Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

_er_er_files_book894_book.pdf

Скачиваний:

182

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

5∫e2x cos xdx = e2x (sin x + 2cos x)

∫e2x cos xdx =	e2x	(sin x + 2cos x) + C.

5

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример

∫( 2x + 1)20dx = {2x + 1 = t;

dt = 2dx;}= ∫ t 20

dt =

t 21

+ C =

t 21

+ C =

( 2x + 1)21

+ C

Пример.

∫

2 − x2

+ 2 + x2

dx = ∫

2 − x2 + 2 + x2

dx = ∫

+ ∫

2 = ln x +

+ 2 +

− x

2 − x

2 + x

2 − x

+ arcsin

+ C.

Пример.

∫

cos x

dx = ∫sin − 3 / 2

x cos xdx = {sin x = t;

= cos xdx} = ∫t − 3 / 2 dt = −2t − 1 / 2 + C =

sin 3

= −2sin−1/ 2

x + C = −

+ C.

sin x

Интегрирование элементарных и рациональных дробей

Интегрирование элементарных дробей

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:


I.	1		; III.		Mx + N		;
	ax + b				ax2	+ bx + c

II.	1			;	IV.	Mx + N
		(ax + b)m				(ax2 + bx + c)n

m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и b2 – 4ac <0. 26

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I. ∫

∫

+ C =

ax + b

+ C.

ax + b

II. ∫

∫

= −

+ C = −

+ C;

(ax + b)

a(m − 1)t

m−1

a(m − 1)(ax + b)

m−1

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в

Ax + B

(2x + p)

B −

2x + p

∫

= ∫

dx =

∫

dx + B −

∫

+ px + q

2B − Ap

виде: =

+ px + q

B −

∫

ln x

+ px + q +

4q − p

x +

+ q −

arctg

2x + p

+ C

4q − p2

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

u = 6x − 5; du = 6dx;

∫

7x − 2

dx =

84x − 24

dx =

∫

84x −

dx =

u +

;

3x2 − 5x + 4

∫ 36x2 − 60x + 48

(6x − 5)2 + 23

x =

∫

14u + 70 − 24

du =

∫

udu

∫

ln(u

+ 23)

arctg

+ C =

+ 23

3 23

7 ln 36x2

− 60x + 48 +

23 arctg

6x − 5

+ C.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.	Mx + N
	(ax2 + bx + c)n
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная

табличный интеграл

Тогда интеграл вида ∫

можно путем выделения в знаменателе полного

(ax

+ bx + c)

квадрата представить в виде ∫

. Сделаем следующее преобразование:

+ s)

∫

s + u 2 − u 2

du =

∫

−

∫

u 2 du

+ s)

n−1

+ s)

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

udu

; u

= u;

= du;

+ s)

Обозначим:

udu

= ∫

= −

;

+ s)

2(n − 1)(u

+ s)

n−1

∫

u 2 du

= −

∫

;

+ s)

(2n − 2)(u

+ s)

n−1

2n −

+ s)

n−1

Для исходного интеграла получаем:

∫

−

∫

+ s)

n−1

s(2n − 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

∫

2n − 3

∫

s(2n − 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится

∫ u 2 + s .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

Mx + N

u =

2ax + b;

du = 2adx;

dx = (4a)

dx =

u − b

∫ (ax2 + bx + c)n

∫ [(2ax + b)2 + (4ac − b

2 )]n

; s = 4ac − b2

x =

;

(4a)n

M (u − b)

+ N

(4a)n M

udu

2aN − Mb

∫

+ s)

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к dt

табличному ∫ t n формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

3x + 5

3u + 6 + 5

2 dx

= ∫

2 dx =

u = x − 2;

du = dx;

= ∫

2 du

∫

( x

−

4x + 7 )

(( x − 2 )

+ 3)

( u

+ 3)

x = u + 2;

udu

t = u 2 + 3;

+ 3) +

= 3∫

( u 2

+ 3)2 + 11∫

( u 2 + 3)2 = dt

= 2udu; =

2 ∫

t 2 + 11

3 2( u 2

3 2

∫ u 2 + 3

= −

11u

arctg

+ C = −

11( x − 2 )

7 )

arctg x − 2

+ C.

