Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 518 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

eSLI VE IMEET MESTO OBRATNOE NERAWENSTWO f ( x + (1 , )y) f(x) + (1 , )f (y), GOWORQT, ^TO FUNKCIQ WOGNUTA (WYPUKLA WWERH).

2. gEOMETRI^ESKI USLOWIE ( ) OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO

E = f(x; y) 2 R2 j x 2 (a; b); f(x) yg

QWLQETSQ WYPUKLYM, TO ESTX WMESTE S KAVDYMI SWOIMI DWUMQ TO^KAMI ONO SODERVIT I OTREZOK, SOEDINQ@]IJ \TI TO^KI.

3. dIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ f(x) (a < x < b) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ (SOOTWETSTWENNO WOGNUTOJ) W TO^KE c 2 (a; b), ESLI W NEKOTOROJ OKREST- NOSTI TO^KI c GRAFIK \TOJ FUNKCII NAHODITSQ NAD (SOOTWETSTWENNO POD) KASATELXNOJ W TO^KE c. gOWORQT, ^TO c | TO^KA PEREGIBA, ESLI DLQ NEKO- TOROGO > 0 W INTERWALAH (c, ; c); (c; c+ ) GRAFIK NAHODITSQ PO RAZNYE STORONY OT KASATELXNOJ W TO^KE c. pRIWEDEM• PRAKTI^ESKI \FFEKTIWNYE USLOWIQ WYPUKLOSTI FUNKCII.

4. dIFFERENCIRUEMAQ NA (a; b) FUNKCIQ f WYPUKLA TTOGDA f0 NE UBY-

WAET NA (a; b). w ^ASTNOSTI, ESLI f DWAVDY DIFFERENCIRUEMA NA (a; b),

TO ONA WYPUKLA TTOGDA

f00(x)

0 (a < x < b).

pUSTX WYPUKLAQ FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA NA (a; b); a < x < y < b

I h > 0 TAKOWO, ^TO x + h < y. pOLAGAQ = 1 , y , x , IMEEM x + h =

x + (1 , )y I, SLEDOWATELXNO,

[f (x + h) , f (x)]

[ f(x) + (1 , )f (y)

, f (x)]

1 ,

[f(y)

f (x)] = f (yy) , xf

(x):

oTS@DA f0(x) =

lim

[f(x + h)

f(x)]

f(y) , f(x). aNALOGI^NYE WY-

h!0+ h

y , x

f(y

)

f (y)

^ISLENIQ DLQ > 0 TAKOGO, ^TO x < y, , POKAZYWA@T, ^TO

, , ,

f (y) , f (x), TAK ^TO

y , x

f0(y) =

lim f (y , )

, f (y)

f(y) , f(x)

f0(x):

!0+

y , x

nEOBHODIMOSTX PERWOGO UTWERVDENIQ DOKAZANA.

f (x) = f (c) + f0 (c)(x , c) + r2 (x);

pUSTX TEPERX f0 NE UBYWAET NA (a; b); a < x < y < b I z = x + (1 , )y; 2 [0; 1]. pRIMENQQ FORMULU lAGRANVA, POLU^AEM

f (x) , f(z) = f0( )(x , z); f(y) , f(z) = f0( )(y , z);

GDE 2 (x; z); 2 (z; y), TAK ^TO f0( ) f0( ). sLEDOWATELXNO,

f(x) + (1 , )f(y) , f ( x + (1 , )y)

= (f (x) , f(z)) + (1 , )(f (y) , f (z)) = f0( )(x , z) + (1 , )f0 ( )(y , z)f0 ( )[ (x , z) + (1 , )(y , z)] = 0:

dOSTATO^NOSTX USTANOWLENA. ~ASTNOE UTWERVDENIE SLEDUET TEPERX IZ TAB-

LICY 38.1. >

5. pUSTX f00 OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U (c) I NEPRERYWNA W TO^KE c. tOGDA

