|
|
|
1 |
lim |
1 |
ln(cos2x) |
|||
1 |
= [1∞ ] = lim eln(cos 2x ) x |
2 |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
= = ex→0 x |
|
|||||||
Решение: lim(cos2x) |
|
|
|
= [∞ 0] = |
|||||
x2 |
|
|
|||||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|||
limln(cos2x)
ex→0 x2
|
|
|
|
|
−2sin |
2x |
|
2tg 2x |
|
|
|
|
|
lim |
cos 2x |
lim |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
= = |
|
0 |
|
п=.Л. ex→0 |
2x |
|
= ex→0 |
2x |
= [tg 2x 2x] = |
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 2x |
|
|
2x = е2 . |
|||
= ex→0 |
|||
2. Исследование функций с помощью производных
Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является её применение к исследованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 5 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a; b) функция f (x) возрастает (убывает), то f ′ (x) ≥ 0 (f ′ (x) ≤ 0) для любого х (a; b).
Теорема 6 (достаточные условия). Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a; b) и f ′ (x) > 0 (f ′ (x) < 0) для любого х (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале
(a; b).
Посмотрим на графики функций y = f (x), y = g (x) и y = ϕ (x), изображённые на рис. 2 - 4.
Функции f (x) и g (x) возрастают, но график, изображённый на рис. 3, пологий на участке [а, 0], т.е. функция y = f (x) меняется (растёт) медленно, график же функции g (x) круто
поднимается вверх на участке |
|
π |
, т.е. g (x) меняется (тоже растёт) быстро, с большей |
|
а, |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
скоростью. Проведём касательные к нашим графикам в точке М0. Сравним углы α1 и α2, которые образуют касательные к графикам с положительным направлением оси Ох. Так как углы α1 и α2 острые, то tg α1 и tg α2 положительны и по смыслу производной это обозначает, что обе функции возрастают в интервале от (a; x0). Поскольку f′ (x0) < g′ (x0), график второй функции “круче”, чем график первой.
Рис. 3. Рис. 4.
Эти рисунки отражают общее явление: если функция возрастает на интервале и имеет производную в каждой точке этого интервала, то производная неотрицательна; если производная положительна во всех точках интервала, то функция строго возрастает на этом интервале.
15
Рис. 5.
Рассмотрим теперь рис. 5. На нём изображён график убывающей на [х0, а] функции y = ϕ (x). Угол α3 касательной с осью Ох тупой и tg α 3 = ϕ ′ (x0) < 0.
Этот рисунок отражает следующее общее явление: если функция убывает на интервале, то во всех точках этого интервала её производная не положительна; если производная отрицательна, то функция строго убывает.
В сформулированных утверждениях следует строго различать необходимые и достаточные условия. Поясним это примерами.
Функция у = х3 строго возрастает на всей вещественной оси (рис. 6). Для её производной имеем у′ = 3х2. В частности, у′ = 0 при х = 0. Это означает, что положительность производной является достаточным, но не является необходимым условием (строгого) возрастания. Кроме того, следует не упускать из вида, что на участках возрастания (убывания), строгого или нет, могут встречаться точки, в которых функция вообще не имеет производной. Простейший пример даёт функция у = 2х + х , график которой имеет вид (рис. 7):
Рис. 6. Рис. 7.
Экстремумы функций, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Если есть функция у = f (х), которая имеет конечную производную в каждой точке отрезка [а, b] (говорят, функция f (х) – дифференцируема на отрезке [а,b]), то её поведение можно исследовать с помощью производной y = f′ (x). Ранее мы отмечали, что интервалы возрастания и убывания f (x) определяются знаком f ′ (x).
Как видно из рис. 8, такими точками являются точки х1, х2, х3, х4. Точка х1, например, обладает следующим свойством: значение функции в точке х1 больше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от х1.
Рис 8.
16
В этом случае говорят, что функция имеет в точке х1 максимум. В точке х3 функция тоже имеет максимум, а сами точки х = х1 и х = х3 называют точками максимума. И хотя значение функции в точке максимума х1 меньше, чем, например, в точке х5, важно отметить, что «по – соседству» с х1 имеем f (x) < f (x1). Говорят, что функция у = f (х) имеет максимум (max) в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х ≠ с, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство f (x) < f (с).
Функция у = f (х) имеет минимум (min) в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х ≠ с, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство f (x) > f (с).
Таким свойством, очевидно, обладают точки х = х2 и х = х4, эти точки называют точками минимума. Точки максимума и минимума объединяют под общим названием точки экстремума.
Точки экстремума лежат внутри области определения функции, их ещё называют локальный максимум и локальный минимум (от латинского слова lokal – местный). Точки же х = b и х = х2 на рис. 8 являются глобальным максимумом и глобальным минимумом, или, говорят, наибольшим и наименьшим значением f (x) на замкнутом интервале [a, b]. В нашем случае глобальный максимум совпадает с концом интервала х = b, а глобальный минимум совпадает с локальным в точке х = х2. Функция, непрерывная на замкнутом интервале, достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
Что можно сказать о производной в точках экстремума? (Мы рассматриваем случай, когда производная существует во всех точках [a, b].)
