|
|
|
Рис. 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При х+у= -3 или у= -3 –х будем иметь z=3х²+9х+6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично найдем, что (zнаим )x+ y=−2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
= − |
|
в точке |
− |
|
;− |
|
; (zнаиб )x+ y=−2 |
= 6 |
и совпадает с |
||
4 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(zнаиб )x=0 и (zнаиб )y=0 . На прямой х+у = -3 можно было бы исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного аргумента.
3)Сопоставляя все полученные значения функции z, заключаем, что zнаиб = 6 в точках (0; -3)
и(-3; 0); zнаим = −1 в стационарной точке М.
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций
Пример. Положительное число а требуется разбить на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а - х - у. Ищем максимум функции f(x,у)=xу(а - х - у).
По смыслу задачи функция f(x, у) рассматривается внутри замкнутого треугольника x ≥ 0, y ≥ 0x + y ≤ a (рис. 14).
Решая систему
fx′ (x, y)= y(a − 2x − y)= 0, |
|
|
f ′ = x(a − x − 2 y)= 0. |
|
y |
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
нее проверяем выполнение достаточных условий. Имеем
fxx'' (x, y) = −2y, fxy'' (x, y) = a − 2x − 2y, f yy'' (x, y) = −2x .
Следовательно,
|
'' a |
|
a |
|
2 |
|
|||
A = |
fxx |
|
; |
|
|
= − |
|
a, |
|
3 |
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
'' a |
|
a |
|
1 |
|
|||
B = |
fxy |
|
; |
|
|
= − |
|
a, |
|
3 |
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
'' a |
|
a |
|
2 |
|
|||
C = |
f yy |
|
; |
|
|
= − |
|
a |
|
3 |
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
и = AC − B2 > 0, A < 0 .
a |
; |
a |
|
|
|
3 |
3 |
. Для |
|
|
|
|
||
85
|
|
|
|
Рис. 14. |
|
a |
|
a |
|||
Итак, в точке |
|
; |
|
функция достигает максимума. |
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
|||
Так как на контуре треугольника f(х,у)=0> то этот максимум будет наибольшим значением,
т. е. произведение будет наибольшим, если x = y = a − x − y = a3 причем наибольшее значение
равно a2 . 27
Примечание. Задачу можно было решать методами условного экстремума, отыскивая максимум функции u=xyz при условии x+y+z=a.
86