(A) f00(c) > 0 WLE^•ET, ^TO f WYPUKLA W TO^KE c,

(B) f00(c) < 0 WLE^•ET, ^TO f WOGNUTA W TO^KE c,

(W) ESLI f00(c) = 0 I f(3) OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U (c), NEPRERYWNA W TO^KE c I f(3) (c) 6= 0; TO c | TO^KA PEREGIBA.

uTWERVDENIQ (A) I (B) SLEDU@T IZ PREDSTAWLENIQ

GDE r2(x) = 12(x , c)2f00(c + (x , c)) HARAKTERIZUET PREWY[ENIE GRAFIKA NAD KASATELXNOJ y = f (c)+f0 (c)(x,c) W TO^KE c. eSLI, NAPRIMER, f00(c) > 0, TO W SILU NEPRERYWNOSTI f00 W TO^KE c FUNKCIQ f00 SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI c, I ZNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI GRAFIK NAHODITSQ NAD KASATELXNOJ, TO ESTX f WYPUKLA W TO^KE c.

w SLU^AE (W)

f (x) = f(c) + f0 (c)(x , c) + 3!1 (x , c)3f(3) (c + (x , c));

I SNOWA ZAMETIM, ^TO f(3) SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI c, A SOMNOVITELX (x , c)3 MENQET ZNAK PRI PEREHODE ^EREZ TO^KU c: >

6. p R I M E R. fUNKCIQ f(x) = xb (x > 0) WYPUKLA PRI b 1, TAK KAK f00(x) = b(b , 1)xb,2 0 (x > 0) I OSTAETSQ• U^ESTX P. 4.

iP=1

x41. nESKOLXKO WAVNYH NERAWENSTW

w SLEDU@]IH NIVE UTWERVDENIQH xi; yi

2 C

PROIZWOLXNY.

n xiyi

1=p

1=q (

= 1; p; q > 1).

iP=1 j

j iP=1

1=p

2. iP=1 jxi + yijp

iP=1 jxijp

+ iP=1 jyijp

(p 1).

3. eSLI RQDY

i=1 jxij

;

i=1 jyij

SHODQTSQ (p

+ q = 1;p; q > 1), TO RQD

PRI^EM

xiyi

SHODITSQ ABSOL@TNO

•

j 1 xiyij " 1 jxijp#1=p "

1 jyijq#1=q :

i=1

				1	p		1	p		(p 1), TO SHODITSQ RQD
4.	eSLI RQDY			i=1 jxij		;	i=1 jyij		SHODQTSQ	(p 1), TO SHODITSQ RQD
1	p			P			P
1	p	,	PRI^EM
i=1 jxi + yij		,		•
P			" 1 jxi + yijp#1=p "						1 jxijp#1=p	+ " 1 jyijp#1=p
			" 1 jxi + yijp#1=p "						1 jxijp#1=p	+ " 1 jyijp#1=p	:
			X					X		X
			i=1					i=1		i=1

nERAWENSTWO P. 3 NAZYWAETSQ NERAWENSTWOM g•ELXDERA, P. 4 | mINKOWSKO- GO. eSLI, p = q = 2, TO NERAWENSTWA PP. 3,4 NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO NERAWENSTWAMI kO[I-bUNQKOWSKOGO I {WARCA.

pP. 3, 4 O^EWIDNYM OBRAZOM SLEDU@T IZ P. 1 I 2 SOOTWETSTWENNO. w
SWO@ O^EREDX, P. 2 QWLQETSQ SLEDSTWIEM P. 1:
n				n			n
i=1 jxi + yijp			i=1 jxijjxi + yijp,1				+ i=1 jyijjxi + yijp,1
P				P	1=p		P	1=q
				n	1=p	n		1=q
				n		n
			i=1 jxijp i=1 jxi + yijp
				P	1=p	P		1=q
				n		n
	,		+ iP=1 jyijp iP=1 jxi + yijp
(TAK KAK (p		1)q = p), I OSTAETSQ•			RAZDELITX OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NE-
		n		1=q
RAWENSTWA NA		iP=1 jxi + yijp		.