Вспомним, что производная f′ (x0) связана с касательной, проведённой в точке х0. В точках экстремума х1, х2, х3, х4 (т.е. на «вершинах» и на «дне оврагов») касательные горизонтальны, т.е. f′ (x1) = f′ (x2) = f′ (x3) = f′ (x4) = 0.
Сформулируем необходимый признак существования экстремума.
Теорема 7 (необходимый признак существования экстремума). Если f (x) имеет в точке х = с экстремум и дифференцируема в этой точке, то f′ (с) = 0.
Не следует думать, что верно и обратное утверждение. Из того, что f ′ (с) = 0 ещё не следует, что точка х = с является точкой минимума или максимума.
На рис. 9 изображен график функции у = х3. В точке х = 0 касательная горизонтальна и производная y′(0)= 3x2 x=0 = 0 равна нулю, но в этой точке у функции нет ни минимума, ни
максимума. Из сказанного следует, что обращение в нуль производной в точке, еще не достаточно, чтобы утверждать, что в этой точке экстремум. Однако, искать точки экстремума следует среди тех, в которых производная равна нулю.
Такие точки называют стационарными.
Чем же отличается, например, точка х3 на рис. 8 от точки х = 0 на рис. 9?
Рис. 9.
И в той, и в другой точке касательные параллельны оси Ох, т.е. f′ = 0, обе точки стационарные.
17
Вточке х = х3 (рис. 8) функция f (х) меняет характер монотонности (с возрастания на убывание), т.е. производная слева от х3 положительна, а справа – отрицательна.
Вточке х = 0 (рис. 9) функция у = х3 характер монотонности не меняет, слева и справа от стационарной точки функция возрастает и её производная у′ = 3 х2 сохраняет положительный
знак.
Теорема 8 (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (х) имеет производную f′ (х) во всех точках некоторого интервала, содержащего стационарную точку х = с, и если производная f′ (х) при переходе аргумента слева направо через стационарную точку х = с меняет знак с «плюса» на «минус», то стационарная точка х = с есть точка максимума, а при перемене знака с «минуса» на «плюс» – точка минимума.
Пример: Определить экстремум функции у = х3 – Зх2 +2 и найти её наименьшее и наибольшее значение на отрезке [-0,5; 4].
Решение: Областью существования функции является вся числовая ось (−∞; +∞). Находим производную у '(х) = З х2 - 6х. Приравниваем производную нулю, находим стационарные точки: 3 х2 – 6 х = 3 х (х - 2) = 0. Решаем это уравнение и получаем х1 = 0, х2 = 2. Нанесём наши точки на числовую ось и посмотрим как ведёт себя производная у ' (х) = 3х (х - 2) на отрезке [-0,5; 4].
Рассмотрим интервалы (-0,5; 0), (0; 2), (2; 4).
На интервале (-0,5; 0) производная f ′ (х) > 0, на интервале (0; 2) производная f ′ (х) < 0. (Убедиться в этом можно, подставляя в производную какую-нибудь точку из рассматриваемых интервалов). Теперь рассмотрим интервал (2; 4) и убедимся, что f′ (х) > 0. Таким образом, переходя через точку х = 0, производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. стационарная точка х = 0 является точкой максимума, а в точке х = 2 происходит смена знака производной с «минуса» на «плюс» и х = 2 – точка минимума. Значение функции в точках хmin и хmax вычислим, подставив х = 2 и х = 0 в уравнение у = х3 – 3х2 + 2.
Получим, хmax = 0, уmax = у(0) = 2; хmin = 2, уmin = у(2) = – 2.
Итак, мы определили локальные экстремумы.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции – глобальные экстремумы – применяется следующее правило:
1.Находим все стационарные точки и точки, в которых производная не существует, вычисляем в них значения функции.
2.Вычисляем значения функции на концах отрезка, в точках х = а, х = b.
3.Сравнивая между собой вычисленные значения функции, выбираем наибольшее и наименьшее.
Так как значения в стационарных точках вычислены, подсчитаем значения функции на концах отрезка [-0,5; 4], в точках х = −0,5; х = 4.
у(−0,5)=(−0,5) 3 − 3 (− 0,5)2 + 2 = + 98 ; у (4) = 4 3 − 3 4 2 + 2 = 18
Сравниваем значения функции у (-0,5), у (0), у (2), у (4), получаем, что наибольшее значение достигается на правом конце у (4):=18, а наименьшее в точке локального минимума у (2) = −2.
Выпуклость и вогнутость графика функции
Точки перегиба Ещё одной важной характеристикой функции является характер её выпуклости.
18