |
(t) dt + |
Z j |
(m) (t) |
dt < + |
: |
||||
|
|
x |
R |
|
j j j |
j Z j |
j |
j |
1 |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iTAK, '] 2 S. uSTANOWIM TEPERX, ^TO ]) | NEPRERYWNOE LINEJNOE OTO- |
|||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
'n ,! , |
|
|
|
|
k'nkk;m |
|
! 0 (n ! +1) |
|
|
|
|
|||||
BRAVENIE |
|
pUSTX |
S |
|
|
TO ESTX |
|
|
|
|
|
|
DLQ L@BYH |
||||||||||
k; m. tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(3) |
|
|
|
|
|
|
k'n]kk;m Z j |
n (t)j dt + Z j |
|
n(m)(t)j dt; |
|
|
|
|
|||||||||
GDE n(t) = |
p |
1 |
(,it)k'n (t). dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO INTEGRALY W PRA- |
||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
WOJ ^ASTI (3) STREMQTSQ K NUL@. dEJSTWITELXNO, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(m) |
(t)j dt = Z j |
(m) |
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Z j n |
n |
|
(t)j(1 + t |
)1 + t2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k nkm;2 Z 1 + t2 |
|
! 0 (n ! +1): |
|
|
|
|||||||||||
oSTALOSX UBEDITXSQ W BIEKTIWNOSTI OTOBRAVENIQ ]). s U^ETOM• |
168.6 |
||||||||||||||||||||||
'] = ) |
' = '][ = [ = , TO ESTX ]) IN_EKTIWNO. pUSTX ' 2 S PROIZ- |
||||||||||||||||||||||
WOLXNO. pOLAGAQ |
|
= '[, IMEEM |
2 S; ' = ], TAK ^TO ]) S@R_EKTIWNO. |
|
> |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
8. u P R A V N E N I E. pUSTX '0 |
2 S TAKOWA, ^TO '0(0) = 1. pOKAZATX, |
||||||||||||||||||||||
^TO OTOBRAVENIE A0 : S ! S, ZADANNOE RAWENSTWOM |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
['(t) , '(0)'0(t)]; ESLI t 6= 0, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(A0 |
')(t) = |
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( '0 (0) |
, |
'(0)'0 (0); |
|
ESLI t = 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRAVENIEM. fuKAZANIE: POKAZATX SNA^ALA, ^TO ' 2 S ) A0' 2 S . dLQ PROWERKI NEPRERYWNOSTI DOSTATO^NO
276
n
POLU^ITX OCENKU WIDA kA0'kk;m C P k'kkj ;mj . pUSTX, NAPRIMER, k = 0.
j=1
zAFIKSIRUEM > 0. tOGDA PRI jtj :
(1 + jtjm)j 1t ['(t) , '(0)'0 (t)]j 1(k'k0;m + j'(0)jk'0k0;m) C1k'k0;m;
PRI jtj < :
(1 + jtjm)j |
1 |
['(t) , |
'(0)'0 (t)]j = (1 + jtjm)j |
1 |
['(t) , '(0) |
t |
t |
||||
+ |
'(0)(1 , '0 (t))]j C2[k'k1;0 + k'k0;0]; |
||||
TAK ^TO kA0'k0;m C(k'k0;m + k'k1;0 + k'k0;0). g |
x172. oPREDELENIE OBOB]•ENNOJ FUNKCII
1. pUSTX O | PROSTRANSTWO OSNOWNYH FUNKCIJ. wS@DU NIVE O = D ILI S. oBOB]•ENNOJ FUNKCIEJ (NAD O) NAZYWAETSQ NEPRERYWNYJ LINEJ- NYJ FUNKCIONAL : O ! C . pRI \TOM NEPRERYWNOSTX ESTESTWENNO OZNA-
O
^AET, ^TO 'n ,! ) ('n ) ! 0.
