А.Н.Шерстнев - Математический анализ

MEVDU WERTIKALXNYMI PRQMYMI x = a; x = b, OSX@ Ox I GRAFIKOM FUNK- CII y = f(x) (a x b), RAWNA S = Z bf (x) dx. (pRI \TOM SLEDUET

a

IMETX W WIDU, ^TO NA U^ASTKE, GDE f (x) 0, SOOTWETSTWU@]AQ PLO]ADX POLU^AETSQ SO ZNAKOM MINUS.)

2. pLO]ADX PLOSKOJ FIGURY W POLQRNOJ SISTEME KOORDINAT. wSPOM-

NIM, ^TO PLO]ADX SEKTORA KRUGA RADIUSA r, SOOTWETSTWU@]EGO UGLU , RAWNA 12 r2 . dLQ WY^ISLENIQ PLO]ADI FIGURY, OGRANI^ENNOJ KRIWOJ r = r( ) ( ) I LU^AMI = ; = , RASSMOTRIM RAZLOVENIE( = 0 < 1 < : : : < n = ). pLO]ADX Sj ^ASTI FIGURY, OTWE^A@- ]EJ OTREZKU [ j,1; j ] IZMENENIQ PEREMENNOJ (rIS. 14), UDOWLETWORQET NERAWENSTWAM

sUMMIRUQ PO j, NAHODIM, ^TO PLO]ADX S ZAKL@^ENA MEVDU NIVNEJ I WERHNEJ SUMMAMI dARBU FUNKCII 12r2 ( ). sLEDOWATELXNO, W PREDPOLOVE- NII INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII r( ),

S= 1 Z r2( )d :

2

3.dLINA PLOSKOJ KRIWOJ. dLINOJ ` KRIWOJ , NAZYWAETSQ PREDEL DLIN LOMANYH, WPISANNYH W KRIWU@, KOGDA NAIBOLX[EE RASSTOQNIE MEVDU SO-

SEDNIMI UZLAMI LOMANOJ STREMITSQ K 0. pUSTX , | GRAFIK NEPRERYWNOJ

KUSO^NO-GLADKOJ FUNKCII y = f (x) (a x b). kAVDAQ WPISANNAQ LO- MANAQ HARAKTERIZUETSQ NEKOTORYM RAZLOVENIEM (a = x0 < x1 < : : : <

|TA FUNKCIQ IMEET NA OTREZKE [a; b] NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA TO^EK RAZ- RYWA. pO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA

101

sUMMIRUQ \TI NERAWENSTWA, POLU^AEM, ^TO DLINA LOMANOJ ` QWLQET-

4. dLINA PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ. pUSTX KRIWAQ , W R3 ZADANA SIS-

TEMOJ URAWNENIJ x = x(t); y = y(t); z = z(t) (t 2 [a; b]). pREDPOLAGAQ FUNKCII x(t); y(t); z(t) NEPRERYWNYMI KUSO^NO-GLADKIMI, MOVNO DOKA- ZATX, ^TO DLINA KRIWOJ , RAWNA

wYWOD \TOJ FORMULY W NASTOQ]IJ MOMENT BYL BY HLOPOTNYM DELOM, I MY DADIM EGO POZDNEE (x83). ~ASTNYM SLU^AEM (2) QWLQETSQ FORMULA, DOKAZANNAQ W P. 3 (W \TOM SLU^AE z = 0 I ROLX PARAMETRA t IGRAET PERE- MENNAQ x).

5. pLO]ADX POWERHNOSTI WRA]ENIQ. pUSTX f(x) (a x b) | NEPRE-

RYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ (DLQ OPREDEL•ENNOSTI PUSTX f(x) 0). nAJDEM• PLO]ADX POWERHNOSTI, POLU^ENNOJ WRA]ENIEM GRAFIKA , FUNK-

CII f WOKRUG OSI Ox. pUSTX (a = x0 < x1 < : : : < xn = b) | RAZLO- VENIE [a; b]. zAMENIW , NA LOMANU@ S UZLAMI W TO^KAH (xj; f(xj )), MY APPROKSIMIRUEM ISKOMU@ PLO]ADX PLO]ADX@ POWERHNOSTI, WOZNIKA@- ]EJ PRI WRA]ENII LOMANOJ. ~ASTX POWERHNOSTI WRA]ENIQ LOMANOJ, ZA- KL@^ENNOJ• MEVDU UZLAMI (xj,1; f (xj,1)); (xj; f(xj )), ESTX BOKOWAQ POWERH- NOSTX USE^•ENNOGO KONUSA (rIS. 16), I EE• PLO]ADX