	p. 1, KAK NETRUDNO WIDETX, SLEDUET IZ NERAWENSTWA
(1)	n	xiyi " n	xip#1=p " n yiq#1=q	(xi; yi > 0;		1	+ q1 = 1; p; q > 1):
	X					p
		X	X
	i=1	i=1	i=1
oSTALOSX DOKAZATX (1). wWEDEM• FUNKCI@
		f (x) = x , x + , 1 (x > 0) PRI 0 < < 1:
iMEEM				> 0	PRI 0 < x < 1,

		f0(x) = (x ,1 , 1) < 0			PRI x > 1.
sLEDOWATELXNO,
(2)			x , x + , 1 0		PRI x > 0;
PRI^EM• LEWAQ ^ASTX OBRA]AETSQ W NULX W EDINSTWENNOJ TO^KE x = 1 (ZDESX

IMEET MESTO MAKSIMUM). pOLAGAQ W (2) =

(TAK ^TO 1, =

), x = a=b,

GDE a = xip

j=1 xjp!

; b = yiq

j=1 yjq!

, IMEEM a1=pb1=q

b, TO ESTX

xiyi

xip

yiq

1=p

1=q

j=1

sUMMIRUQ \TI NERAWENSTWA PO i, POLU^AEM (1). >

•

perwoobraznaq i neopredelennyj integral

x42. pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDEL•ENNYJ INTEGRAL

zNAQ \LEMENTARNU@ FUNKCI@, MY UMEEM NAJTI EE• PROIZWODNU@. oB- RATNAQ ZADA^A | OTYSKANIE FUNKCII PO EE• PROIZWODNOJ. k E•E RE[ENI@ MY PEREHODIM.

1. pUSTX E( R) OTKRYTO. fUNKCIQ F : E ! R NAZYWAETSQ PERWO- OBRAZNOJ DLQ FUNKCII f : E ! R, ESLI F DIFFERENCIRUEMA I F 0(x) = f (x) (x 2 E). eSTESTWENNO SPROSITX, DLQ KAVDOJ LI FUNKCII f SU]ESTWU- ET PERWOOBRAZNAQ? oKAZYWAETSQ, NET, NE DLQ WSQKOJ. oDNAKO NIVE BUDET POKAZANO, ^TO \TO WERNO DLQ KAVDOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII. w \TOM RAZ- DELE WSE FUNKCII PREDPOLAGA@TSQ NEPRERYWNYMI BEZ OSOBYH NA TO OGO- WOROK. s^ITAETSQ TAKVE, ^TO OBLASTX@ OPREDELENIQ WSEH WSTRE^A@]IHSQ FUNKCIJ QWLQETSQ NEKOTORYJ INTERWAL (a; b).

2. eSLI F | PERWOOBRAZNAQ DLQ f , TO L@BAQ DRUGAQ PERWOOBRAZNAQ G DLQ f WYRAVAETSQ FORMULOJ G = F +C, GDE C | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. |TO SLEDUET IZ 32.4. zDESX SU]ESTWENNO, ^TO f ZADANA NA INTERWALE!

3. nEOPREDEL•ENNYM INTEGRALOM OT NEPRERYWNOJ FUNKCII f NAZYWA-


ETSQ SOWOKUPNOSTX WSEH EE• PERWOOBRAZNYH. oBOZNA^ENIE: Z		f(x)dx. tA-
KIM OBRAZOM, ESLI F \| NEKOTORAQ PERWOOBRAZNAQ DLQ f , TO		Z f (x)dx =
fF (x) + Cj C 2 Rg. bUDEM DALEE ISPOLXZOWATX BOLEE KOROTKU@ ZAPISX:
Z f (x)dx = F (x) + C . pONQTIE NEOPREDELENNOGO•	INTEGRALA UDOBNO DLQ

OWLADENIQ TEHNIKOJ OTYSKANIQ PERWOOBRAZNYH OT [IROKOGO KLASSA \LE- MENTARNYH FUNKCIJ.

x43. sWOJSTWA NEOPREDELENNOGO• INTEGRALA

pRIWED•EM NESKOLXKO SWOJSTW NEOPREDELENNOGO• INTEGRALA, POLEZNYH DLQ OTYSKANIQ PERWOOBRAZNYH.