nAM BUDET UDOBNO NESKOLXKO IZMENITX OBOZNA^ENIQ: WMESTO (') BUDEM PISATX h ; 'i. nA 1-M MESTE W FORME h ; i STAWITSQ OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ, A NA 2-M | OSNOWNAQ FUNKCIQ, ZNA^ENIE W KOTOROJ WY^ISLQETSQ. sOWO- KUPNOSTX WSEH OBOB]ENNYH• FUNKCIJ NAD O BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ O0.
w O0 ESTESTWENNO OPREDELQETSQ STRUKTURA KOMPLEKSNOGO WEKTORNOGO PRO- STRANSTWA:
h 1 + 2; 'i h 1; 'i + h 2; 'i; h ; 'i h ; 'i ( 2 C ):
zDESX 1-E RAWENSTWO OPREDELQET SUMMU 1 + 2 OBOB]•ENNYH FUNKCIJ, A 2-E | PROIZWEDENIE OBOB]ENNOJ• FUNKCII NA SKALQR .
|
2. |
|
|
|
|
. |
S0 D0 . f |
|
2 S0; 'n ,! ('n 2 D). |
|
|
|
|
z A M E ^ A N I E |
|
|
|
pUSTX |
D |
w |
|||
|
|
170.5 'n ,! , |
|
|
|
h ; 'ni ! 0. g |
|
|
|||
SILU |
|
S |
|
OTKUDA |
|
|
|
|
|||
Z |
p R I M E R Y. |
3. dLQ KAVDOJ FUNKCII f 2 R1loc RAWENSTWO hf; 'i |
|||||||||
f (x)'(x) dx (' 2 D) OPREDELQET OBOB]•ENNU@ FUNKCI@ hf; i NAD D. |
|
||||||||||
4. eSLI f |
2 R1loc TAKOWA, ^TO PRI NEKOTOROM m 2 N SPRAWEDLIWA OCENKA |
||||||||||
jf(x)j C(1 + jxjm) (x 2 |
R), TO RAWENSTWO |
hf; 'i Z f(x)'(x) dx (' 2 S) |
|||||||||
OPREDELQET OBOB]ENNU@• |
FUNKCI@ NAD S. |
|
|
277
5. rAWENSTWO h ; 'i '(0) (' 2 S ) OPREDELQET OBOB]•ENNU@ FUNK- CI@ NAD S ; ONA NAZYWAETSQ -FUNKCIEJ dIRAKA. -FUNKCIQ OBOZNA^AETSQ TAKVE SIMWOLOM (x), I UKAZANNOE WY[E RAWENSTWO ZAPISYWA@T W WI-
DE Z (x)'(x) dx = '(0): -FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ MATEMATI^ESKOE
WYRAVENIE PLOTNOSTI EDINI^NOJ MASSY, SOSREDOTO^ENNOJ W TO^KE x = 0. eSLI TAKAQ MASSA SOSREDOTO^ENA W TO^KE x = a, MY PRIHODIM K -FUNKCIIa (x , a), OPREDELQEMOJ RAWENSTWOM h a; 'i '(a) (' 2 S).