6( u 2 + 3)

6 3

2( x2 − 4x + 7 )

6( x2 − 4x +

6 3

Интегрирование рациональных дробей

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если R(x) = QP((xx)) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой

представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

Q(x)

+ ...+

Bβ

x + N

P(x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

(x − b)

− b)2

(x − b)β

+ px + q

x + N

+ ...+

x + N

+ ...+

R x + S

x + S

+ ...+

Rμ x + Sμ

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)λ

+ rx + s

(x2 + rx + s)2

(x2 + rx + s)μ

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример:

∫

9x3 − 30x2 + 28x − 88

(x2 − 6x + 8)(x2 + 4)

Т.к. ( x2 − 6x + 8)(x2 + 4) = (x − 2)(x − 4)(x2

+ 4) , то

9x3 − 30x2 + 28x − 88

Cx + D

(x − 2)(x − 4)(x2 + 4)

−

x − 4

+ 4

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 − 6x + 8) = 9x3 − 30x2 + 28x − 88

(A + B + C)x3 + (−4A − 2B − 6C + D)x2 + (4A + 4B + 8C − 6D)x + (−16A − 8B + 8D) = = 9x3 − 30x2 + 28x − 88.

A + B + C = 9		C = 9 − A − B
			+ 4A + 2B + 54 − 6A − 6B
− 4A − 2B − 6C + D = −30		D = −30
	− 6D = 28		+ 4C − 3D = 14
4A + 4B + 8C		2A + 2B

− 16A − 8B + 8D = −88		2A + B − D = 11

C = 9 − A − B

= 24

− 2A − 4B

D = 24 − 2A −

+ 10B = 50

2A + 2B + 36 − 4A − 4B − 72 + 6A + 12B = 14

− 24 + 2A

+ 4B = 11

+ 5B = 35

2A + B

C = 9 − A − B

A = 5

= 24

− 2A − 4B

= 24 − 2A − 4B

B = 3

4A + 10B = 50

C = 1

= 3

50 − 10B + 5B = 35 B

D = 2

Итого:

∫

dx + ∫

x + 2

dx = 5ln

x − 2

+ 3ln

x − 4

+ ∫

dx + ∫

dx =

−

− 4

+ 4

= 5ln

x − 2

+ 3ln

x − 4

ln(x2

+ 4) + arctg

+ C.

Пример:

∫

6x5 − 8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

3x3 − 4x2 − 17x + 6

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть: 6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3 9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

20x2 − 25x − 25

4x2 − 5x − 5

dx =

+ 3x +

+ 3 +

dx =

dx +

3dx + 5

∫

− 4x

− 17x +

∫

∫ 3x

− 4x

− 17x

+ 6

+ 5∫

4x2

− 5x − 5

− 4x

− 17x

+ 6

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3

3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2 5x2 – 17x

5x2 – 15x - 2x + 6 -2x + 6 0

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тогда:

4x2 − 5x − 5	=	A	+	B	+	C
(x − 3)(x + 2)(3x − 1)		x − 3		x + 2		3x − 1

A(x + 2)(3x − 1) + B(x − 3)(3x − 1) + C(x − 3)(x + 2) = 4x2 − 5x − 5

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

40A = 16	A = 2 / 5

35B = 21	B = 3/ 5

C = 1	C = 1

Окончательно получаем:

∫

6x5

− 8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

+ 3x + 3∫

+ 2∫

+ 5∫

3x3 − 4x2 − 17x + 6

x + 2

x − 3

3x − 1

x3 + 3x + 3ln

x + 2

+ 2ln

x − 3

3x − 1

+ C.

Пример.

∫

3x4

+ 14x2 + 7x + 15

dx = ∫

dx + ∫

Bx + C

dx + ∫

Dx + E

( x + 3)( x2 + 2 )2

x +

( x2 + 2 )2

x2 + 2

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2

+ 2)2 + (Bx + C)(x + 3) + (Dx + E)(x + 3)(x2

+ 2) = 3x4

+ 14x2 + 7x + 15

Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx2 + 3Bx + Cx + 3C + Dx4 + 2Dx2 + 3Dx3 + 6Dx + Ex3 + 2Ex + 3Ex2 + 6E =

= (D + A)x4 + (3D + E)x3 + (A + B + 2D + 3E + 4A)x2 + (3B + C + 6D + 2E)x + (2A + 3C + 6E + 4A)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019626.69 Кб8zo.econ.audit_umk аудит.doc
#
24.11.2019179.71 Кб7Z_Bauman_Natsionalnoe_gosudarstvo.doc
#
01.05.20254.17 Mб0[1181230831]Тесты на все случаи жизни.- Теленко...rtf
#
10.11.2019987.65 Кб8_Documents_Prog_eko_RT.doc
#
12.03.20151.05 Mб11_education_elib_pdf_2008_chernyshov.pdf
#
12.03.20151.3 Mб182_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб3_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб5_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
01.04.20253.63 Mб0А и РЭО планера.doc