1. Z (f(x) + g(x))dx = Z f(x)dx + Z g(x)dx,

Z		Z	6	2
	f (x)dx =		f (x)dx (0 =		R).

2. [fORMULA INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM]:

Z f (x)g0(x)dx = f (x)g(x) , Z f0 (x)g(x)dx:

oTMETIM, ^TO PRIWEDENNU@• FORMULU UDOBNO ISPOLXZOWATX W SLEDU@]EJ FORME: Z f (x)dg(x) = f(x)g(x) , Z g(x)df(x).

3. [fORMULA ZAMENY PEREMENNOJ]:

Z f(t)dt = Z f ('(x))'0(x)dx; t = '(x) (ZDESX SPRAWA I SLEWA STOQT FUNKCII OT x).

pP. 1,2 PROWERQ@TSQ DIFFERENCIROWANIEM. fORMULA P. 3 SLEDUET IZ
RAWENSTW
	d		d	dt		d
		Z f (t)dt =		Z f(t)dt dx	= f ('(x))'0(x) =		Z f ('(x))'0(x)dx;
	dx		dt			dx

GDE dxZ f(t)dt | SEMEJSTWO PROIZWODNYH FUNKCIJ KLASSA Z f (t)dt (ONO

SWODITSQ K ODNOJ FUNKCII f ('(x))'0(x)).

dLQ OTYSKANIQ PERWOOBRAZNYH NA PRAKTIKE POLEZNA TABLICA, PROWER-

KA KOTOROJ PROIZWODITSQ DIFFERENCIROWANIEM (SM. NIVE).

sinx

d cosx

p R I M E R Y. 4. Z

tg xdx = Z

cos xdx = ,Z

cosx = , ln j cos xj + C.

5. Z

ln xdx = x ln x , Z xd ln x = x ln x , Z

dx = x(ln x , 1) + C .

6. J

=xZ ex cosxdx = ex sin x

, Z ex sin xdx = ex sin x +

Z exd cosx =

sinx + e

cosx , J + C. rE[AQ POLU^ENNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO J,

NAHODIM J = 2e (sin x + cosx) + C.

7. Jm = Z (a2 + x2 )m (m 2 N). pRI m = 1 | \TO TABLI^NYJ INTEGRAL.

pRI m > 1 ISPOLXZUEM REKURRENTNU@ FORMULU

"Jm,1 , Z

x2dx

xd(a2 + x2)

Jm =

(a2 + x2)m

= a2 Jm,1

, 2a2 Z

(a2 + x2 )m

Jm 1 +

Jm 1:

2 m 1

2a (m , 1)(a + x ) ,

, 2a (m , 1)

Z	(x	,	a)ndx =	(x , a)n+1	+ C (n =	1);
Z		,		n + 1	6 ,
				n + 1

Zxdx, a = ln jx , aj + C;

Zaxdx = ln1aax + C;

Zexdx = ex + C;

Z p

= arcsin a + C (a > 0);

= ln x + pa

Z pa2 + x2

+ x + C ;

arctg

+ C (a = 0);

Z a + x

Zcosxdx = sin x + C;

Zsinxdx = , cos x + C;


	dx
Z cos2 x		= tg x + C ;
	dx
Z sin2 x		= , ctg x + C ;

Zsindxx = ln j tg x2j + C;

Zsh xdx = chx + C;

Zchxdx = shx + C.

Z (x2 + px + q)m ( = p ,4q < 0; m 2 N). pODSTANOWKOJ t = x +p=2

\TOT INTEGRAL SWODITSQ K P. 7.

Z x2 + px

+ q

( = p ,

> 0). iMEEM x + px + q =

1)(x

2 ); 1

= 2, I

J =

dx =

x , 1

+ C:

1 , 2 Z x , 1 , x , 2

, 2

jx , 2 j

( x + )dx

(2x + p)dx

10. Z

x2 + px + q =

2 Z x2 + px + q

+ 2

, p Z x2 + px + q

x2 + px + q

( = 0).

