А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf(k1 ) X; Y 2 E ) X [ Y 2 E; (k2 ) X; Y 2 E ) XnY 2 E.
|TOT KLASS TAKVE UDOBNO AKSIOMATIZIROWATX:
2.nEPUSTAQ SISTEMA E ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ KOLXCOM MNO- VESTW W E , ESLI WYPOLNENY SWOJSTWA (k1) I (k2). w ^ASTNOSTI, KOLXCO S 1 W E NAZYWAETSQ ALGEBROJ MNOVESTW.
3.w KOLXCE E:
(i) ; 2 E, (ii) X; Y 2 E ) X \ Y 2 E; X Y 2 E .
4. wSQKOE KOLXCO QWLQETSQ POLUKOLXCOM.
w DALXNEJ[EM NAM PONADOBQTSQ KOLXCA S USILENNYMI STRUKTURNYMI SWOJSTWAMI:
5. kOLXCO (SOOTWETSTWENNO ALGEBRA) E W E NAZYWAETSQ -KOLXCOM (SO-
1
OTWETSTWENNO -ALGEBROJ), ESLI T Xn 2 E DLQ L@BYH Xn 2 E (n =
n=1
1; 2; : : :).
6.sEMEJSTWO A ^ASTEJ MNOVESTWA E QWLQETSQ ALGEBROJ (SOOTWET- STWENNO -ALGEBROJ) W E TTOGDA
(i)X 2 A ) Xc 2 A,
(ii)OB_EDINENIE WSQKOGO KONE^NOGO (SOOTWETSTWENNO S^•ETNOGO) SE- MEJSTWA PODMNOVESTW IZ A PRINADLEVIT A.
7.pUSTX fEigi2I | SEMEJSTWO KOLEC W E. tOGDA SEMEJSTWO E MNO- VESTW, PRINADLEVA]IH WSEM Ei, | TAKVE KOLXCO W E.
sEMEJSTWO E NE PUSTO, TAK KAK ; 2 E (SM. P. 3(i)). eSLI X; Y 2 Ei PRI L@BOM i 2 I, TO X [ Y; XnY 2 Ei , TAK KAK Ei | KOLXCA. pO\TOMU X [ Y; XnY 2 E, TAK ^TO (k1) I (k2 ) WYPOLNENY. >
8. pUSTX I | NEPUSTOE SEMEJSTWO ^ASTEJ MNOVESTWA E. tOGDA SU- ]ESTWUET KOLXCO E(I) W E, SODERVA]EESQ W L@BOM DRUGOM KOLXCE, SO- DERVA]EM I.
sEMEJSTWO fEigi2I WSEH KOLEC W E, OB_EML@]IH I, NE PUSTO, TAK KAK TUDA WO WSQKOM SLU^AE WHODIT KOLXCO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E. tOGDA E(I) = Ei | ISKOMOE KOLXCO. >
311
kOLXCO E(I) | NAIMENX[EE KOLXCO, SODERVA]EE I, I NAZYWAETSQ KOLX- COM, POROVD•ENNYM SEMEJSTWOM I. w OB]EM SLU^AE STRUKTURA E(I) SLOV- NA. oDNAKO, ONA OBOZRIMA, ESLI I | POLUKOLXCO:
|
|
9. eSLI I | POLUKOLXCO, TO E(I) SOSTOIT IZ MNOVESTW, DOPUSKA@- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 I). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]IH PREDSTAWLENIE X = k=1 Xk (Xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oBOZNA^IM ^EREZ E1 KLASS WSEH MNOVESTW X, DOPUSKA@]IH PREDSTAWLE- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NIE |
X = kP=1 Xk (Xk 2 |
I |
|
E |
1 |
E I |
|
W SILU |
|
|
|
~TOBY POLU^ITX OBRAT |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
). |
|
( ) |
|
|
(K1 ). |
|
|
|
|
n |
|
|
|
- |
|||||||||||
NOE WKL@^ENIE, POKAVEM, ^TO E1 QWLQETSQ KOLXCOM: ESLI X = |
k=1 |
Xk; Y = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
s=1 Ys |
(Xk; Ys |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 I), TO W SILU 191.8 SU]ESTWUET SEMEJSTWO fZtgt=1;:::;N |
|||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
\ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Zp = |
(t = p), |
^TO Xk |
= |
|
|
Zt (k = 1; n); Ys = |
|
|
Zt (s = 1; m), |
||||||||||||||||||
I; Zt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
t |
k |
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
GDE k; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
s |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1; : : : ; N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
g |
. pO\TOMU P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
s f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N
X [ Y = X Zt;
t=1
XnY = |
|
S |
X |
S |
Zt; |
|
t |
( |
) ( |
0 ) |
|||
2 |
|
k |
k |
n |
s |
s |
|
|
|
|
|
OTKUDA X [ Y 2 E1; XnY 2 E1, TAK ^TO (K1 ) I (K2) UDOWLETWORQ@TSQ. iTAK, E1 | KOLXCO, I E1. iZ P. 8 ZAKL@^AEM, ^TO E(I) E1: >
10.u P R A V N E N I E. sFORMULIROWATX I DOKAZATX UTWERVDENIQ PP. 7{9 DLQ ALGEBR MNOVESTW.
