МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

Ахметжанова Г.В., Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Плотникова С.Г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

по высшей математике

часть II

Тольятти 2006

УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 Т 93

Научный редактор

д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

Т-93 Теоретический материал по высшей математике: учебно-методический материал для студента. Часть II. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Плотникова С.Г. - Тольятти: ТГУ, 2006.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.

УДК 51(075.8) ББК 22.1я173 ♥ Тольяттинский Государственный Университет

2

3

Модуль 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производная функции

Определение производной, её геометрический и механический смысл

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной функции.

Задача 1. Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим S

– путь, пройденный точкой, а t – время. Путь, пройденный точкой за время t зависит от t и изменяется по некоторому закону S = S (t). Отметим некоторый момент времени t0 и поставим задачу определить скорость материальной точки V0 в момент времени t0. Для этого рассмотрим

за время t составит отношение Vср = St . Эта средняя скорость отличается от мгновенной

скорости в момент t0, и тем ближе величина Vср к скорости V0, чем меньше промежуток t. Устремим t к нулю (пишут t → 0), тогда предел, к которому стремится средняя скорость, и является скоростью нашей точки V0 момент t0.

В последней формуле рассматривается предел отношения приращения пути S к приращению времени t.

Задача 2. Рассмотрим график непрерывной функции y = f (x). Возьмём на этом графике точку M 0 (x0 , y0 ) и поставим задачу написать уравнение касательной прямой к графику

y = f (x), проведённой в точке M0 (рис. 1).

Рис. 1.

Точка M0 имеет координаты (x0, y0 ) = f (x0 ); дадим переменной x приращение x и

переместимся по графику из точки M0 в точку M (в нашем случае x>0 и мы переместились вправо от точки M0).

Координаты M можно вычислить. Абсцисса M равна x0+ x, а ордината y = f (x0 + x). На сколько изменилось значение функции y = f (x) при перемещении из точки M0 в точку M? Это

изменение функции называется приращением функции, обозначается y и вычисляется так:

y= f (x0 + x)− f (x0 ).

Вслучае нашей функции (возрастающая) y>0. Прямая M0M называется секущей и её наклон к оси Oх определяется тангенсом угла β. Угловой коэффициент секущей

5

Если теперь неограниченно уменьшать приращение x, x → 0 , то приращение функции y → 0 (наша функция непрерывна). При этом секущая M0M неограниченно приближается к

положению M0K. Это предельное положение секущей и есть прямая, которая является касательной к графику y = f (x) в точке M0. Угол β наклона секущей к положительному

направлению оси OX превратится в угол наклона касательной α. Тогда угловой коэффициент

Из рассмотренных ранее задач получаем, что скорость прямолинейного движения

В этом состоит механический смысл производной. Вторая задача приводит нас к геометрическому смыслу производной. Мы получили, что угловой коэффициент касательной к кривой проведённой в точке M0 (x0, y0), есть f ′(x0 ). Поэтому уравнение касательной к графику в

точке M0 имеет вид:

y − y0 = K (x − x0 ), или y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 )

Для производной в точке x0 можно использовать и другие обозначения, например: y′(x0 ),

dydx (x0 ), dfdx (x0 ), y′ x= x0 .

Мы дали определение производной функции y = f (x) в точке x0. Такую производную можно вычислять в различных значениях x, величина её зависит от этого значения. Поэтому можно говорить о производной функции, определённой на некотором множестве значений x. Производную функции обозначают f ′(x).

Вернёмся к рис. 1. Мы показали, что при движении из точки х0 в точку х0 + х по графику функции y = f (x) ордината точки получает приращение у = f (x0 + х)- f (x0). На рисунке это приращение у равно отрезку NM. Если же двигаться из точки х0 в точку х0 + х по касательной, проведённой в точке М0, то ордината получит приращение, равное отрезку KN. Вычислим величину этого приращения. Из треугольника M0KN следует: катет KN = M0N tgα. Так как tgα = f′ (x0), а M0N = х, то NK = f′ (x0) х.

Произведение производной f′ (x0) на приращение х называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x0. Обозначают дифференциал dy(x) или df(x). Поэтому можно написать dy = df(x) = f′ (x) х. Для приращения независимой переменной имеем х = dx, и поэтому дифференциал записывается в виде df = f′ (x) dx.

Заметим, что приращение функции у при малом приращении х = dx по величине «очень мало» отличается от приращения по касательной, т.е. от дифференциала dy. Так как касательная в точке М0 «почти совпадает» с кривой в малой окрестности точки х0, то разность ( у − dy) стремится к нулю «быстрее», чем х, при х → 0. Это обстоятельство используется в приближённых вычислениях.

6

Основные правила дифференцирования

Если функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы в точке x, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (c u)′ = c u′, где с – постоянная; 2. (u ± v)' = u' ± v';

Пусть функция у = f (u), где u = u (х). Тогда у есть сложная функция от х: у = f (u (х)), а u – промежуточный аргумент. Чтобы найти производную этой сложной функции, применяют следующее правило:

Например, если у = cos 3 х, то (см. таблицу основных формул дифференцирования), обозначив u = соs х, получим у = u 3.

Тогда у′x = 3u 2 u′x; у′x = 3соs 2 х (-sin х).

Таблица основных формул дифференцирования

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведённой ниже таблице формул дифференцирования используется промежуточный аргумент «и».

Дифференцирование функций, заданных неявно

Если функция задана уравнением у = f (x), разрешённым относительно y, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F (х; у) = 0, не разрешённого относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно заданную уравнением f (x) - у = 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у +

2х + соs у - 1 = 0 или 2 y - х + у = 0).

Если неявная функция задана уравнением F (х; у) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продиффиринцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х и полученное затем уравнение разрешить относительно у′.

7

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример. Найти производную функции у, заданную уравнением х3 + у3 – 3ху = 0.

Решение: функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3 + у3 – 3 х у = 0. Из полученного соотношения 3х2 + 3 у2 у′ - 3 (1 у + х у′) = 0 следует, что у2у′ - ху′ = у - х2, т.е.

у′ = у − х2 . у2 − х

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

x = x(t),y = y(t),

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдём производную у'х, считая, что функции имеют производные и что функция

х = х (t) имеет обратную t = ϕ (x). По правилу дифференцирования обратной функции

t′ = 1′ .

x xt

Функцию у = f (х), определяемую параметрическими уравнениями (1.3), можно рассматривать как сложную функцию у = y (t), где t = ϕ (x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х = у′t t′x. С учётом равенства (1.4) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример. Найти производную функции

(х2 + 2) 4 (х−1)3 ех

Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

8