, 2 Z x2 + px + q

11. Z

( x + )dx

(m > 1; < 0). pRI•EMOM P. 10 SWODITSQ K P. 7.

(x2 + px + q)m

12. z A M E ^ A N I E. sU]ESTWU@T \LEMENTARNYE FUNKCII (NAPRIMER,

e,x2 ; sinxx ), PERWOOBRAZNYE DLQ KOTORYH ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII UVE NE WYRAVA@TSQ. dOKAZATELXSTWO \TOGO, ODNAKO, WESXMA NEPROSTO.

x44. oTYSKANIE PERWOOBRAZNYH DLQ RACIONALXNYH FUNKCIJ

1. pOZWOLIM SEBE WOLXNOSTX: FUNKCII P (x) I P (x)R(x), GDE P (x),

Q(x) Q(x)R(x)

Q(x), R(x) | NEKOTORYE POLINOMY, BUDEM S^ITATX RAWNYMI, HOTQ U NIH, WOOB]E GOWORQ, RAZNYE OBLASTI OPREDELENIQ. pUSTX OTNO[ENIE QP ((xx)) DWUH

POLINOMOW QWLQETSQ PRAWILXNOJ NESOKRATIMOJ DROBX@, PRI^EM• KO\FFI- CIENT PRI STAR[EJ STEPENI U POLINOMA Q(x) RAWEN 1, TAK ^TO

(1) Q(x) = (x

a) : : :

b) (x2

+ px + q) : : : (x2 + rx + s)

(p2 , 4q < 0; : : : ; r2

, 4s < 0).

2. pRI SDELANNYH PREDPOLOVENIQH IMEET MESTO ODNOZNA^NO OPRE-

DEL•ENNOE PREDSTAWLENIE

P (x)

Q(x) =

(x , a)

+ (x

, a) ,1 + : : : + x , a + : : :

(x , b) + (x

, b) ,1 + : : : + x , b

C x + D

C1x + D1

C2x + D2

(x2 + px + q) + (x2

+ px + q) ,1

+ : : : + x2 + px + q

E1x + F1

E x

+ F

: : : +

+ : : : + 2

(x + rx + s)

x + rx + s

pREDWARITELXNO USTANOWIM LEMMU:

3. pUSTX W OBOZNA^ENIQH (1) u(x) I v(x) | POLINOMY, ODNOZNA^NO OPREDEL•ENNYE RAWENSTWAMI

Q(x) = (x , a) u(x) = (x2 + px + q) v(x):

P (x)

C1x + D1

tOGDA Q(x) =

a) + S1 (x) = (x2

+ px + q) + S2

(x), GDE S1 (x) =

R(x)

T(x)

PRAWILXNYE DROBI

(x , a) ,1u(x); S2(x) = (x2

+ px + q) ,1v(x) |

dLQ DOKAZATELXSTWA 1-GO RAWENSTWA POLOVIM

P (a)

(P (x) , A1u(x));

A1 =

u(a) ; R(x) =

x , a

GDE R(x) | NA SAMOM DELE POLINOM (TAK KAK a | KORENX POLINOMA

PRI^EM

P (x)

PRAWILXNAQ DROBX

P (x) , A1u(x)),

Q(x) , (x , a)

• S1 (x) =

dLQ DOKAZATELXSTWA

GO RAWENSTWA WOZXMEM W KA^ESTWE

RE[ENIQ

•

SISTEMY URAWNENIJ

8 C1 + D1 =

P ( )

;

(2)

v( )

P ( )

< C1 + D1

;

v( )

KORNI TREH^LENA•

+px+q. |TA SIS-

GDE I | KOMPLEKSNO SOPRQVENNYE•

TEMA ODNOZNA^NO RAZRE[IMA, TAK KAK E•E DETERMINANT

= 2iIm = 0.