11.uTWERVDENIQ PP. 7-8 OBOB]A@TSQ NA -ALGEBRY MNOVESTW. w ^AST- NOSTI, ESLI I | NEPUSTOE SEMEJSTWO ^ASTEJ E, TO SU]ESTWUET NAIMENX[AQ-ALGEBRA A, SODERVA]AQ I; ONA NAZYWAETSQ -ALGEBROJ, POROVDENNOJ• J.
w PRILOVENIQH WAVNOE ZNA^ENIE IME@T -ALGEBRY, POROVD•ENNYE TOPO-
LOGIQMI. eSLI (E; T ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO -ALGEBRA, PO- ROVDENNAQ• SEMEJSTWOM T WSEH OTKRYTYH MNOVESTW, NAZYWAETSQ BORELEW- SKOJ ALGEBROJ W E I OBOZNA^AETSQ B(E). w ^ASTNOSTI, ^EREZ B(R); B(Rn ) OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNO BORELEWSKIE ALGEBRY NA ^ISLOWOJ PRQMOJ I W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.
12.u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO -ALGEBRA W R, POROVD•ENNAQ SEMEJSTWOM WSEH PROMEVUTKOW WIDA [a; b) (a; b 2 R) SOWPADAET S B(R).
312
x194. pRODOLVENIE MERY S POLUKOLXCA NA KOLXCO
1. pUSTX S I S0 | POLUKOLXCA W E . mERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA)
|
! |
+ |
|
|
|
m0 : S0 |
|
R+ NAZYWAETSQ PRODOLVENIEM MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO- |
|||
ADDITIWNOJ MERY) m : S ! R , ESLI S S0 I mX = m0X (X 2 S). |
|||||
2. wSQKAQ MERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA) NA POLUKOLXCE S DOPUS- |
|||||
KAET EDINSTWENNOE PRODOLVENIE DO MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO- |
|||||
ADDITIWNOJ MERY) NA KOLXCE E(S). |
|
||||
pUSTX m : S ! R+ | MERA (KONE^NO-ADDITIWNAQ MERA). kAVDOE MNO- |
|||||
VESTWO X 2 E(S) PREDSTAWIMO W WIDE |
|
||||
|
|
|
n |
|
|
(1) |
|
X = |
X |
Yi |
(Yi 2 S): |
|
|
|
i=1 |
|
|
pOLOVIM m0X = |
n mYi . pOKAVEM, ^TO FUNKCIQ m0 OPREDELENA ODNO- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZNA^NO |
. |
pUSTX |
|
|
Ps |
|
|
|
S |
) | |
E]E ODNO PREDSTAWLENIE |
X. |
w SILU |
|||||||||||
|
|
|
|
|
X = k=1 Zk (Zk 2 |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p |
|
|
2 |
S |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iZ ADDITIWNOSTI |
|
NA |
|||
( 1) Yi Zk |
|
, |
|
|
• Yi = |
k |
YiZk; Zk |
= |
i |
|
YiZk. |
|
|
|
m |
|
||||||||
S IMEEM: |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
mYi = |
|
mYiZk = |
|
|
|
|
mYiZk = mZk : |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i k |
|
|
|
|
|
k |
|
i |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X X |
|
|
|
|
X X |
|
|
X |
|
|
|
|
iTAK, ZNA^ENIE m0 NA MNOVESTWAH KOLXCA E(S) NE ZAWISIT OT SPOSOBA PREDSTAWLENIQ \TIH MNOVESTW \LEMENTAMI POLUKOLXCA S. pRI \TOM m0 KONE^NO-ADDITIWNA NA E(S) (!!). eSLI DALEE, m00 : E(S) ! R+ | E]•E ODNO PRODOLVENIE MERY (SOOTWETSTWENNO KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY) m, TO W
OBOZNA^ENIQH (1) m00X = |
P |
m00Yi = |
P |
mYi = m0X . tAKIM OBRAZOM, m0 | |
|
i |
|
i |
|
EDINSTWENNOE PRODOLVENIE m NA E(S). nAKONEC, OSTALOSX PROWERITX, ^TO |
|||||||
ADDITIWNA |
, |
KOLX SKORO |
ADDITIWNA |
m. |
pUSTX |
1 |
(X; Xn 2 |
m0 - |
|
- |
|
X = n=1 Xn |
|||
E(S)), I |
|
|
|
|
|
P |
|
ssn
X = |
X |
Yi; Xn = |
X |
Ynj |
(n = 1; : : :); Yi; Ynj 2 S: |
||||||
i=1 |
j=1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
pOLOVIM Yinj = YiYnj ; |
fYinj g |
