А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdfeSLI, W ^ASTNOSTI, E OGRANI^ENO SWERHU I SNIZU, TO GOWORQT, ^TO E OGRA- NI^ENO. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM
0(2 E), ESLI 8 2 E ( 0 ).
(V) aKSIOMA NEPRERYWNOSTI. eSLI E( R) NE PUSTO I OGRANI^ENO SWERHU, TO SREDI MAVORANT MNOVESTWA E SU]ESTWUET NAIMENX[AQ.
nAIMENX[AQ MAVORANTA OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA E NAZY- WAETSQ WERHNEJ GRANX@ I OBOZNA^AETSQ ODNIM IZ SLEDU@]IH SIMWOLOW sup E; sup (supremum | NAIWYS[EE). aNALOGI^NO, NIVNQQ GRANX OGRA-
2E
NI^ENNOGO SNIZU MNOVESTWA E ESTX NAIBOLX[AQ MINORANTA; OBOZNA^ENIQ:
inf E; inf (in mum | NAINIZ[EE).
2E
z A M E ^ A N I Q. 2. gRANI sup E; inf E NE OBQZANY PRINADLEVATX MNOVESTWU E. nAPRIMER, DLQ E = f j > 0g : inf E = 0 62E (!!).
3. mNOVESTWO Q S OBY^NYM OTNO[ENIEM < MEVDU RACIONALXNYMI ^ISLAMI UDOWLETWORQET TREBOWANIQM (I)|(IV), NO NE UDOWLETWORQET TRE- BOWANI@ (V) (NAPRIMER, SREDI MAVORANT MNOVESTWA fr 2 Q j r2 < 2g NET NAIMENX[EJ (W Q) (!!)).
uSTANOWIM POLEZNOE HARAKTERISTI^ESKOE SWOJSTWO WERHNEJ GRANI ^I- SLOWOGO MNOVESTWA.
4. pUSTX 0 | MAVORANTA MNOVESTWA E(6= ;). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) 0 = sup E;
(B) 8" > 0 9 2 E ( 0 , " < ).
(A) ) (B). pUSTX 0 = sup E, NO USLOWIE (B) NARU[AETSQ. tOGDA PRI NEKOTOROM " > 0 ^ISLO 0," QWLQETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA E, MENX[EJ ^EM 0, ^TO NEWOZMOVNO.
(B) ) (A). pUSTX WYPOLNENO (B) I | MAVORANTA E TAKAQ, ^TO <0. tOGDA PRI " = 0 , USLOWIE (B) NARU[AETSQ, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@. >
5. iZ NAGLQDNO-GEOMETRI^ESKIH SOOBRAVENIJ MNOVESTWO R DEJSTWI- TELXNYH ^ISEL NAZYWA@T TAKVE ^ISLOWOJ PRQMOJ. oTMETIM, ^TO NEOB- HODIMO E]•E DOKAZATX NEPROTIWORE^IWOSTX SISTEMY (I)|(V). dLQ \TOGO
21
DOSTATO^NO POSTROITX MODELX R, W KOTOROJ WYPOLNQLISX BY WSE \TI AK- SIOMY. w pRILOVENII I DANO IS^ERPYWA@]EE IZLOVENIE ODNOJ TAKOJ MODELI, PRIWEDEN• \SKIZ INTERESNOJ MODELI a. n. kOLMOGOROWA, A TAKVE DOKAZANA \KWIWALENTNOSTX RAZLI^NYH MODELEJ. |TO pRILOVENIE REKOMEN- DUETSQ ^ITATX POSLE IZU^ENIQ RAZDELA \pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELX- NOSTI".
u P R A V N E N I Q. 6. wYWEDITE IZ AKSIOM (I) | (III), ^TO DLQ L@BOGO
n2 N: n > 0.
7.wYWEDITE AKSIOMU (I3) IZ OSTALXNYH AKSIOM (I) | (III).
8.pOKAVITE, ^TO < ( ; 2 R) ) 9 2 Q ( < < ) (USILENIE
(I3)).
