- •Модуль 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •1. Производная функции
- •Определение производной, её геометрический и механический смысл
- •Основные правила дифференцирования
- •Таблица основных формул дифференцирования
- •Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •Механический смысл производной второго порядка
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •Понятие дифференциала функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •Основные теоремы о дифференциалах
- •Применение дифференциала к приближённым вычислениям
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила Лопиталя
- •2. Исследование функций с помощью производных
- •Возрастание и убывание функций
- •Экстремумы функций, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость и вогнутость графика функции
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Модуль 6. Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов
- •Первообразная функция
- •Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление
- •1. Непосредственное интегрирование
- •2. Способ подстановки (замены переменных)
- •3. Интегрирование по частям
- •Интегрирование элементарных и рациональных дробей
- •Интегрирование элементарных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегрирование биноминальных дифференциалов
- •Модуль 7. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •Определенный интеграл
- •Понятие определенного интеграла и его свойства
- •Определенный интеграл как предел интегральной суммой
- •Геометрический смысл
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Основные свойства
- •Несобственные интегралы
- •Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
- •Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
- •Геометрические приложения
- •Схемы применения определенного интеграла
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Объем тела вращения
- •Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
- •Вычисление площади поверхности вращения
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Модуль 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Основные понятия
- •Частные производные
- •Полный дифференциал функции
- •Дифференцирование сложных функций
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Интегрирование полных дифференциалов
- •Дифференцирование неявных функций
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Формула Тейлора для функции нескольких переменных
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций
- •Список литературы
Модуль 6. Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов
Первообразная функция
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F′(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают: ∫ f (x)dx = F(x) + C;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла.
1.(∫ f (x)dx)′ = (F(x) + C)′ = f (x);
2.d (∫ f (x)dx)= f (x)dx;
3.∫dF(x) = F(x) + C;
4.∫(u + v − w)dx = ∫udx + ∫vdx − ∫wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
5.∫C f (x)dx = C ∫ f (x)dx;
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций
– рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
23
1.∫ dx |
= x + C |
|
|
||||||||||||
2.∫ x |
α |
|
|
|
|
x α +1 |
(α ≠ − 1) |
||||||||
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
+ C , |
||||||
|
α + 1 |
||||||||||||||
3 |
.∫ dxx |
= ln |
|
|
|
x |
|
+ C |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a x |
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.∫ a |
|
dx = |
|
|
|
+ C , (a > 0 ) |
|||||||||
|
ln a |
||||||||||||||
5.∫ e x dx = e x + C |
|
|
|||||||||||||
6 |
.∫ sin |
x dx |
|
= − cos x + C |
|||||||||||
7 |
.∫ cos |
x dx |
|
= sin x + C |
|||||||||||
8.∫ tg x dx = − ln |
|
cos x |
|
+ C |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
9 .∫ ctg x dx |
|
= ln |
|
sin |
x |
|
+ C |
|
16 .∫ |
dx |
|
= tg |
x + C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch 2 x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
.∫ sin x = ln |
|
tg 2 |
|
|
+ C |
|
|
17 .∫ |
|
= − ctg |
|
x + C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sh 2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
. |
|
|
|
|
|
= ln |
tg |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ C |
18 . |
|
|
|
|
|
= |
|
arctg |
|
+ C , a ≠ 0 |
|||||||||
∫ cos |
x |
|
|
|
|
|
|
4 |
∫ |
a 2 |
+ |
x 2 |
|
a |
a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
.∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 .∫ |
dx |
|
|
= |
1 |
|
a + x |
+ C , a ≠ 0 |
||||||
12 |
|
|
= − ctg x + C |
|
|
a 2 |
− x 2 |
|
2 a |
ln a − x |
||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
.∫ |
dx |
|
|
|
= tg |
|
x + C |
|
|
|
20 .∫ |
|
dx |
|
|
= arcsin |
x |
|
+ C |
||||||||||||||||
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
a |
2 |
− |
x |
2 |
a |
|
|||||||||||||||||||||||
14 |
.∫ sh x dx |
= ch |
|
x + C |
|
|
|
21 .∫ |
|
dx |
|
|
= ln x + |
x |
2 |
± k + C |
||||||||||||||||||||
15 |
.∫ ch |
x dx |
= sh x + C |
|
|
|
x |
2 |
± k |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла ∫ dxx . На основе известной формулы дифференцирования (ln x)′ = 1x можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x + C , где
С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны (ln(− x))′ = − 1x (−1) = 1x . Таким
образом, окончательно можно сделать вывод: ∫ dxx = ln x + C
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
2. Способ подстановки (замены переменных)
Теорема: Если требуется найти интеграл ∫ f (x)dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ϕ(t) и dx = ϕ′(t)dt получается:
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt
24
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: d ∫ f (x)dx = d (∫ f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt)
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл ∫ sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
∫ tdt = ∫t1/ 2 dt = |
2 t 3/ 2 |
+ C = |
2 sin3/ 2 |
x + C. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Пример. ∫ x(x2 + 1) |
3/ 2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Замена t = x2 + 1; |
|
dt = 2xdx; |
dx = |
dt |
; Получаем: |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
||
∫t 3/ 2 |
dt |
= |
1 |
∫t 3/ 2 dt = |
1 |
|
2 |
t 5 / 2 |
+ C = |
t 5 / 2 |
+ C = |
(x2 + 1)5 / 2 |
+ C; |
||||
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3. Интегрирование по частям
Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv)′ = u′v + v′u, где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv = ∫udv + ∫vdu или ∫udv = uv − ∫vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Пример. |
∫ x |
2 |
sin xdx |
|
u = x2 ; dv = sin xdx; |
|
= − x |
2 |
cos x + ∫ cos x 2xdx = |
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
du = 2xdx; v = − cos x |
|
|
|
|
= u = x; |
dv = cos xdx; |
= − x2 cos x + 2[x sin x − |
∫sin xdx]= − x2 cos x + 2x sin x + 2cos x + C. |
||||||
du = dx; v = sin x |
|
|
|
|
|
|
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
u = e2x ; |
du = 2e2x dx; |
= e2x sin x − ∫sin x 2e2x dx = |
|
Пример. ∫e2x cos xdx = |
|
|
|
dv = cos xdx; |
v = sin x |
|
u = e2x ; |
du = 2e2x dx; |
|
= e2x sin x − 2[− e2x cos x − ∫− cos x 2e2x dx]= e2x sin x + |
= |
|
|
|
dv = sin xdx; v = − cos x; |
|
+ 2e2x cos x − 4∫cos xe2x dx
25