6. pUSTX f(x) = x1 (x 6= 0). pOLOVIM
(1) |
|
|
|
|
|
hf; 'i = |
v.p. Z |
|
'(x) |
dx (' 2 D): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
62 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
oTMETIM, ^TO f |
|
|
loc, |
TAK ^TO SITUACIQ OTLI^NA OT RASSMOTRENNOJ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FUNKCI@ NAD D. fpRAWAQ |
|||||||||||||
W P. 3. rAWENSTWO (1) OPREDELQET OBOB]ENNU@• |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
^ASTX (1) OPREDELENA W SILU PREDSTAWLENIQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(2) |
|
h |
f; ' |
|
= |
Z |
|
'(x) , '(0) dx + |
v.p. |
Z |
'(0) dx; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ESLI U^ESTX, ^TO INTEGRIROWANIE FAKTI^ESKI WED•ETSQ PO KOMPAKTNOMU |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'n |
,! |
|
||||||
MNOVESTWU |
|
NOSITEL@ FUNKCII |
|
2 |
pUSTX TEPERX |
|
|
|
D |
|
I OTREZOK |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[a; b] TAKOW, ^TO supp('n ) |
|
|
|
[a; b]; n |
|
|
N. eSLI 0 |
|
|
|
[a; b], TO |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b 'n (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
jhf; 'nij |
= jZa |
|
|
|
|
dxj k'nk0j ln |
|
j ! 0 (n ! +1): |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||
eSLI 0 2 [a; b], TO IZ (2) IMEEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
jh |
|
|
ij |
|
|
b |
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
Za |
b 'n(0) |
|
|
|
j |
|
j |
|
j |
|
|
|||||||
f; 'n |
= |
jZa |
'0 |
|
|
|
|
|
v.p. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
; |
n |
< 1: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( nx)dx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
iTAK, jhf; 'nij (b , a)k'nk1 + k'nk0 j v.p. Za |
|
|
x j ! 0 (n ! +1).g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO FUNKCIONAL hf; i IZ P. 6 QWLQETSQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
OBOB]•ENNOJ FUNKCIEJ NAD S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x173. sHODIMOSTX OBOB]•ENNYH FUNKCIJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. w WEKTORNOM PROSTRANSTWE O0 |
OBOB]ENNYH• |
FUNKCIJ NAD OSNOW- |
NYM PROSTRANSTWOM O WWODITSQ PONQTIE SHODIMOSTI: POSLEDOWATELXNOSTX
278
n 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
2 |
|
0 |
, |
|
|
|
|
h |
O |
|
NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K OBOB]ENNOJ FUNKCII |
|
O |
|
|
ESLI |
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
i |
|
h |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
||||
lim n; ' |
|
= |
|
; ' |
|
DLQ L@BOJ ' |
|
|
|
O. w SOOTWETSTWII S \TIM RQD |
|
|
1 k |
|||||||||||||||||||||
IZ OBOB]ENNYH FUNKCIJ |
k 2 |
O |
0 |
NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ K OBOB]ENNOJP |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
• |
|
||||
FUNKCII |
|
|
|
O |
ESLI K |
|
|
SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX |
kP=1 k |
EGO ^AST |
|
|||||||||||||||||||||||
NYH SUMM. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||
|
2. p R I M E R. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX OBY^NYH FUNKCIJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
i 2 S |
0. pRI \TOM DLQ L@BOJ |
|||||||||
fn |
= |
n |
|
|
|
(n |
|
|
|
N). w SILU 172.4 |
|
fn; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(0;1=n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
2 S |
|
hfn; 'i = |
Z |
|
'(t)dt = '( |
1 |
n) |
! '(0) (n ! +1) (0 < n < 1). |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
sLEDOWATELXNO |
|
|
|
; i ! |
(n ! +1), |
GDE |
|
FUNKCIQ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, hfn |
|
|
| - |
|
. |
|
|
|
|
|
|
x174. uMNOVENIE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ NA BESKONE^NO
DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII
1. pUSTX | PROIZWOLXNAQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ I 2 D0. tOGDA RAWENSTWO
( ) |
|
|
|
h ; 'i h ; 'i |
|
|
|
|
|
|
||||||
OPREDELQET OBOB]•ENNU@ FUNKCI@ |
NAD D. |
'n ,! |
. |
|
|
171.3 |
||||||||||
|
|
|
h ; i |
|
|
D (!!). |
|
|
|
|||||||
|
|
fUNKCIONAL |
|
|
|
LINEEN NA |
|
|
pUSTX |
|
S |
|
w SILU |
|
||
h |
|
; 'ni = h ; 'ni |
= h ; T 'ni ! 0 (n |
! +1): |
|
> |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
aNALOGI^NO IMEET MESTO UTWERVDENIE |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2. eSLI FUNKCIQ |
POLINOMIALXNOGO ROSTA, TO RAWENSTWO ( ) OPRE- |
|||||||||||||
DELQET OBOB]•ENNU@ FUNKCI@ |
NAD S (!!). |
|
POLOVIM x |
|
|
|||||||||||
|
|
3. w ^ASTNOSTI, DLQ (x) x (x 2 R) I 2 S0 |
|
, TAK |
||||||||||||
^TO x 2 S0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z A M E ^ A N I Q. 4. dANNOE WY[E OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OBY^NYM |
||||||||||||||
UMNOVENIEM FUNKCIJ. nAPRIMER, ESLI |
|
| BESKONE^NO DIFFERENCIRUE- |
||||||||||||||
MAQ FUNKCIQ, TO |
hf; i = h f; i; |
f 2 R1loc . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5. pROIZWEDENIE OBOB]ENNOJ• |
FUNKCII NA OBOB]ENNU@• |
FUNKCI@ OPRE- |
DELITX NEWOZMOVNO, ESLI TREBOWATX, ^TOBY \TA OPERACIQ BYLA NEPRERYW- NOJ I NA KLASSE OBY^NYH FUNKCIJ SOWPADALA BY S OBY^NYM UMNOVENIEM FUNKCIJ.