9.wYWEDITE AKSIOMU aRHIMEDA IZ OSTALXNYH AKSIOM DEJSTWITELXNYH ^ISEL.
x7. tOPOLOGIQ ^ISLOWOJ PRQMOJ
1. sREDI MNOVESTW NA ^ISLOWOJ PRQMOJ R MY ^ASTO BUDEM IMETX DELO
S PROMEVUTKAMI: |
|
|
|
||
( ; ) fx |
2 R j < x < g | INTERWAL; |
|
|
||
[ ; ] fx |
2 Rj |
x g | OTREZOK; |
|
|
|
[ ; ) fx |
2 R j |
x < g; |
|
|
|
( ; ] fx |
2 R j < x g; |
|
|
||
(,1; ] |
fx 2 R j x g; |
|
|
||
( ; +1) fx 2 R j < xg. |
|
|
|||
2. oKRESTNOSTX@ |
TO^KI a 2 R NAZYWAETSQ WSQKIJ INTERWAL (c; d), |
||||
SODERVA]IJ TO^KU a. oKRESTNOSTX TO^KI BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ U (a). |
|||||
w ^ASTNOSTI, "-OKRESTNOSTX@ TO^KI a NAZYWAETSQ INTERWAL (a , "; a + "). |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
pROKOLOTOJ OKRESTNOSTX@ ( -OKRESTNOSTX@) TO^KI a |
|
R NAZYWA- |
|||
ETSQ MNOVESTWO U (a) |
U (a)nfag, GDE U (a) | NEKOTORAQ OKRESTNOSTX a. |
||||
tAKIM OBRAZOM, -OKRESTNOSTI TO^KI a SUTX MNOVESTWA WIDA (c; a)[(a; d). |
|||||
|
|
|
|
|
|
pUSTX E |
|
R. oKRESTNOSTX@ (SOOTWETSTWENNO -OKRESTNOSTX@) W E |
TO^KI a NAZYWAETSQ MNOVESTWO WIDA U(a)\E (SOOTWETSTWENNO U(a) \E).
3. z A M E ^ A N I E. wSQKIE DWE RAZLI^NYE TO^KI a; b 2 R OBLADA@T NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI.
22
4. mNOVESTWO E( R) NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI ONO WMESTE S KAV- |
||||||
DOJ TO^KOJ SODERVIT I NEKOTORU@ OKRESTNOSTX \TOJ TO^KI, TO ESTX |
8x |
2 |
||||
E 9U(x) (U (x) E). nAPRIMER, R; (a; b); ; | OTKRYTYE MNOVESTWA. mNO- |
||||||
VESTWO F R NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI RnF OTKRYTO. |
|
|
|
|
||
tO^KA a 2 E NAZYWAETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ |
MNOVESTWA E, |
ESLI |
||||
|
E = ;. tO^KA a |
2 R |
||||
SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U(a) TAKAQ, ^TO U (a) \ |
||||||
|
8 |
|
\ |
|
6 ; |
|
NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA E, ESLI |
|
U (a) (U(a) |
|
E = |
). |
pREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA SAMA MOVET EMU I NE PRINADLEVATX.
u P R A V N E N I Q. 5. pUSTX E = f1; 1=2; 1=3; : : :g. nAJTI WSE IZOLI- ROWANNYE TO^KI MNOVESTWA E, WSE EGO PREDELXNYE TO^KI. oTKRYTO ILI ZAMKNUTO E?
6.tO^KA a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E TTOGDA WSQKAQ OKREST- NOSTX U (a) SODERVIT BESKONE^NOE MNOVESTWO TO^EK IZ E.
7.pUSTX E0 | MNOVESTWO WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E. tOGDA
(E0 )0 E0.
8.eSLI E OTKRYTO I ZAMKNUTO ODNOWREMENNO, TO E = ; LIBO E = R.
sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ DLQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ.
