D + A = 3

D = 3 − A

3D + E = 0

E = −9 + 3A

B + 2D + 3E + 4A = 14

B + 6 − 2A − 27 + 9A + 4A = 14

3B

+ C + 6D + 2E = 7

3B + C + 18 − 6A − 18 + 6A = 7

+ 6E + 4A

= 15

+ 18A + 4A = 15

3C

3C − 54

D = 3 − A

D = 3 − A

A = 3

= 2

E = −9 + 3A

E = −9 + 3A

B

35 − B

= 1

B + 11A = 35

11A =

C

3B + C = 7

C = 7

− 3B

D = 0

+ 22A

= 69

= 0

3C

21− 9B + 70 − 2B = 69

E

Тогда значение заданного интеграла:

3∫

dx

+ ∫

2x + 1

2 dx

= 3∫

dx

+ 2∫

x

2 dx + ∫

dx

= 3ln x + 3 −

1

+

x

+

3

(x

2

+ 2)

x + 3

(x

2

+ 2)

(x

2

+

2)

2

x

2

+ 2

+

x

+

4

1

arctg

x

+ C.

4(x2 + 2)

2

2

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t = tg

x

. Эта подстановка

2

позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

2tg

x

2t

1− tg

2 x

1

− t 2

2dt

2

2

sin x =

=

, cos x =

=

; x = 2arctgt;

dx =

;

2 x

1+ t 2

2 x

1

+ t 2

1

+ t

2

1+ tg

1+ tg

2

2

∫

∫

2t

1− t 2

2

∫

Таким образом:

R(sin x,cos x)dx =

R

,

dt =

r(t)dt.

+ t 2

1+ t 2

1+ t 2

1

dx

2dt

dt

dt

∫

= ∫

1+ t 2

= 2∫

= 2∫

=

4sin x + 3cos x + 5

4

2t

+ 3

1− t

2

+

5

8t + 3 − 3t

2

+ 5 + 5t

2

2t

2

+ 8t + 8

dt

dt

1+ t 2

1

+ t

2

1

1

= ∫

= ∫

= −

+ C

= −

+ C.

t

2

+ 4t + 4

(t

+ 2)

2

t

+

2

tg

x

+ 2

2

Пример.

∫

dx

= ∫

2dt

= 2∫

dt

= 2∫

dt

=

9 + 8cos x + sin x

+ t 2 ) 9 +

8(1− t

2

)

+

2t

t

2

+ 2t

+ 17

(t + 1)

2

+ 16

(1

2

2

1+ t

1+ t

1

t + 1

1

tg

x

+ 1

2

=

arctg

+ C

=

arctg

+ C.

2

4

2

4

dx =

dt

t = sinx, cos x = 1− t 2 , x = arcsint ,

1− t 2

Пример.

cos7

xdx

sin x = t

(1− t

2 )3

1−

3t 2 + 3t 4 − t 6

dt

dt

∫

= dt = cos xdx

= ∫

dt =

∫

dt = ∫

− 3∫

+

sin

4

x

t

4

t

4

t

4

t

2

cos2 x = 1

− sin2 x

+ 3∫dt − ∫t

2 dt = −

1

+

3

+ 3t −

1

t 3

= −

1

+

3

+ 3sin x −

sin3 x

+ C.

3

t

3sin

3

x

sin x

3t

3

3

t = cosx. sin x = 1− t 2 x = arccos t dx = −

dt

1− t 2

∫cosmx cosnxdx = ∫

1

[cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =

1 sin(m + n)x

+

sin(m − n)x

2

m + n

m − n

2

∫sin mx cosnxdx = ∫

1

[sin(m

+ n)x + sin(m − n)x]dx =

1

cos(m + n)x

cos(m − n)x

−

−

2

2

m + n

m − n

∫sin mxsin nxdx = ∫

1

[− cos(m

+ n)x + cos(m − n)x]dx =

1

sin(m + n)

sin(m − n)

−

+

2

2

m + n

m − n

Пример ∫sin 7x sin 2xdx =

1

∫cos5xdx −

1

∫cos9xdx =

1

sin 5x −

1

sin 9x + C.

2

10

18

2

Пример.

∫sin10x cos7x cos4xdx = ∫sin10x[cos7x cos4x]dx =

1

∫sin10x cos11xdx +

1

∫sin10x cos3xdx =

2

2

Пример ∫

dx

= ∫

4dx

=

dctg2x

=

− 2

= −2ctg2x + C

sin

2

x cos

2

x

sin

2

2x

dx

sin

2

x

Пример

4

1

1

2

1

2

1

2

∫sin

xdx

= ∫

−

cos2x

dx =

∫(1

− cos2x)

dx =

∫(1− 2cos2x + cos

2x)dx =

2

4

4

2

=

1

∫dx −

1

∫cos2xdx +

1

∫cos2 2xdx =

x

−

1

sin 2x +

1

∫

1

(1+ cos4x)dx =

x

−

sin 2x

+

4

2

4

4

4

4

4

2

4

+

1

[

dx +

∫

cos4xdx]=

x

−

sin 2x

+

x

+

sin 4x

=

1

3x

− sin 2x +

sin 4x

+ C.

8

∫

4

4

8

32

4

8

2

ax + b

Интеграл вида ∫R x,n

dx где n- натуральное число.

cx + d

С помощью подстановки n

ax + b

= t

функция рационализируется.

cx + d

ax + b

t

n

− b

n

− b

′

= t n ;

x =

;

dx

=

t

dt;

n

n

cx + d

a − ct

− ct

a

Тогда

∫

ax + b

∫

t n

− b

t n − b

′

∫

r(t)dt.

R x,n

dx =

R

n

,t

dt =

n

cx + d

a − ct

a − ct

dx

−

2dx

− dx

− 2t

3

dt

t

2

dt

Пример

=

4

1− 2x = t; dt =

=

=

= −2

=

;

∫ 1− 2x − 4

4(4 1

− 2x )3

2t 3

∫

t 2 − t

∫ t − 1

1− 2x