102

6. u P R A V N E N I E. oB_EM• TELA WRA]ENIQ KRIWOLINEJNOJ TRAPECII

x61. lOGARIFMI^ESKAQ I POKAZATELXNAQ FUNKCII

(NOWYJ WZGLQD)

1. sEJ^AS RAZRE[AETSQ ZABYTX WSE•, ^TO WY ZNAETE O LOGARIFMI^ESKOJ I POKAZATELXNOJ FUNKCIQH. pOLOVIM

oTMETIM SLEDU@]IE SWOJSTWA \TOJ FUNKCII: (A) ' NEPRERYWNA I STROGO WOZRASTAET,

(B) '(xy) = '(x) + '(y) (x; y > 0),

103

2. fUNKCI@ '(x) (x > 0) (SM. ( )) NAZOWEM• LOGARIFMI^ESKOJ PO OSNO-

WANI@ e (OBOZNA^AETSQ ln x). lOGARIFMI^ESKU@ FUNKCI@ PO OSNOWANI@ a > 0 OPREDELIM RAWENSTWOM

ln x

loga x ln a (x > 0):

pRI a > 1 FUNKCIQ loga x OBLADAET SWOJSTWAMI (A){(W); PRI a < 1 FUNKCIQ loga x STROGO UBYWAET I

3.fUNKCI@, OBRATNU@ K LOGARIFMI^ESKOJ loga x (x > 0), NAZOWEM• POKAZATELXNOJ FUNKCIEJ (OBOZNA^AETSQ ax (x 2 R)). w SILU 26.1 POKAZA- TELXNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA I STROGO MONOTONNA (ONA STROGO WOZRASTAET

PRI a > 1 I STROGO UBYWAET PRI a < 1). pRI \TOM ax+y = ax ay . f |TO SLEDUET IZ WYKLADKI loga(ax ay) = loga ax +loga ay = x +y = loga ax+y : >g

4.u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO DLQ NATURALXNOGO n WELI- ^INA a1=n, WY^ISLENNAQ W SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM P. 3 SOWPADAET S ARIFMETI^ESKIM KORNEM n-J STEPENI ^ISLA a.

104

otobraveniq w ewklidowyh prostranstwah

x62. wEKTORNYE PROSTRANSTWA

1. nAPOMNIM IZWESTNOE IZ KURSA ALGEBRY OPREDELENIE: WEKTORNYM PROSTRANSTWOM NAD POLEM (= C ILI R) NAZYWAETSQ ABELEWA GRUPPA X W ADDITIWNOJ ZAPISI, DLQ KOTOROJ ZADANO OTOBRAVENIE X ! X, ZA- PISYWAEMOE W MULXTIPLIKATIWNOJ FORME, PRI^EM• UDOWLETWORQ@TSQ TRE- BOWANIQ:

|LEMENTY IZ X NAZYWA@TSQ WEKTORAMI. eDINICU ADDITIWNOJ GRUPPY BUDEM OBOZNATX ^EREZ | \TO NULX WEKTORNOGO PROSTRANSTWA.

2.rAWENSTWO x = WYPOLNQETSQ TTOGDA = 0 ILI x = .

uTWERVDENIE QWLQETSQ SLEDSTWIEM IMPLIKACIJ:

3. wEKTORNOE PROSTRANSTWO X IMEET PO OPREDELENI@ RAZMERNOSTX n,

STRANSTWA. nULEWOJ \LEMENT | \TO n m-MATRICA, WSE \LEMENTY KOTOROJ

105

RAWNY 0. rAZMERNOSTX PROSTRANSTWA Mn m RAWNA n m; BAZISOM QWLQETSQ,

NAPRIMER, SISTEMA MATRIC Eij (1 j n; 1 i m): U MATRICY Eij NA PERESE^ENII j-GO STOLBCA I i-J STROKI STOIT 1, A OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY 0.