9. t E O R E M A [k. wEJER[TRASS]. bESKONE^NOE OGRANI^ENNOE MNOVES-
TWO E( R) OBLADAET PO KRAJNEJ MERE ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ. |
|||||
tAK KAK E OGRANI^ENO, |
TO SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO E |
||||
[,M; M]. pUSTX F = fx 2 R j MNOVESTWO E \ (,1; x) KONE^NOg. tOG- |
|||||
6 ; |
|
f, |
|
g 2 |
|
DA F = |
(NAPRIMER, |
|
M |
|
F ) I OGRANI^ENO SWERHU (NAPRIMER, M | |
MAVORANTA F ). pO AKSIOME NEPRERYWNOSTI SU]ESTWUET = sup F . pO- KAVEM, ^TO | ISKOMAQ PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E. pUSTX U ( ) = (c; d) | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI . nADO LI[X UBEDITXSQ, ^TO
|
\ |
6 ; |
|
|
U ( ) |
. pUSTX, NAPROTIW, |
|||
|
E = |
|||
( ) |
|
|
|
|
|
|
U( ) \ E = [(c; ) [ ( ; d)] \ E = ; |
I 2 (c; ). tAK KAK < = sup F , MNOVESTWO E \ (,1; ) KONE^NO. nO TOGDA IZ ( ) SLEDUET, ^TO E \ (,1; d) KONE^NO, TO ESTX d , I ZNA^IT,62(c; d) | PROTIWORE^IE. >
23
x8. rAS[IRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ
1. ~ASTO BYWAET UDOBNO PRISOEDINQTX K ^ISLOWOJ PRQMOJ R TAK NAZY- WAEMYE NESOBSTWENNYE ^ISLA 1. mNOVESTWO R[ f 1g NAZOW•EM RAS[I- RENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ PRI SLEDU@]IH SOGLA[ENIQH:
,1 < a < +1 (a 2 R), |
a 1 1 (a 2 R), |
a ( 1) 1 (0 < a 2 R), |
a ( 1) 1 (0 > a 2 R); |
-OKRESTNOSTX@ TO^KI f+1g (SOOTWETSTWENNO f,1g) NAZOWEM• WSQKOE MNO- VESTWO WIDA (M; +1) (SOOTWETSTWENNO (,1; M)); M 2 R.
2.iNOGDA UDOBNO PRISOEDINQTX K ^ISLOWOJ PRQMOJ ODNU NESOBSTWEN-
NU@ TO^KU f1g (BESKONE^NOSTX BEZ ZNAKA); -OKRESTNOSTX@ TO^KI f1g NAZOWEM• WSQKOE MNOVESTWO WIDA (,1; N ) [ (M; +1). COGLA[ENIJ O PO- RQDKOWYH I ARIFMETI^ESKIH SWOJSTWAH TO^KI f1g NE DELAETSQ.
3.z A M E ^ A N I E. kAVDOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO RAS[IRENNOJ
^ISLOWOJ PRQMOJ R [ f 1g OBLADAET WERHNEJ I NIVNEJ GRANQMI (\TI GRANI OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO 6.1).
24
predel ~islowoj posledowatelxnosti
x9. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI
1. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ),
ESLI DLQ L@BOGO " > 0 NAJDETSQ• NATURALXNOE ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSQ- KOGO n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jxn , aj < ". w \TOM SLU^AE PI[UT lim xn = a ILI xn ! a I GOWORQT, ^TO (xn ) SHODITSQ (ILI STREMITSQ) K a.
z A M E ^ A N I Q. 2. xn ! a OZNA^AET, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX U (a) TO^KI a QWLQETSQ \LOWU[KOJ" POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), TO ESTX W U (a) POPADA@T WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA. pRIWEDEM• ZAPISI RAWENSTWA lim xn = a W KWANTORAH:
8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxn , aj < ");
8U(a) 9N 2 N 8n > N (xn 2 U (a)):
w ^ASTNOSTI, xn ! 0 OZNA^AET, ^TO 8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj < "), TO ESTX xn ! 0 TTOGDA jxnj ! 0:
3. xn ! a TTOGDA xn , a ! 0:
4. iZMENENIE KONE^NOGO ^ISLA ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI NE WLIQET NA EE• SHODIMOSTX.
5. pUSTX (xn) | POSLEDOWATELXNOSTX I n1 < n2 < : : : (nk 2 N). pO- SLEDOWATELXNOSTX yk xnk (k 2 N) NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ).
6. eSLI (xn) SHODITSQ, TO L@BAQ E•E PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODIT- SQ K TOMU VE PREDELU.
pUSTX xn ! a I yk = xnk | PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI
(xn ); n1 < n2 < : : :. o^EWIDNO, nk k. pUSTX DALEE N 2
jxn , aj < " (n > N). tOGDA k > N ) nk > N I, SLEDOWATELXNO, jyk , aj = jxnk , aj < " (k > N ), TO ESTX yk ! a: >
p R I M E R Y. 7. x = 1 ! 0 fDLQ L@BOGO " > 0 WYBEREM N > 1="
n n
(TAKOE N SU]ESTWUET PO AKSIOME aRHIMEDA (SM. 6.1)). tOGDA jxnj < " PRI n > Ng.
25
8.lim(pn + 1 , pn , 1) = 0.