| SEMEJSTWO POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ |
|||||||||
MNOVESTW IZ S, PRI^EM Yi = |
P |
Yinj ; Ynj = |
P |
Yinj . w SILU -ADDITIWNOSTI |
|||||||
|
|
|
|
n;j |
|
|
|
i |
|
313
MERY m : mYi = |
P |
mYinj ; mYnj = |
P |
mYinj I |
|
|
|
||||||
|
n;j |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
m0X = |
mYi |
= |
P P |
mYinj = |
P P |
mYinj = |
P |
mYnj |
|||||
|
|
P sn |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
i n;j |
|
|
|
n;j i |
|
n;j |
|
||
= |
1 |
mYnj = |
1 |
m0Xn: |
|
> |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
P P |
P |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n=1 j=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
w KA^ESTWE PRILOVENIQ POLU^ENNOGO REZULXTATA POKAVEM, ^TO WOZMOVNOSTX RASPROSTRANITX SWOJSTWO 192.4 NA POSLEDOWATELXNOSTI MNOVESTW HARAKTERIZUET MERY.
3. kONE^NO-ADDITIWNAQ MERA m : S ! R+ NA POLUKOLXCE S QWLQETSQ MEROJ TTOGDA DLQ WSQKOGO X 2 S I L@BOGO EGO S^•ETNOGO POKRYTIQ fXng (Xn 2 S) WERNO NERAWENSTWO
|
mX |
X |
(2) |
1 mXn: |
|
|
|
n=1 |
dOSTATO^NOSTX SLEDUET IZ 192.3. dLQ DOKAZATELXSTWA NEOBHODIMOSTI OGRANI^IMSQ SLU^AEM, KOGDA S | KOLXCO. fdEJSTWITELXNO, ESLI S | POLUKOLXCO, TO, PRODOLVIW MERU m DO MERY m0 NA E(S), ZAMETIM, ^TO NERAWENSTWO (2) BUDET SPRAWEDLIWO, ESLI SPRAWEDLIWO SOOTWETSTWU@]EE
NERAWENSTWO DLQ m0 |
. |
g |
dLQ DANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI X1; X2; : : : POLO- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n,1 |
|
|
|
VIM Y1 = X1X; Y2 |
|
= (XX2)nX1; : : : ; Yn = (XXn )n(i=1 Xi); : : : . tOGDA |
||||||||||
Yn 2 S; Yn Xn , |
TAK ^TO mYn |
mXn . pRI \TOM SMNOVESTWA Yn PO- |
||||||||||
PARNO NE PERESEKA@TSQ I |
|
|
1 |
|
tAK KAK |
ADDITIWNA |
, |
POLU^AEM |
||||
|
|
|
|
|
X = n=1 Yn . |
|
m - |
|
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
mX = n=1 mYn n=1 mXn: |
> |
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x195. wNE[NQQ MERA
1. pUSTX S | POLUKOLXCO S 1 W E I m | MERA NA S. dLQ WSQKOGO
X E OPREDELIM |
X |
inf |
mXn |
|
|
X [Xn; Xn2S X |
|
(inf BER•ETSQ PO WSEM KONE^NYM ILI S^•ETNYM POKRYTIQM X). tAKIM OBRA- |
|||
ZOM OPREDELENNAQ• |
FUNKCIQ NAZYWAETSQ WNE[NEJ MEROJ (PO OTNO[ENI@ |
K MERE m). oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA WNE[NEJ MERY:
314
|
2. X + Xc mE (X E), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3. |
|
X = |
|
|
|
inf |
|
|
|
|
|
mXn |
(X |
|
E), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Xn |
; Xn2S P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. (i=1 Xi ) i=1 Xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
PROIZWOLXNYE S^ETNYE POKRYTIQ SOOTWET |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
pUSTX |
fXng; fYkgc |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
||||||||||||||||||
STWENNO MNOVESTW X; X |
|
|
\LEMENTAMI POLUKOLXCA. w SILU 194.3 mE |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n mXn + |
|
|
mYk . |
bERQ W \TOM NERAWENSTWE |
inf |
|
PO WSEM S^ETNYM POKRYTI |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X + |
|
k |
mYk . sNOWA BERQ inf PO |
||||||||||||||||||||||||
QM fXng |