279
u P R A V N E N I Q. 6. nAJTI x.
7. nAJTI (x1)x, GDE x1 | OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ IZ 172.6. x175. dIFFERENCIROWANIE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ
1. pUSTX O = D ILI S. pROIZWODNOJ OBOB]ENNOJ• FUNKCII 2 O0 NAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ 0, OPREDELENNAQ• RAWENSTWOM
h 0; 'i ,h ; '0i; ' 2 O:
dANNOE OPREDELENIE KORREKTNO: 0 | LINEJNYJ FUNKCIONAL, EGO NE-
PRERYWNOSTX SLEDUET IZ 171.2. pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW: (n) ( (n,1))0 (n = 2; 3; : : :).
oPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ OBOB]ENNYH• FUNKCIJ SOGLASUETSQ S DIFFERENCIROWANIEM OBY^NYH FUNKCIJ.
2. pUSTX f 2 Rloc1 | GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [a; b] R. tOGDA DLQ OBOB]•ENNOJ FUNKCII hf; i 2 D0 IMEET MESTO RAWENSTWO hf; i0 = hf0; i.
pUSTX ' 2 D PROIZWOLXNA. oBOZNA^AQ ^EREZ hf; 'i0 ZNA^ENIE OBOB]ENNOJ• FUNKCII hf; i0 W TO^KE ', IMEEM
hf; 'i0 = |
,hf; '0i = , Z f (x)'0(x) dx |
||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ Z f0(x)'(x)dx = hf0; 'i: > |
||
= |
,f (x)'(x)j,1 |
3. z A M E ^ A N I E. oBRATIM WNIMANIE NA ZAME^ATELXNOE OBSTOQTELX- STWO: WSQKAQ OBOB]•ENNAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA (A ZNA^IT, OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW!). w ^ASTNOSTI, KAVDAQ FUNKCIQ f 2 Rloc1 , BUDU^I NE OBQZATELXNO DIFFERENCIRUEMOJ W OBY^NOM SMYSLE, KAK OB- OB]ENNAQ• FUNKCIQ UVE DIFFERENCIRUEMA I PRITOM SKOLXKO UGODNO RAZ.
|
4. pUSTX n |
|
( n; |
|
|
O0). tOGDA 0 |
|
0. eSLI = |
1 |
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
2 |
|
|
n ! |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||
( n; |
2 |
O |
0), |
TO |
0 |
= |
0 |
, |
TO ESTX SHODQ]IJSQ RQD IZ OBOB]ENNYH |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FUNKCIJ MOVNO DIFFERENCIROWATXP |
PO^LENNO. |
i |
|
|
n ! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
n |
h n |
|
i , |
n h |
i ,h |
|
|
|
|
|
|||||
|
dLQ |
' |
|
O |
: lim 0 |
; ' = |
lim n; '0 = |
; '0 |
|
, |
TO ESTX |
0 |
|
E |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0. 2- |
UTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ 1-GO. >
280