9.pOSLEDOWATELXNOSTX 0; 1; 0; 1; : : : NE SHODITSQ.
u P R A V N E N I Q. 10. ~TO ZNA^IT, ^TO (xn ) NE SHODITSQ? zAPI[ITE W KWANTORAH.
11. oHARAKTERIZOWATX SHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI, U KOTORYH N W OPREDELENII PREDELA NE ZAWISIT OT ".
12. eSLI xn ! a I xn M (n 2 N), TO a M.
13. eSLI xn ! a I f : N ! N | BIEKCIQ, TO xf(n) ! a. 14. eSLI xn ! 0 I xn > 0; TO pxn ! 0:
15. eSLI x ! a I y = 1(x + : : : + x ) (n 2 N), TO y ! a.
n n n 1 n n
x10. |LEMENTARNYE SWOJSTWA PREDELA
1. pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI EDINSTWEN. sWOJSTWO \ZAVATOJ" POSLEDOWATELXNOSTI:
2.eSLI xn ! a; yn ! a; xn zn yn (n 2 N), TO zn ! a.
3.eSLI xn ! a, TO jxnj ! jaj.
dLQ DOKAZATELXSTWA 1-GO UTWERVDENIQ DOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO DLQ POSLEDOWATELXNOSTI (xn): xn ! a; xn ! b; a 6= b. pUSTX U (a); U(b) | NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^EK a I b (SM. 7.3). sOGLASNO P. 2 OBE ONI OBQZANY BYTX LOWU[KAMI POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), ^TO NEWOZMOVNO. dLQ DOKAZATELXSTWA P. 2 WYBEREM PROIZWOLXNOE " > 0. tOGDA PRI DO-
STATO^NO BOLX[OM N
a , " < xn < a + "; a , " < yn < a + " (n > N):
sLEDOWATELXNO |
a , " <xn zn |
yn< a + " (n > N) , |
^TO I TREBOWA- |
|||||
LOSX (SM. POD^ERKNUTYJ• |
TEKST). tRETXE UTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKI |
|||||||
jjxnj , jajj jxn , aj: |
|
> |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
4. |
pOSLEDOWATELXNOSTX |
(xn) |
NAZYWAETSQ |
OGRANI^ENNOJ, |
ESLI 9M > 0 8n 2 N (jxnj M).
5.eSLI xn ! 0, A POSLEDOWATELXNOSTX (yn) OGRANI^ENA, TO xnyn ! 0:
sLEDUET IZ OCENKI 0 jxnynj Mjxnj I SWOJSTW 2, 3. >
6.sHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA.
26
pUSTX xn ! a. pOLOVIM " = 1 W OPREDELENII PREDELA, I PUSTX N TAKOWO, ^TO jxn , aj < 1 (n > N). tOGDA
jxnj maxfjaj + 1; jx1j; : : : ; jxN jg (n 2 N): >
sOGLASNO 5.1 NAD POSLEDOWATELXNOSTQMI OPREDELENY ARIFMETI^ESKIE OPERACII. nAPRIMER, POSLEDOWATELXNOSTX (xnyn ) QWLQETSQ PROIZWEDENIEM POSLEDOWATELXNOSTEJ (xn ) I (yn).
7. eSLI xn ! a; yn ! b, TO
(A) xn yn ! a b,
(B) xnyn ! ab,
xn ! a 6 6
(W) yn b (yn = 0; b = 0).
sWOJSTWO (B) SLEDUET IZ OCENKI (S U^ETOM• P. 6)
jxnyn , abj jxnyn , aynj + jayn , abj = jynj jxn , aj + jaj jyn , bj:
pUSTX b 6= 0 I N TAKOWO, ^TO jynj > jbj=2 (n > N ). tOGDA
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
|
|
, |
bj = |
|
|
|
|
|
jyn , bj |
< |
|
|
jyn |
, bj (n > N): |
|||||||||
|
|
|
yn |
j |
yn |
|
b |
b |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj j |
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|||||
oTS@DA S U^ETOM• (B) SLEDUET (W). |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p R I M E R Y |
|
|
|
|
|
|
1=n |
|
|
|
|
1=n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1: |
fzn (n) |
|
, 1 (> 0) ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. 8. lim(n) |
|
||||||||||||||||||
n = (1 + zn)n = 1 + nzn + |
n(n2, 1) |
zn2 |
+ : : : > |
n(n2, 1) |
zn2 ) |
||||||||||||||||||||||
0 zn |
|
|
2 |
|
|
1=2 |
) zn |
! 0:g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n , 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. lim a |
|
|
= 1 (a > 0). wYWODITSQ IZ P. 8. |
|
|
|
10. lim qn = 0 PRI jqj < 1.
x11. oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELA
1. kAVDAQ OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.
