3.12 Исследование системы на абсолютную устойчивость

Если нелинейная функция удовлетворяет секторному ограничению:

,,

например, для нелинейностей типа № 1,2,3 (рис. 44), то для проверки отсутствия автоколебаний в замкнутой системе можно исследовать систему на абсолютную устойчивость.

Состояние равновесия замкнутой системы (рис. 39) при называется абсолютно устойчивым, если оно асимптотически устойчиво в целом при любой нелинейной функции, удовлетворяющей секторному ограничению.

Для определения абсолютной устойчивости системы можно использовать частотный критерий Попова. Практическая ценность критерия Попова состоит в его простой геометрической интерпретации. Для этого введем преобразованную частотную характеристику , у которой вещественная часть совпадает с вещественной частью, а мнимая часть отличается на множитель:

1. Рассмотрим основной случай, когда передаточная функция

имеет устойчивые полюса, т.е. корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Это соответствует вариантам схемА, Б, В.

В этом случае критерий Попова формулируется следующим образом:

Состояние равновесия замкнутой системы с одной стационарной нелинейностью, удовлетворяющей секторному ограничению , при устойчивых корнях уравненияабсолютно устойчиво, если на комплексной плоскости через точкуможно провести прямую так, чтобы характеристикацеликом лежала справа от этой прямой (рис. 45).

Построение для рассмотренного выше примера можно провести с помощью Script-файла:

%Желаемая передаточная функция

Wgpas=75.5*tf([1/3.06 1],[1/0.7 1])*tf([1],[1/0.7 1])...

*tf([1],[1/45.31 1])*tf([1],[1/45.31 1]);

[Re,Im,w]=nyquist(Wgpas);

Wgpasn=squeeze(Re)+j*squeeze(w).*squeeze(Im);

figure(1);plot(Wgpasn);grid;%Преобразованная АФЧХ

Результат построения приведен на рис. 46, из которого следует, что для нелинейности № 1 со значением можно провести прямую-1 через точку Атак, чтобы характеристикацеликом лежала справа от этой прямой и, следовательно, замкнутая система абсолютно устойчива.

Это свойство сохраняется для , где– критический коэффициент, соответствующий точке В(прямая-2). Здесь значение , что меньше ранее найденного коэффициента, соответствующего точке С, поскольку.

Таким образом, согласно критерию Попова в замкнутой системе отсутствуют автоколебания при и она является абсолютно устойчивой. В силу достаточности критерия Попова при(точка С) абсолютная устойчивость не гарантируется и согласно предыдущему, возможно, что состояние равновесия системы устойчиво в большом и неустойчиво в целом. Однако доказано [15], что в этом случае автоколебания с частотой отсутствуют, если через точку С можно провести прямую-3 слева от всех точек на кривой, которые соответствуют гармоникам ,

Рис. 46

2. В случае, когда корни уравнения кроме устойчивых полюсов содержат нулевые (схемыГ, Д) или неустойчивые полюса критерий Попова формулируется следующим образом:

Состояние равновесия замкнутой системы с одной стационарной нелинейностью, удовлетворяющей секторному ограничению , при наличии нулевых и неустойчивых корней уравненияабсолютно устойчиво, если на комплексной плоскости через точкуможно провести прямую так, чтобы характеристика, где ,, целиком лежала справа от этой прямой.

Таким образом, здесь необходимо, чтобы нелинейность удовлетворяла секторному ограничению:, ,. Этому условию не удовлетворяют нелинейности № 1-3, поэтому применить критерий Попова в этом случае не удается. Однако для нелинейного элемента № 2 можно гарантировать отсутствие автоколебаний, если выполняется неравенство, где амплитуданайдена методом гармонической линеаризации, значениеопределяется из графика рис. 47.