pRI \TOM C1 I D1 WE]ESTWENNY (!!). pOLOVIM

[P (x) , (C1x + D1)v(x)]:

T (x) =

x2 + px + q

mOVNO UBEDITXSQ, ^TO T(x) | POLINOM I ^TO DROBX S2(x) PRAWILXNAQ (RASSUVDENIQ PRI \TOM ANALOGI^NY PRIWEDENNYM• WY[E). >

4. [dOKAZATELXSTWO P. 2]. sU]ESTWOWANIE RAZLOVENIQ SLEDUET IZ DO- KAZANNOJ LEMMY, POZWOLQ@]EJ POSLEDOWATELXNYM PONIVENIEM STEPENI POLINOMA Q(x) POLU^ITX ISKOMOE RAWENSTWO. eDINSTWENNOSTX SLEDUET IZ TOGO, ^TO KONSTANTY A1; : : : ; F OPREDELQ@TSQ ODNOZNA^NO:

= lim (x

P (x)

; A2

= lim(x

a) ,1 (P (x)

)

Q(x)

, (x , a)

x!a

Q(x)

I T. D. tAKVE POSLEDOWATELXNO OPREDELQ@TSQ WELI^INY C1; : : : ; F . dEJST- WITELXNO, C1; D1 NEOBHODIMO UDOWLETWORQ@T SISTEME URAWNENIJ (2), KO- TORAQ, KAK OTME^ALOSX, RAZRE[IMA ODNOZNA^NO I T. D.

5. iTAK, ZADA^A OTYSKANIQ PERWOOBRAZNOJ DLQ RACIONALXNOJ FUNKCII

P (x) SWODITSQ K OTYSKANI@ KORNEJ POLINOMA Q(x). kOLX SKORO KORNI

Q(x)

NAJDENY, TO, ZAPISAW PREDSTAWLENIE P. 2, MOVNO POLU^ITX WYRAVENIE DLQ ISKOMOJ PERWOOBRAZNOJ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII (SM. PP. 43.8{12).

6. z A M E ^ A N I E. eSLI P (x) | NEPRAWILXNAQ DROBX, TO, POLXZUQSX,

Q(x)

NAPRIMER, ALGORITMOM eWKLIDA, SLEDUET PREDWARITELXNO PREOBRAZOWATX

EE• K WIDU P (x) = S(x)+R(x), GDE S(x) | POLINOM, A R(x) | PRAWILXNAQ

Q(x) Q(x) Q(x)

DROBX. pOSLE \TOGO OSTA•ETSQ WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVENIEM P. 2 DLQ DROBI

R(x). Q(x)

x5 + 3x2 + 2

7. p R I M E R. wY^ISLIM J = Z x4 + x3

+ x + 1dx. dROBX, STOQ]AQ

POD ZNAKOM INTEGRALA, NEPRAWILXNAQ. pREOBRAZUEM PODYNTEGRALXNOE WY-

RAVENIE SOGLASNO PP. 2,6:

x5 + 3x2 + 2

Cx + D

= x + 2 +

x + 1

, x + 1

+ x

+ x + 1

(x + 1)

dLQ NAHOVDENIQ NEIZWESTNYH KO\FFICIENTOW NA PRAKTIKE PRIWODQT DRO- BI K OB]EMU ZNAMENATEL@ I PRIRAWNIWA@T KO\FFICIENTY POLINOMOW W ^ISLITELQH PRI ODINAKOWYH STEPENQH x. pOSTUPAQ TAK, POLU^IM SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ. rE[AQ EE•, NAHODIM B = C = ,1; D = ,1=3; A = 4=3. tAKIM OBRAZOM,

3x + 1

J =

(x + 2 +

3(x + 1)2 , x + 1

, 3(x2

x + 1))dx

, 3x + 1

+ 2x

3(x + 1)

, lnjx + 1j ,

x2 , x + 1dx:

pOSLEDNIJ INTEGRAL S^ITAETSQ SPOSOBOM PRIMERA 43.11.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 518 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб176_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб3_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб92Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб47Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб33Автомобильные войска Российской Федерации.docx