27
pUSTX E = fx1; x2; : : :g | MNOVESTWO ZNA^ENIJ1 POSLEDOWATELXNOSTI (xn ). eSLI E KONE^NO, TO UTWERVDENIE O^EWIDNO. pUSTX E BESKONE^NO. pO TEOREME wEJER[TRASSA 7.9 MNOVESTWO E OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ a 2 R. pOLOVIM n1 = minfp 2 Nj xp 2 (a,1; a +1)g. eSLI n1; : : : ; nk,1 UVE
WYBRANY, POLOVIM nk = minfp 2 N j p > nk,1 ; xp 2 (a , k1; a + k1 )g. tOGDA yk xnk (k 2 N) | ISKOMAQ, SHODQ]AQSQ (K a), PODPOSLEDOWATELXNOSTX
POSLEDOWATELXNOSTI (xn ): >
2.pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ NEUBYWA@]EJ (SOOTWETSTWEN-
NO NEWOZRASTA@]EJ ), ESLI xn xn+1 (n 2 N) (SOOTWETSTWENNO xn xn+1 ). pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, ESLI ONA NEWOZRASTA@]AQ ILI NEUBYWA@]AQ.
3.wSQKAQ OGRANI^ENNAQ MONOTONNAQ POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ.
pUSTX, NAPRIMER, (xn) NE UBYWAET I OGRANI^ENA. tOGDA SU]ESTWUET M = sup xn. pOKAVEM, ^TO xn ! M. pUSTX U (M) = (a; b) | PROIZWOLXNAQ
n
OKRESTNOSTX TO^KI M, TO ESTX a < M < b. pO OPREDELENI@ WERHNEJ GRANI NAJDETSQ• N TAKOE, ^TO a < xN M . nO TOGDA xn 2 U(M) (n > N) I OSTAETSQ• WOSPOLXZOWATXSQ ZAME^ANIEM 9.2. >
4. l E M M A [O WLOVENNYH OTREZKAH]. pUSTX In = [an; bn ](n = 1; 2; : : :),
PRI^•EM I1 I2 : : : I bn , an !
1
TO^KA a 2 T In.
n=1
pOSLEDOWATELXNOSTX (an ) LEWYH KONCOW NA[IH OTREZKOW NE UBYWAET I OGRANI^ENA SWERHU (NAPRIMER, ^ISLOM b1 ). w SILU P. 3 SU]ESTWUET a = lim an. aNALOGI^NO, POSLEDOWATELXNOSTX (bn ) PRAWYH KONCOW NE WOZ- RASTAET I SU]ESTWUET
( ): lim bn = lim[(bn , an) + an ] = a
sLEDOWATELXNO an a bn DLQ L@BOGO
c | E]E• ODNA TO^KA TAKAQ, ^TO an c U^•ETOM 10.2, ^TO c = a: >
n, TO ESTX a 1 I . eSLI TEPERX
2 T n
n=1
bn (n 2 N), TO IZ ( ) SLEDUET S
1zDESX ^ISLA, STOQ]IE W FIGURNYH SKOBKAH, NE OBQZATELXNO POPARNO RAZLI^NY. wO- OB]E NE SLEDUET PUTATX POSLEDOWATELXNOSTX S MNOVESTWOM E•E ZNA^ENIJ: ^ISLO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NO, HOTQ MNOVESTWO E•E ZNA^ENIJ MOVET BYTX KONE^NYM.