MNOVESTWA X , POLU^IM mE |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WSEM S^ETNYM POKRYTIQM |
|
fYkg |
MNOVESTWA |
X |
c |
, |
POLU^AEM TREBUEMOE |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3. zDESX UTWERVDAETSQ, ^TO PRI WY^ISLENII MOVNO OGRANI^ITXSQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WZQTIEM inf PO S^ETNYM• |
POKRYTIQM POPARNO NEPERESEKA@]IMISQ MNOVES- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TWAMI POLUKOLXCA S (!!). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4. |
pUSTX |
" > 0 | |
PROIZWOLXNO |
I DLQ KAVDOGO |
i |
PUSTX |
X |
n |
g |
|
|
S^ETNOE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n | • |
|
|
||||||||||||||||||
POKRYTIE Xi |
\LEMENTAMI POLUKOLXCA |
S TAKOE, ^TO |
|
|
|
f n i |
|
|
|
|
|
i |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
mXi |
|
< Xi +"2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tOGDA |
X |
|
|
|
|
1 |
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
, |
PRI^EM |
|
|
|
|
n |
|
= |
|
P |
|
|
|
|
n |
|
< ( Xi + |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
iS=1 |
i;nS |
Xi |
|
|
• |
|
mXi |
|
|
|
n |
|
mXi |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi;n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
"2, |
) = " + |
|
i |
Xi. sLEDOWATELXNO, X < " + |
|
i |
|
Xi . iZ PROIZWOLXNOSTI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
" SLEDUET TREBUEMOEP |
. |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5. u P R A V N E N I E. eSLI X1; X2; : : : | POPARNO NE PERESEKA@TSQ, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Xn X; Xn 2 S, TO n=1 mXn X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x196. iZMERIMYE MNOVESTWA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1. pUSTX m | MERA NA POLUKOLXCE S 1 S W MNOVESTWE E I | SOOT- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WETSTWU@]AQ WNE[NQQ MERA. mNOVESTWO X ( |
|
E) NAZYWAETSQ IZMERIMYM |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PO lEBEGU, ESLI X + X |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= mE. kLASS L WSEH IZMERIMYH PO lEBEGU |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MNOVESTW ZAWISIT OT POLUKOLXCA S I MERY m : |
|
L = L(S; m). nA[A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CELX | IZU^ENIE WOZMOVNOSTI PRODOLVENIQ MERY m NA KLASS L. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. E(S) |
L(S; m). pRI \TOM m0X = X (X |
2 E(S)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
pUSTX |
|
|
|
|
2 |
E S |
|
|
tOGDA |
|
|
|
|
|
GDE |
fXng |
|
|
KONE^NOE SEMEJSTWO |
||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
X |
|
( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = Xn , |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||
IZ |
. |
sLEDOWATELXNO |
, X |
P |
mXn |
= m0X. |
|
aNALOGI^NO |
, |
X |
|
|
m0X . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
oTS@DA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mE X + Xc m0X + m0Xc |
= mE; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
315
TAK ^TO X 2 L(S; m) I, W ^ASTNOSTI, X = m0X: > sFORMULIRUEM OSNOWNOJ REZULXTAT \TOGO PARAGRAFA.