5. rASSMOTRIM MNOVESTWO C n , \LEMENTY KOTOROGO | UPORQDO^ENNYE NABORY n KOMPLEKSNYH ^ISEL x = (x1; : : : ; xn); xj 2 C . |TO MNOVESTWO | KONE^NOMERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO S WEKTORNYMI OPERACIQMI

x + y (x1 + y1; : : : ; xn + yn); x ( x1; : : : ; xn); 2 C :

n

( ) kxk = [X jxjj2]1=2 (= qhx; xi):

j=1

nETRUDNO WIDETX, ^TO NORMA ( ) OBLADAET SWOJSTWAMI:

(I)kxk = 0 ) x = ,

(II)k xk = j j kxk ( 2 C ),

(III)kx + yk kxk + kyk.

fsWOJSTWO (III) | NE ^TO INOE, KAK NERAWENSTWO {WARCA 41.2.g

aNALOGI^NO WWODITSQ WEKTORNOE PROSTRANSTWO Rn NAD POLEM R. pOD

KOMPLEKSNYM (SOOTWETSTWENNO WE]ESTWENNYM) n-MERNYM EWKLIDOWYM PROSTRANSTWOM W DALXNEJ[EM BUDET PONIMATXSQ PROSTRANSTWO C n (SOOT- WETSTWENNO Rn ), SNABVENNOE• NORMOJ ( ). eSLI W NEKOTOROM UTWERVDENII POJD•ET RE^X OB EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE BEZ UKAZANIQ POLQ SKALQROW, TO \TO ZNA^IT, ^TO UTWERVDENIE OTNOSITSQ K OBOIM SLU^AQM (C I R).

z A M E ^ A N I Q. 6. sU]ESTWU@T I DRUGIE FUNKCII, OBLADA@]IE

106

7.mNOVESTWO C (KAK I MNOVESTWO R) WYSTUPAET TEPERX W DWUH IPO-

STASQH: KAK ODNOMERNOE KOMPLEKSNOE (SOOTWETSTWENNO WE]ESTWENNOE) EW- KLIDOWO PROSTRANSTWO C 1 (SOOTWETSTWENNO R1) I KAK POLE.

8.p R I M E R. w WEKTORNOM PROSTRANSTWE Mn m ESTESTWENNO WWODIT- SQ STRUKTURA EWKLIDOWA PROSTRANSTWA PUTEM• ZADANIQ EWKLIDOWOJ NORMY

x63. tOPOLOGIQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA

1. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO; "-OKRESTNOSTX@ TO^KI x0 2 E NAZYWAETSQ [AR RADIUSA " > 0 S CENTROM W x0:

B" (x0) fx 2 E : kx , x0k < "g:

mNOVESTWO E NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI KAVDAQ TO^KA IZ SODERVITSQ W S NEKOTOROJ SWOEJ OKRESTNOSTX@, TO ESTX

8x 2 9" > 0 (B"(x) ):

mNOVESTWO X E NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI EnX OTKRYTO. oTMETIM SLEDU@]IE WAVNYE SWOJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW:

-OKRESTNOSTX TO^KI x0).

tO^KA x0 2 NAZYWAETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ MNOVESTWA , ESLI

9" > 0 (B"(x0) \ = fx0g).

mNOVESTWO NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM, ESLI BN ( ) PpI NEKO- TOpOM N > 0. oTMETIM POLEZNOE USLOWIE ZAMKNUTOSTI MNOVESTWA.

107

5.mNOVESTWO ( E) ZAMKNUTO TTOGDA ONO SODERVIT WSE SWOI PREDELXNYE TO^KI.

pUSTX ZAMKNUTO I x0 62 . tOGDA En OTKRYTO I SU]ESTWUET

"> 0 TAKOE, ^TO B"(x0) En , NO TOGDA x0 NE QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ . oBRATNO, PUSTX SODERVIT WSE SWOI PREDELXNYE TO^KI I x0 62 . tOGDA (TAK KAK x0 | NE PREDELXNAQ DLQ ) SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO B"(x0) \ = ;, TO ESTX B"(x0) En . iTAK, En OTKRYTO. >

