б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее М значения;

в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.

Частные производные

1°. Определение частных производных.

Пусть задана функция z = f(х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение x ; сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается x z . Итак,

x z = f (x + x; y) − f (x; y).

Аналогично получаем частное приращение z по у: y z = f (x; y + y) − f (x; y).

Полное приращение z функции z определяется равенством z = f (x + x; y + y) − f (x; y) .

Если существует предел

то он называется частной производной функции z =f(х; у) в точке М(х; у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по x; в точке Мо(x0;y0) обычно обозначают символами f 'x (x0;y0), f M0 .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(х; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример. Найти частные производные функции z = 2y + ex 2 − y + 1. Решение:

z'x = ( 2 y + ex2 − y + 1 )'x = ( 2 y )'x +( ex2 − y )'x +( 1 )'x =

= 0 + ex2 − y ( x2 − y )'x +0 = ex2 − y ( 2x − 0 ) = 2x ex2 − y ; z' y = 2 + ex2 − y ( −1 ).

Пример. Найти частные производные функции z = lntg xy .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:

60

Аналогично, рассматривая x: как постоянную, будем иметь;

2°. Теорема Эйлера. Функция f (х, y) называется однородной функцией измерения n, если для любого действительного множителя k имеет место равенство f (kx,ky) = k n f (x, y) .

Целая рациональная функция будет однородной, если все члены её одного и того же изменения. Для однородной дифференцируемой функции измерения п. справедливо соотношение (теорема Эйлера):

x f 'x ( x, y ) + y f 'y ( x, y ) = n f ( x, y ) .

3°. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Графиком функции z = f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(х;у0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f 'x (x0; y0 ) = tgα , где α —

угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z=f(х;у0) в точке Мо(х0;у0;f(х0;у0))

(рис. 8).

Рис. 8

Аналогично, f 'y (x0; y0 ) = tgβ

4°. Частные производные высших порядков

Частные производные ∂f (∂xx; y) и ∂f (∂xy; y) называют частными производными первого

порядка. Их можно рассматривать как функции от (x;y) D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

61

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример. Найти частные производные второго порядка функции z = х4 - 2х2у3 + у5 + 1.

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для z = f(х;у) имеем: ∂2 z = ∂2 z .

∂x∂y ∂y∂x

Полный дифференциал функции

1°. Полное приращение функции.

Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у).

Полным приращением функции z=f(х,у) называется разность z = f (x, y) = f (x + x, y + y) − f (x, y) .

2°. Полный дифференциал и дифференцируемость функции.

Составим полное приращение функции в точке М: z = f (x + x; y + y) − f (x; y) .

Функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z = f(х; у), линейная относительно x и y , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

независимых переменных х и у полагают x = dx и y = dy . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

dz = A dx + B dy . (3)

62

этой точке.

Примем теоремы без доказательства.

Отметим, что для функции у = f(x) одной переменной существование производной f '(x) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z = f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ρ = x2 + y2 .

Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx= x и dy= y. Полный дифференциал функции z=f(x,y) вычисляется по формуле

dz = ддxz dx + ддyz dy .

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u=f(х, у, z) вычисляется по формуле

du = ддux dx + ддuy dy + ддuz dz .

Пример. Для функции f (x, y) = x2 + xy − y2 найти полное приращение и полный дифференциал.

Решение. f (x + x, y + y) = (x + x)2 + (x + x)(y + y) − (y + y)2 ; f ( x, y ) = [( x + x )2 + ( x + x )( y + y ) − ( y + y )2 ]− ( x2 + xy − y2 ) =

= 2x x + x2 + x y + y x + x y − 2 y y − y2 = = [( 2x + y ) x + ( x − 2 y ) y]+ ( x2 + x y − y2 ).

3°. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям.

Данной формулой пользуются при приближённых вычислениях.

63