3. t E O R E M A. kLASS L IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW QWLQETSQ ALGEBROJ, A FUNKCIQ jL (OGRANI^ENIE NA L) | MERA.
dOKAVEM PREDWARITELXNO LEMMU.
4. pUSTX X 2 L I
PRI^•EM |
X X Xi; Xc X Xj0 (Xi; Xj0 2 S); " > 0; |
||
|
|
mX < X + "=2; mX0 |
< Xc + "=2: |
|
|
j |
|
tOGDA i;j |
mXiXj0 |
". |
|
P |
|
N | PROIZWOLXNY, fZkg | KONE^NAQ SISTEMA POPARNO |
|
pUSTX s; t 2 |
|||
NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW TAKAQ, ^TO |
|
st
|
|
|
|
|
|
|
n |
X |
|
|
|
|
X |
Xj0 )) = |
X |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
(( Xi) |
|
( |
|
Zk ; Zk |
S: |
|
||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
[ |
j=1 |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Xs+1; Xs+2; : : : ; X0 |
|
|
; X0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
tOGDA |
|
|
|
|
; : : : | POKRYTIE MNOVESTWA |
Zk I |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t+1 |
|
t+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
mZk = m0 |
( |
P |
Zk ) s+1 mXi + t+1 mXj0 . tAKIM OBRAZOM, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
s |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i=1 mXi Xj0 = |
|
i=1 mXi + j=1 mXj0 |
+ k |
mZk , mE |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 mXi + j=1 mXj0 |
, mE < ": |
> |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO TEOREMY 3 PROWEDEM• PO SLEDU@]EMU PLANU:
5.pOKAVEM, ^TO L ZAMKNUT OTNOSITELXNO OPERACII c ).
6.pOKAVEM, ^TO X; Y 2 L WLE^•ET X [ Y 2 L.
7.uSTANOWIM, ^TO = j L | KONE^NO-ADDITIWNA.
iZ PP. 5,6 TOGDA SLEDUET, ^TO L | ALGEBRA, A IZ P. 7, 195.4 I 194.3 WYTEKAET, ^TO -ADDITIWNA NA L, I TEOREMA DOKAZANA. iTAK, OSTALOSX USTANOWITX PP. 5{7.