6.iZ TEHNI^ESKIH SOOBRAVENIJ BYWAET UDOBNO K EWKLIDOWU PROSTRAN-

STWU E DOBAWLQTX NESOBSTWENNU@ TO^KU 1: -OKRESTNOSTX@ TO^KI 1 NA- ZOWEM• MNOVESTWO WIDA fx 2 E : kxk > Ng. zA OTSUTSTWIEM PORQDKOWYH SWOJSTW W OBY^NOM IH PONIMANII (SM. 6.1) W PROSTRANSTWAH Rn (n > 1)

INTERPRETACI@ (STEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ).

u P R A V N E N I Q. 7. zAMKNUTYE MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRAN- STWE OBLADA@T SWOJSTWAMI:

(A) ESLI (Xi )i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO ZAMKNUTYH MNOVESTW W E, TO T Xi ZAMKNUTO W E,

i2I

k

(B) ESLI X1; : : : ; Xk ZAMKNUTY W E, TO S Xi ZAMKNUTO.

i=1

8. pOKAVITE, ^TO MNOVESTWO B"[x] fy 2 E : kx , yk "g ZAMKNUTO W E.

x64. kOMPAKTNYE MNOVESTWA

1. sEMEJSTWO (Ui)i2I ^ASTEJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ POKRYTIEM MNOVESTWA X E, ESLI X S Ui. w ^ASTNOSTI, POKRYTIE

i2I

NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI WSE Ui OTKRYTY.

mNOVESTWO K W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI IZ WSQKOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ \TOGO MNOVESTWA MOVNO WYBRATX KONE^NOE POKRYTIE.

2. t E O R E M A. mNOVESTWO K W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE KOM- PAKTNO TTOGDA ONO OGRANI^ENO I ZAMKNUTO.

nEOBHODIMOSTX. pUSTX K KOMPAKTNO I fB1(x)gx2K | POKRYTIE K OTKRYTYMI [ARAMI RADIUSA 1 S CENTRAMI W TO^KAH MNOVESTWA K. pO

108

OPREDELENI@ KOMPAKTNOSTI SU]ESTWUET KONE^NOE ^ISLO [AROW B1 (x1 ),: : :,

n

B1 (xn) (xi 2 K ) TAKIH, ^TO K S B1(xi). oTS@DA K BN+1 ( ), GDE N =

i=1

max kxik, TO ESTX K OGRANI^ENO. eSLI DOPUSTITX, ^TO K NE ZAMKNUTO,

1 i n

TO (SM. 63.5) NAJDETSQ• TO^KA x 62K PREDELXNAQ DLQ K . tOGDA fxg =

1T B1=n[x], GDE (B1=n[x])n2N | POSLEDOWATELXNOSTX ZAMKNUTYH [AROW (SM.

n=1

63.8). sLEDOWATELXNO, SEMEJSTWO (Un )n2N, GDE Un = EnB1=n [x], OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE K, PRI^EM• U1 U2 : : : . w SILU KOMPAKTNOSTI K

SU]ESTWUET n0 2 N TAKOE, ^TO Un0 K, NO TOGDA B1=n0 [x] \ K = ;, ^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO x | PREDELXNAQ TO^KA DLQ K.

dOSTATO^NOSTX. pUSTX DLQ OPREDEL•ENNOSTI E = Rn I

= fx = (x1; : : : ; xn ) 2 Rn j , N xj N (1 j n)g

| ZAMKNUTYJ GIPERKUB, OB_EML@]IJ K : K. dOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO SU]ESTWUET OTKRYTOE POKRYTIE (Ui )i2I, NE SODERVA]EE NIKAKOGO KO- NE^NOGO POKRYTIQ DLQ K . rAZOBXEM• KUB NA 2n KONGRU\NTNYH KUBOW1j (1 j 2n ). sREDI NIH OBNARUVITSQ PO KRAJNEJ MERE ODIN, SKA- VEM 1j1 , TAKOJ, ^TO 1j1 \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSIS- TEMOJ IZ SISTEMY (Ui )i2I . rAZOBXEM• TEPERX 1j1 NA 2n KONGRU\NTNYH KUBA2j (1 j 2n), I SNOWA SREDI NIH OBNARUVITSQ HOTQ BY ODIN, NAPRIMER2j2 , TAKOJ, ^TO 2j2 \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSISTEMOJ SISTEMY (Ui)i2I . pRODOLVIW \TOT PROCESS, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX1j1 2j2 : : : WLOVENNYH KUBOW, DLINY REBER• KOTORYH STREMQTSQ K NUL@, PRI^•EM sjs \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSISTEMOJ IZ SISTEMY (Ui )i2I. pROEKCII \TIH KUBOW NA KOORDINATNYE OSI OPREDELQ@T

NA NIH SISTEMY WLOVENNYH OTREZKOW S DLINAMI, STREMQ]IMISQ K NUL@.

