Данная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример. Найти объем эллипсоида x2 + y2 + z2 = 1. a2 b2 c2

Решение:

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (-а ≤ х ≤ а), получим эллипс (см. рис. 15):

Площадь этого эллипса равна

Рис. 15.

Поэтому, по формуле (16), имеем

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(x) ≥ 0, где х [а, b], a функция у = f(x) и её производная у' = f'(x) непрерывны на этом отрезке.

Тогда площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох вычисляется по формуле

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = у(t), t1 ≤ t ≤ t2, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

t2

Sx = 2π ∫ y(t) (x′(t))2 + (y′(t))2 dt .

t1

Пример Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение:

Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = R2 − x2 , - R ≤ х ≤ R, вокруг оси Ох. По формуле (19) находим

R

= 2π ∫ R2 − x2 + x2 dx = 2πRx −RR = 4πR2 .

−R

53

Пример. Дана циклоида x = a(t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π.y = a(1− cost),

Найти площадь поверхности, образованной вращением её вокруг оси Ох. Решение:

При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(x), где, а ≤ х ≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у = f(x) и ее производная y′ = f′(x) непрерывны на отрезке [а, b], то кривая АВ имеет длину, равную

a

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

x = x(t), α ≤ t ≤ β,y = y(t),

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и x(α) = а, x(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Пример. Найти длину окружности радиуса R. Решение:

Найдем 14 часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0) (см. рис. 13). Так как y = R2 − x2 ,

то

54

Рис. 13.

Значит, l = 2π R. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х = R cos t, у = R sin t (0 ≤ t ≤ 2π), то

Полярные координаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β. Предположим, что r(ϕ) и r'(ϕ) непрерывны на отрезке [α, β].

Если в равенствах х = r cosϕ, у = r sinϕ, связывающих полярные и декартовы координаты,

параметром считать угол ϕ, то кривую АВ можно задать параметрически x = r(ϕ )cosϕ ,

y = r(ϕ )sinϕ.

β

Применяя формулу (15), получаем l = ∫ r 2 + r′2 dϕ .

α

Пример Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosϕ). Решение:

Кардиоида r = a (1 + cosϕ) имеет вид, изображенный на рисунке 14. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Рис. 14.

Таким образом, 12 l = 4a . Значит, l = 8а.

55