Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция у = иv, где и = и (х) и v = v (x) – заданные дифференцируемые функции от х. Найдём производную этой функции:

ln y = v ln u 1y y′ = v′ lnu + v u1 u′

y′ = y(v′ ln u + v u1 u′), т.е. y′= иv (v′ ln u + v u1 u′),

или (u v)′ = u v ln u v′+v u v-1 u′.

Сформулируем правило запоминания формулы производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии и = const и производной степенной функции, при условии v= const.

Производные высших порядков

Производная у' = f′ (х) функции у = f (х) есть также функция от х и называется первой производной, или производной первого порядка.

Если функция f′ (х) дифференцируема, то её производная называется второй производной,

или производной второго порядка и обозначается символами у′′, f′′ (x) или d 2 y . d x 2

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется

производной третьего порядка и обозначается у′′′, f′′′ (x) или d 3 y . d x3

Вообще, производной n-го порядка функции f (х) называется первая производная от производной (n-1)-го порядка:

f (n) (x) = [f (n-1) (x)]′.

Пример: Найти значение третьей производной функции y = е5x+3 в точке x = 0. Решение: сначала найдём функцию y′′′ = (f(x))′′′, а затем вычислим её значение в точке x = 0.

y′ = (e5x+3)′ = 5e5x+3, y′′ = (e5x+3)′′ = (5e5x+3)′ = 25e5x+3, y′′′ = (25e5x+3)′ = 125 e5x+3, y′′′(0) = 125 e5 0+3 = 125e3.

9

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f (t). Как уже известно, производная S′t равна скорости точки в данный момент времени: S′t = v.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т.е. S′′t = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна v, а в момент t + t – скорость равна v + v, т.е. за промежуток времени t скорость изменилась на величину v.

отношения при t → 0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f (х) задана неявно в виде уравнения F (х; у) = 0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдём производную первого порядка. Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В неё войдут х, у и у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример. Найти у′′′, если х2 + у2 = 1.

Решение: дифференцируем уравнение х2 + у2 – 1 по х: 2 х + 2 у у' = 0.

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f (х) задана параметрическими уравнениями

x = x(t),y = y(t).

Как известно, первая производная у'х находится по формуле

у′ = уt′ .

х xt′

Найдём вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (1.6) следует, что

10

Пример. Найти вторую производную функции x = cost,y = sint.

Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции у = f (х) в точке х называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (x)): dy = f ′ (x) x.

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдём дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х.

Так как у' = х' = 1, то, согласно формуле (1.8), имеем dy = dx = x, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = x.

Поэтому формулу (1.8) можно записать так:

dy = f ′ (x) dx,

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (1.9) следует равенство dydx = f ′(x). Теперь обозначение производной dydx

можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.

Пример. Найти дифференциал функции y = ln(1+ e10x )+ x2 +1 . Вычислить dy при х = 0, dx = 0,1.

Решение: По формуле dy = f ′ (x) dx находим

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х + х (рис. 2).