1 s

sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET x0 2 T js . pRI \TOM x0 62K . (eSLI, NA-

s=1

PROTIW, x0 2 K , TO SU]ESTWUET i0 2 I TAKOE, ^TO x0 2 Ui0 . tAK KAK Ui0 OTKRYTO, SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO B"(x0) Ui0 . s DRUGOJ STORO-

NY, DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH s : sjs B"(x0) I ZNA^IT, K \ sjs Ui0 , ^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO sjs \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ

SISTEMOJ MNOVESTW WIDA Ui (i 2 I) | PROTIWORE^IE). iZ KONSTRUKCII KUBOW sjs SLEDUET ODNAKO, ^TO x0 | PREDELXNAQ TO^KA K, I x0 2 K W SILU ZAMKNUTOSTI K | PROTIWORE^IE. >

109

w KA^ESTWE SLEDSTWIQ POLU^IM TEOREMU wEJER[TRASSA DLQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA.

3. oGRANI^ENNOE BESKONE^NOE MNOVESTWO W EWKLIDOWOM PROSTRANST- WE OBLADAET PO KRAJNEJ MERE ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ.

eSLI, NAPROTIW, MNOVESTWO X W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE, NE OBLA- DAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ, TO ONO ZAMKNUTO (SM. 63.5) I SOSTOIT LI[X IZ IZOLIROWANNYH TO^EK. w SILU P. 2 MNOVESTWO X (OGRANI^ENNOE I ZAMKNUTOE) KOMPAKTNO. pOKRYW X OTKRYTYMI [ARAMI TAK, ^TOBY W KAVDOM LEVALO PO ODNOJ TO^KE IZ X, POLU^AEM, ^TO X KONE^NO. >

4. u P R A V N E N I E. pUSTX K1 K2 : : : | POSLEDOWATELX-

NOSTX NEPUSTYH KOMPAKTNYH MNOVESTW W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. tOG- DA 1

nT=1

x65. oTOBRAVENIQ. pOSLEDOWATELXNOSTI

1. pREDMETOM NA[EGO WNIMANIQ BUDUT FUNKCII f : ! F , GDE | ^ASTX EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E, A F | DRUGOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO. oTMETIM WAVNYE SPECIALXNYE SLU^AI.

(A) eSLI E | n-MERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, TO f : ! R (SOOT- WETSTWENNO f : ! C ) NAZYWAETSQ WE]ESTWENNOJ (SOOTWETSTWENNO KOMP- LEKSNOJ) FUNKCIEJ n PEREMENNYH. eE• ZNA^ENIE NA WEKTORE x = (x1; : : : ; xn) ZAPISYWAETSQ W WIDE f (x1; : : : ; xn).

(B) w ^ASTNOSTI, FUNKCIQ f : ! C ( C ) NAZYWAETSQ FUNKCIEJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ.

(W) oTOBRAVENIQ WIDA f : ! F , GDE R (ILI C ), A F | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, NAZYWA@TSQ WEKTOR-FUNKCIQMI.

(G) w ^ASTNOSTI, WEKTOR-FUNKCIQ x( ) : N ! F NAZYWAETSQ WEKTORNOJ POSLEDOWATELXNOSTX@ (W PROSTRANSTWE F ). oBOZNA^AETSQ (xk).

2. pUSTX (xk ) | POSLEDOWATELXNOSTX W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. wEK- TOR x0 NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xk ), ESLI

8" > 0 9N 2 N 8k > N (kxk , x0k < "):

tAK VE KAK I W SKALQRNOM SLU^AE USTANAWLIWAETSQ, ^TO PREDEL POSLEDO- WATELXNOSTI EDINSTWEN, ESLI ON SU]ESTWUET (!!).

110