316
dOKAZATELXSTWO P. 5:
X 2 L ) Xc + Xcc = Xc + X = mE ) Xc 2 L:
dOKAZATELXSTWO P. 6. pUSTX X; Y 2 L I fXig; fXj0g; fYpg; fYq0g | PO- KRYTIQ SOOTWETSTWENNO MNOVESTW X; Xc; Y; Y c \LEMENTAMI S TAKIE, ^TO WNUTRI KAVDOGO SEMEJSTWA MNOVESTWA POPARNO NE PERESEKA@TSQ I
(1) |
mXi < X + "=2; |
|
mX0 < Xc + "=2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P mYp < Y + "=2;P mYq0 < Y c + "=2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tOGDAPSEMEJSTWA |
|
|
P |
|
|
|
POKRYTIQ |
|
X |
[ |
Y |
I |
(X [ |
c |
||||
|
|
|
fXi; Xj0Ypg; fXj0Yq0g | |
|
|
|
|
|
Y ) |
|||||||||
SOOTWETSTWENNO. sLEDOWATELXNO, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(2) |
(X |
Y ) + ((X |
|
Y )c) |
|
X |
mXi + |
X |
mX0 Y 0 |
+ |
X |
mX0Y 0: |
|
|||||
|
[ |
|
|
[ |
|
|
|
|
|
j |
p |
|
|
j q |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j;p |
|
|
|
|
j;q |
|
|
|
oCENIM POSLEDNIE DWA SLAGAEMYH W PRAWOJ ^ASTI (2). pUSTX p0; q0 | FIKSIROWANNYE ^ISLA. tOGDA
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
q0 |
|
|
|
|
|
1 Xq q0 |
|
|
|
|
|||
mXj0 |
|
X |
mXj0 Yp + |
X |
mXj0 |
Yq0 , |
mXj0YpYq0; |
|
|||||||||||||||
|
|
p=1 |
|
|
|
|
q=1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
OTKUDA p0 mXj0 Yp + |
q0 |
mXj0 Yq0 |
|
mXj0 + |
P |
mXj0 YpYq0. tAK KAK Xj0YpYq0 |
|
||||||||||||||||
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p=1 |
|
|
q=1 |
|
|
|
|
|
|
p;q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
YpYq0 I Xj0YpYq0 POPARNO NE PERESEKA@TSQ PO j, |
IMEEM j |
mXj0YpYq0 mYpYq0. |
|||||||||||||||||||||
iZ P. 4 OTS@DA |
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
P |
|
|
|
|||||
X X |
mXj0YpYq0 |
= |
mXj0 |
YpYq0 |
|
mYpYq0 |
": |
|
|||||||||||||||
j p;q |
p;q |
|
|
j |
p;q |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tEPERX IZ PROIZWOLXNOSTI p0; q0 POLU^AEM |
X |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
X |
mXj0Yp + |
X |
|
mXj0Yq0 |
|
mXj0 + ": |
|
|
||||||||||||||
|
j;p |
|
|
|
|
|
j;q |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
tAKIM OBRAZOM, IZ (2) SLEDUET S U^ETOM• (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(X [ Y ) + ((X [ Y )c) < X + Xc + 2" = mE + 2"; |
|
||||||||||||||||||||||
I IZ PROIZWOLXNOSTI " : |
(X [ Y ) + ((X [ Y )c) |
= mE, TO ESTX |
|||||||||||||||||||||
X [ Y 2 L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
317
dOKAZATELXSTWO P. 7. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO X; Y 2 L; X \ Y = ; WLE^ET• (X + Y ) = X + Y . w SILU 195.4 NUVNO LI[X POKAZATX, ^TO (X + Y ) X + Y . sNOWA RASSMOTRIM SISTEMU POKRYTIJ, OPRE- DEL•ENNU@ W (1). tOGDA
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
XiYp ( |
|
|
XiXj0 |
) [ ( |
q;p |
YpYq0): |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
i;p |
|
|
|
|
|
|
|
j;i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
fdEJSTWITELXNO, PUSTX ! |
2 |
|
XiYp I, NAPRIMER, ! 62Xj0 . tOGDA ! 62Y |
|||||||||||||||||||||||
(TAK KAK X \ Y = ;), A ZNA^IT, SU]ESTWUET q TAKOE, ^TO ! 2 Yq0, TO ESTX |
||||||||||||||||||||||||||
! 2 YpYq0.g w SILU P. 4 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
X |
mXiYp |
|
|
mXiXj0 |
+ |
