График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале (a,b), если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале (рис. 10).

График дифференцируемой функции называют выпуклым в интервале (a, b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале (рис. 11).

Рис. 10. Рис. 11

Так парабола у = х2 – функция вогнута на всей числовой оси (рис. 12), а полуокружность y = 1− x2 (рис. 13) имеет выпуклый график на отрезке [-1; 1].

Точка М0 (x0, f (x0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции у = f (x) (рис. 14).

За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" втораяпроизводная функции у = f (x).

Справедливо следующее утверждение: если функция у = f (x) имеет вторую производную f′′ (x) во всех точках интервала (a, b) и если во всех точках этого интервала f′′ (x) < 0. то график функции в интервале (a, b) – выпуклый, если же f′′ (x) > 0, то график функции вогнутый в этом интервале.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых вторая производная

у′′ = f′′ (x) = 0.

Если слева от такой точки и справа от нее f ′′ (x) имеет разные знаки, то найденная точка будет точкой перегиба.

Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние от которой до точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

асимптот следует найти те значения х, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв).

Для определения наклонной асимптоты y = kx + b числа k (угловой коэффициент прямой) и b находят из формул:

19

Но если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y = f (x) наклонных асимптот не имеет.

Отметим, что следует отдельно рассмотреть случаи х→ + ∞ и х → − ∞. Частным случаем

наклонной асимптоты при k = 0 и b = lim f (x) будет горизонтальная асимптота. Поэтому y = b –

x→∞

уравнение горизонтальной асимптоты.

Рассмотрим график функции на рис. 15. Точки х = х2, х = х4 – точки экстремумов функции, точка х = х1 – это точка перегиба. Точка х = х3 является особенной точкой для функции, в ней f (x) терпит разрыв, а прямая х = х3 является вертикальной асимптотой

графика функции. Прямая y = kx + b тоже будет асимптотой графика, только наклонной, прямая у = 0 – горизонтальная асимптота графика.

Если точка М (х, у) лежит на графике и неограниченно удаляется от начала координат, то она приближается к одной из этих прямых; расстояние от точки М (х, у) до асимптот стремится к нулю.

Общая схема исследования функции и построения графика

Для общего исследования функции и построения графика полезно придерживаться следующего плана.

Найти область определения функции, точки разрыва функции и интервалы непрерывности Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат.

Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (x) > 0 или f (x) < 0). Решить вопрос о чётности, нечётности, симметрии, периодичности функции.

Если есть точки разрыва 2-го рода, найти вертикальные асимптоты. Найти, если они есть, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Спомощью 1-ой производной найти точки экстремума и области возрастания и убывания данной функции. Найти экстремальные значения функции.

Спомощью 2-ой производной найти точки перегиба, области выпуклости и вогнутости. Построить график.

Функция определена на всей числовой оси за исключением точки х = 1, где знаменатель дроби обращается в нуль. Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то не имеет смысла говорить о чётности (нечётности) функции.

Точка х = 1 является точкой разрыва функции. Найдём пределы y = f (x) при х → 1 (слева и справа) (рис. 16).

20

Если функция в точке х = 1 имеет бесконечный разрыв, то прямая х = 1 является для графика вертикальной асимптотой.

Найдём сначала стационарные точки, т.е. приравняем у' = 0.

Посмотрим, меняет ли производная знак при переходе через эти точки. Результаты схематически изображены на рис. 17.

Рис. 17.

Вывод: х = − 1 – точка минимума, у (-1) = 8; х = 3 – точка максимума, у (3) = 0.

Исследование, включающее вторую производную, проводить не обязательно. Но мы всё же вычислим у"

Вторая производная в нуль не обращается, т.е. точек перегиба график не имеет. На интервале (−∞, 1) вторая производная положительна и график вогнутый, в интервале (1, +∞) вторая производная меняет знак на «минус», и график – выпуклый.

Здесь легко найти точки, где функция пересекает координатные оси: у = 0 при х = 3, а при х

= 0, у = 9.

График изображён на рис. 18.

21