Несобственные интегралы

Определенный интеграл ∫b f (x)dx , где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а

a

подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; +∞). Если существует конечный предел

lim ∫b f (x)dx , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

b→+∞ a

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл

+∞

∫ f (x)dx расходится.

a

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

45

1. Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции f(x) и ϕ(х) удовлетворяют условию 0 ≤

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b] и имеет бесконечный разрыв при х = b.

Если существует конечный предел limb∫−ε f (x)dx , то его называют несобственным интегралом

ε →0 a

b

второго рода и обозначают ∫ f (x)dx .

а

46

Таким образом, по определению,

же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл ∫b f (x)dx

а

расходится.

Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то полагают

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

b

В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода ∫ f (x)dx (разрыв в точке x = b)

а

можно толковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример. Вычислить ∫1 dx .

0 x2

Решение:

Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

Пусть на промежутке [а; b] функции f(x) и ϕ(х) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤ f(x) ≤ ϕ(х). Из сходимости интеграла ∫b ϕ (x)dx вытекает

интеграла ∫b ϕ (x)dx .

а

Пусть функции f(x) и ϕ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв.

сходятся или одновременно расходятся.

47

Функция f(x) = sin1 x имеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим

функцию ϕ(х) = 1 . Интеграл x

Геометрические приложения

Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком [а; b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с (а; b) на части [а, с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [a; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с, b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одним из двух методов: методом интегральных сумм или методом дифференциала.

Первый метод базируется на определении определенного интеграла.

1 Точками x0 = a, x1, … xn = b разбить отрезок [а; b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» Ai (i = 1, …, n): A = A1 + A2 + … + An.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: Ai ≈ f(ci) xi.

При нахождении приближенного значения Ai допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т.д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

n

A ≈ f(c1) x1 + … + f(cn) xn = ∑ f (ci ) xi .

i=1

3.Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т.е.

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

48