mYpYq0 2": |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
p;i |
i;j |
|
p;q |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
pUSTX DALEE i0; p0 FIKSIROWANY I fZsg |
| KONE^NAQ SISTEMA POPARNO NE- |
|||||||||||||||||||||||||
PERESEKA@]IHSQ MNOVESTW IZ S TAKAQ, ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
i0 |
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
[ |
X |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
Zs = ( Xi) |
( |
|
Yp): |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
p=1 |
|
|
|
|
|
|
||
pUSTX fUkg |
| POKRYTIE MNOVESTWA X + Y POPARNO NEPERESEKA@]IMISQ |
|||||||||||||||||||||||||
MNOVESTWAMI IZ S TAKOE, ^TO |
|
P |
mUk < (X + Y ) + 3". tOGDA |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
mUkXi + |
|
|
mUkYp = m(Uk( Zs )) + |
|
mUkXiYp: |
|
||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
p=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
i;p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sUMMIRUQ PO k, IMEEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i0 |
|
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
X |
|
|
X |
|
||||||
X X |
|
|
X X |
mUkYp |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
mUkXi+ |
|
p=1 |
|
|
|
|
mUk + m[( Uk)XiYp] |
|
mUk+2": |
||||||||||||||||
k i=1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
i;p |
|
|
k |
|
|
k |
|
||||
iZ PROIZWOLXNOSTI i0; p0, POLU^AEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
X |
mUkXi |
+ |
X |
mUkYp < (X + Y ) + 3": |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
i;k |
|
|
|
|
|
|
k;p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pOSKOLXKU fUkXigk;i; |
fUkYpgk;p |
|
| POKRYTIQ SOOTWETSTWENNO X I Y \LE- |
|||||||||||||||||||||||
MENTAMI S, POLU^AEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X + Y ) = X + Y X mUkXi + X mUkYp < (X + Y ) + 3":
i;k k;p
318
oSTA•ETSQ U^ESTX PROIZWOLXNOSTX ".
8. mERA , OPREDELENNAQ• USLOWIQMI TEOREMY 3, NAZYWAETSQ MEROJ lE- BEGA, POSTROENNOJ PO MERE m NA POLUKOLXCE S.
9. oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ESLI E = [0; 1]; S | POLUKOLXCO PROMEVUT- KOW ha; bi [0; 1] I mha; bi = b , a, TO KLASS L(S; m) QWLQETSQ ALGEBROJ IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW NA E , A = j L NAZYWAETSQ MEROJ lEBEGA NA OTREZKE [0; 1]. aNALOGI^NO, ESLI S | KLASS PRQMOUGOLXNIKOW W [0; 1] [0; 1], A m | PLO]ADX, TO SOOTWETSTWU@]AQ MERA NAZYWAETSQ PLOSKOJ MEROJ lEBEGA NA [0; 1] [0; 1].
10. p R I M E R [NEIZMERIMOGO PO lEBEGU MNOVESTWA]. pUSTX |
LINEJNAQ MERA lEBEGA NA PROMEVUTKE [ |
1; 2), I R | OTNO[ENIE \KWIWA- |
|
LENTNOSTI NA [0; 1) : R(x; y), ESLI x , y,2 Q. tOGDA [0; 1) RAZBIWAETSQ NA |
||
NEPERESEKA@]IESQ SMEVNYE KLASSY. wYBEREM W KAVDOM KLASSE PO ODNOJ |
||
TO^KE I OBRAZUEM IZ NIH MNOVESTWO X |
[0; 1). pOKAVEM, ^TO X NEIZ- |
|
MERIMO. pUSTX, NAPROTIW, X IZMERIMO. tOGDA (X + q) = X (q 2 Q), |
||
GDE X + q = fx + q j x 2 Xg. eSLI q1; q2 |
; : : : |
| POSLEDOWATELXNOSTX WSEH |
|
1 |
(X + qk) [,1; 2). sLEDOWA- |
RACIONALXNYH ^ISEL IZ [,1; 1), TO [0; 1) k=1 |
||
TELXNO, |
1P X 3; |
|
1 1 (X + qk ) = |
||
k=1 |
k=1 |
|
X |
X |
|
^TO NEWOZMOVNO ( X = 0 PROTIWORE^IT OCENKE SNIZU, A X > 0 | OCENKE SWERHU).