28
|
5. ~ISLOM e NAZYWAETSQ PREDEL lim 1 + |
1 |
n = 2; 7182 : : :. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dOKAVEM SU]ESTWOWANIE \TOGO PREDELA |
. |
pOSLEDOWATELXNOSTX |
yn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1 + n) |
NE WOZRASTAET: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
yn,1 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
, 1 |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
, 1 n + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 1 + n2 |
, 1 |
|
n + 1 > 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I PO SWOJSTWU P. 3 SU]ESTWUET lim yn. sLEDOWATELXNO, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim 1 + |
1 |
n = lim yn 1 + n1 ,1 |
= lim yn: |
|
> |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
pOSLEDOWATELXNOSTX |
|
|
(xn) |
NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ ILI POSLEDO |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||
WATELXNOSTX@ kO[I), ESLI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8" > 0 9N 8n; m > N (jxn , xmj < ") |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ILI, \KWIWALENTNO, 8" > 0 9N 8n > N 8p (jxn+p , xnj < "). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. |
k R I T E R I J |
|
o |
kO[I |
]. |
~TOBY POSLEDOWATELXNOSTX |
(xn) |
SHO |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
DILASX, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA FUNDAMENTALXNOJ. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nEOBHODIMOSTX. pUSTX xn |
! a; " > 0 | PROIZWOLXNO I N |
2 N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TAKOWO, ^TO jxn , aj < "=2 (n > N). tOGDA DLQ L@BYH n; m > N IMEEM |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
jxn , xmj = jxn , a , (xm , a)j jxn , aj + jxm , aj < "; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
TO ESTX (xn) FUNDAMENTALXNA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dOSTATO^NOSTX. pUSTX (xn) FUNDAMENTALXNA. tOGDA (xn) OGRANI- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
^ENA. dEJSTWITELXNO, ESLI N TAKOWO, ^TO jxn , xmj < 1 (n; m > N ), TO |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
jxnj maxfjx1j; : : : ;jxN j; jxN+1j + 1g |
(n 2 N): |
|
|
|
|
pO SWOJSTWU P. 1 SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk ) :
xnk ! a. pOKAVEM, ^TO xn ! a. pUSTX " > 0: tOGDA SU]ESTWU@T N; N0 |
2 N |
|||
TAKIE, ^TO jxn , xmj < "=2 (n; m > N ); jxnk , aj < "=2 (nk > N0). dLQ |
||||
n > N00 = max(N; N0) IMEEM |
|
|||
jxn , aj |
fWYBIRAEM KAKOE-LIBO nk > N00g |
|
||
|
jxn , xnk j + jxnk , aj < ": |
|
> |
|
|
|
29
8.u P R A V N E N I E. dOKAVITE, ^TO lim xnn! = 0 (x 2 R). x12. pREDELY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ
1.bUDEM GOWORITX, ^TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) STREMITSQ K +1 W R[ f 1g (OBOZNA^ENIE: xn ! +1), ESLI WSQKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI +1 | LOWU[KA DLQ (xn), TO ESTX
8M 2 R 9N 2 N 8n > N (xn > M );
! ,1.
2. pODOBNYM VE OBRAZOM OPREDELQETSQ SHODIMOSTX ^ISLOWOJ POSLEDO- WATELXNOSTI (xn) K TO^KE 1 W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f1g : xn ! 1, ESLI WSQKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI 1 QWLQETSQ LOWU[KOJ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), TO ESTX
8M > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj > M ):
3. w RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f 1g TO^KU NAZOWEM• ^ASTI^- NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn), ESLI SU]ESTWUET PODPOSLEDOWA- TELXNOSTX xnk ! . pUSTX L(xn) | MNOVESTWO WSEH ^ASTI^NYH PREDELOW POSLEDOWATELXNOSTI (xn ).
4. mNOVESTWO L(xn) NE PUSTO I OBLADAET NAIBOLX[IM I NAIMENX- [IM \LEMENTAMI.
eSLI (xn ) OGRANI^ENA, TO L(xn) NE PUSTO W SILU 11.1. eSLI (xn) NE OGRANI^ENA SWERHU (SOOTWETSTWENNO SNIZU), TO MNOVESTWU L(xn ) PRINAD-
LEVIT TO^KA +1 (SOOTWETSTWENNO f,1g). pOKAVEM,NAPRIMER, ^TO L(xn) OBLADAET NAIBOLX[IM \LEMENTOM. w SILU 8.3 SU]ESTWUET 0 = sup L(xn).
pOKAVEM, ^TO 0 2 L(xn ). uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI 0 = +1 (!!). |
|||
pUSTX 0 2 R. w SILU 6.4 DLQ L@BOGO N 2 N WYBEREM N |
2 L(xn) TAK, |
||
|
1 |
|
|
^TOBY 0 , N < N . pUSTX xn1 TAKOWO, ^TO |
|
0 , 1 < xn1
(n1 SU]ESTWUET, TAK KAK SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWA- TELXNOSTI (xn), SHODQ]AQSQ K NEKOTOROMU 1 > 0 , 1). eSLI xn1 ; : : : ; xnN,1 UVE WYBRANY, NAJD•EM INDEKS nN IZ USLOWIQ:
1
nN > nN,1; 0 , N < xnN
30