Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.
Пример. Вычислить приближенно 1,023,01.
|
Решение: Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 1,023,01 = (x + x)y + |
y , где x = 1, x = 0,02, y = |
||||||||||||
3, |
y = 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Воспользуемся выведенной формулой, предварительно найдя z′ |
и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
′ |
′ |
y ′ |
= y x |
y−1 |
′ |
|
y ′ |
|
y |
ln x . |
|
|||
zy ÷ zx = ( x |
)x |
|
,zy = = ( x |
|
)y = x |
|
|
|
||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1,023,01 |
≈ 13+3• l3-1• 0,02+l3• ln 1• 0,01, |
|
|||||||||||
|
т. е. 1,023,01 ≈ 1,06. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: |
|
||||||||||||
|
1,023,01 |
≈ 1,061418168. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 3. Высота конуса H=30 см, радиус основания R=10 см. Как изменится объем конуса, |
|||||||||||||
если увеличить Н на 3 мм и уменьшить R на 1 мм? |
|
|||||||||||||
|
Решение. Объем конуса равен V = |
1 |
|
πR2H . Изменение объема заменим приближенно |
||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||
дифференциалом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
V ≈ dV = |
1 |
π (2RHdR + R2dH ) = |
1 |
π (−2 10 30 0,1+ 100 0,3) = −10π ≈ −31,4см2 |
|||||||||
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дифференцирование сложных функций
1°. Случай одной независимой переменной. Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t: x = ϕ (t), y = φ (t) , то производная сложной функции z = f [ϕ (t),φ (t)] может быть вычислена по формуле
dz |
= |
дz дx |
+ |
дz |
dz . |
(1) |
dt |
дx дt |
|
||||
|
|
дy dx |
|
|||
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, функции z по х будет:
dxdz = ддxz + ддyz dydx .
Пример. Найти dzdt , если z = e3x+ 2 y , где x = cost, y = t2 Решение. По формуле (1) имеем:
например х, то "полная" производная
(2)
.
|
dz |
= e3x+2 y 3( − sin t ) + e3x+2 y |
2 2t = |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|||
= e3x+2 y ( 4t − 3 sin t ) = e3cost+2t2 ( 4t − 3 sin t ). |
|
|
|||||
Пример. Найти частную производную |
дz |
и полную производную |
dz |
, если |
|||
дx |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|||
z = exy , где y = ϕ (x) .
64
Решение. ддxz = yexy .
На основании формулы (2) получаем dzdt = yexy + xexyϕ '(x) .
2°. Случай нескольких независимых переменных.
Пусть z = f(x;y) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.
Теорема. Если z == f(x; у) — дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x(t) и у =y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) == f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
dz |
= |
∂z |
dx |
+ |
∂z |
dy . |
(3) |
|
dt |
∂x |
∂y |
||||||
|
dt |
|
dt |
|
Частный случай:z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:
dxdz = ∂∂xz dxdx + ∂∂yz dydx
или
dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx .
Последняя формула носит название формулы полной производной.
Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) — сложная
функция независимых переменных и и v. Ее частные производные |
∂z |
и |
∂z |
можно найти, |
||||||||||||||||||||||||||||
∂u |
∂v |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
, dx |
, dy |
|||
используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
dt |
|||||||
соответствующими частными производными |
|
|
|
, |
|
, |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂z |
= |
∂z |
|
|
|
∂x |
|
+ |
|
∂z |
|
∂y |
. |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||
|
∂u |
∂x |
|
∂u |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Аналогично получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂z |
|
= |
∂z |
|
|
|
∂x |
|
+ |
|
∂z |
|
|
∂y |
. |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||
|
|
∂v |
|
∂x |
|
|
∂v |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула dx = ддxz dx + ддyz dy
(свойство инвариантности полного дифференциала).
Пример. Найти ддuz и ддvz , если z=f (x,y), где x=uv, y = uv .
Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим: 65
ддuz = f 'x (x, y)v + f 'y (x, y) 1v , ддvz = f 'x (x, y)u − f 'y (x, y) vu2
Пример. Показать, что функция z = ϕ (x2 + y2 ) удовлетворяет уравнению y ддxz − x ддyz = 0.
Решение. Функция ϕ зависит от х и у через промежуточный аргумент x2 + y2 = t , поэтому
ддxz = dzdt ддxz = ϕ '(x2 + y2 )2x, ддyz = dzdt ддyz = ϕ '(x2 + y2 )2y.
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:
y ддxz − x ддyz = yϕ '(x2 + y2 )2x − xϕ '(x2 + y2 )2y = 2xyϕ '(x2 + y2 ) − 2xyϕ '(x2 + y2 ) = 0 , т. е. функция z
удовлетворяет данному уравнению.
Производная в данном направлении и градиент функции |
|
|||||
1°. Производная функции в данном направлении. Производной функции z=f(x,y) в данном |
||||||
направлении l = PP |
называется дz = lim |
f (P1 )− f (P) |
, где f (P) и |
f (P ) — значения функции в |
||
|
||||||
1 |
дl |
PP→0 |
P1P |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
точках P и P1 . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула |
||||||
|
|
дz = |
дz cosα |
+ дz sinα , |
(1) |
|
|
|
дl |
дx |
дy |
|
|
где α - угол, образованный вектором l с осью ОХ (рис. 9). |
|
|||
Аналогично определяется производная в данном направлении l для функции трех |
|
|||
аргументов u=f (x,y,z). В этом случае |
|
|
|
|
дu |
= дu cosα + |
дu cos β + |
дu cosγ , |
(2) |
дl |
дx |
дy |
дz |
|
где α , β ,γ — углы между направлением l и соответствующими координатными осями.
Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.
Рис. 9
Пример. Найти производную функции z = 2х2 — Зу2 в точке P(1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P:
66
дz |
|
|
дz |
|
|||
|
|
= 4x; |
|
|
|
= 4; |
|
дx |
|
|
|||||
|
|
дx P |
|
||||
дz |
|
|
|
дz |
|
||
|
|
= −6y; |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
||||
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дy P |
||||
Здесь cos α = cos 120º = - ½, sin α = sin 120º = 
23 .
Применяя формулу (1), получим:
дz |
|
|
1 |
+ 0 |
3 |
|
дl |
= 4 |
− |
2 |
2 |
= −2 . |
Знак минус показывает, что функции в данной точке и в данном направлении убывает.
2º. Градиент функции. Градиентом функции z=f (x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции:
grad z = |
дz i + |
дz j |
(3) |
|
дx |
дy . |
|
Производная данной функции в направлении l связана с градиентом функции формулой
ддzl = прl grad z , т. е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на
направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей
скорости возрастания функции в этой точке, т. е. при l=grad z производная ддzl принимает
|
дx |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
дy |
|
|||
наибольшее значение, равное |
дz |
|
+ |
дz |
. |
|
Аналогично определяется градиент функции трех переменных u=f(x,y,z):
grad u = |
дu |
i + |
дu |
j + |
дu |
k . |
(4) |
|
дy |
|
|||||
|
дx |
|
дz |
|
|||
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример. Найти и построить градиент функции z=x²y в точке Р(1;1).
Рис. 10
Решение. Вычислим частные производные и их значения в точке Р.
67