u P R A V N E N I Q. 11. pUSTX m | MERA NA POLUKOLXCE S S 1, A m0
| EE• PRODOLVENIE NA E(S). pOKAVITE, ^TO DLQ X E: |
|||
A |
inf |
|
m0Xn, |
( ) X = |
|
||
|
X [Xn; Xn2E(S) P |
|
|
(B) ESLI A 2 E(S); X \ A = ;, TO (X + A) = X + m0A. |
|||
12. pUSTX | MERA lEBEGA NA L(S; m) A | MERA, OPREDELENNAQ• NA |
|||
L(S; m) I TAKAQ, ^TO j S = m. uBEDITESX, ^TO = . |
|||
13. w OBOZNA^ENIQH 192.9: |
|
1 |
|
f! 2 j i=1 !i < 1g = 0. |
|||
|
|
|
P |
319
x197. sLU^AJ POLUKOLXCA BEZ 1 |
|
|
|
|
||||
1. |
pUSTX S | |
POLUKOLXCO (WOZMOVNO, BEZ 1) W |
MNOVESTWE E I |
|||||
m : S ! R+ | MERA. dLQ KAVDOGO A 2 S POLOVIM |
|
|
||||||
|
|
|
SA fBA j B 2 Sg; mAX mX (X 2 SA): |
|
||||
kLASS |
SA |
QWLQETSQ |
POLUKOLXCOM S 1 W |
MNOVESTWE |
A(!!), A |
FUNKCIQ |
||
mA : |
SA |
! |
R+ | |
MERA NA SA . pUSTX |
|
| WNE[NQQ MERA |
(PO OTNO- |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
[ENI@ K MERE mA). sLEDU@]EE UTWERVDENIE POKAZYWAET, ^TO SEMEJSTWO
f |
AgA2S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
W ESTESTWENNOM SMYSLE QWLQETSQ SOGLASOWANNYM: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2. pUSTX A; B |
2 |
S I X |
|
|
AB. |
tOGDA X = X. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
B |
|
|
A |
f |
|
g |
|
|||||
|
sLU^AJ: B |
|
|
A. o^EWIDNO, X |
|
|
|
X . oBRATNO, ESLI |
|
Xn |
( |
|
SA) | |
|||||||||||||||||||||
S^ETNOE POKRYTIE |
X, |
TO SEMEJSTWO |
fXnBg |
S |
B |
I PO PREVNEMU QWLQETSQ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
||||||||||
POKRYTIEM X. kROME TOGO, |
|
mXnB |
P |
mXn. |
oTS@DA X |
X . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
A |
|
|
|
oB]IJ SLU^AJ. s U^ETOM• |
|
WKL@^ENIJ AB A; AB B IMEEM DLQ |
||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
AB W SILU 1-GO SLU^AQ: X |
= |
X = X: |
|
> |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
AB |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dLQ KAVDOGO A S MY MOVEM RASSMOTRETX LEBEGOWSKOE PRODOLVENIE |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A j |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
LA, |
GDE |
|
|
S |
A; mA ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
LA |
|
L( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3. |
mNOVESTWO |
X( |
E) |
|
NAZYWAETSQ |
IZMERIMYM PO lEBEGU, ESLI |
||||||||||||||||||||||||||
XA |
2 |
LA PRI L@BOM A |
2 |
S. oBOZNA^IM SNOWA ^EREZ L = L(S; m) KLASS |
||||||||||||||||||||||||||||||
WSEH IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. kLASS L(S; m) QWLQETSQ -ALGEBROJ.
1-J SLU^AJ: S | POLUKOLXCO S 1. dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO DLQ POSLE- |
|||||||||
|
2 |
n,1 |
|
|
S |
|
|
1 |
|
DOWATELXNOSTI Xn |
|
L MNOVESTWO X = |
n |
Xn PRINADLEVIT L. pOLOVIM |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 = X1; Yn = Xnn(i=1 Xi ) (n > 1). qSNO, ^TO Yn 2 |
L I X = n=1 Yn. |
||||||||
sLEDOWATELXNO, |
|
S |
|
|
X |
X |
P |
||
|
|
X |
|
||||||
(1) |
|
1 Yn = |
1 Yn: |
|
|||||
|
|
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
||
dALEE IZ WKL@^ENIQ Xc |
|
( N |
Yn)c SLEDUET, ^TO |
|
|||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xc mE , |
N |
|
|
|
||
(2) |
|
|
X |
Yn : |
|
||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
320