2.6. Физические приложения определенного интеграла

Приведем в виде таблицы 9 физические приложения определенного интеграла. Таблица 9.

Вычислить		Дано		Формула
Путь, пройденный телом		v=v(t) – скорость материальной точки, - время
Работу переменной силы		F – переменная сила, S – вектор перемещения точки,
Работу электродвигателя переменной мощности		N(t) – мощность в момент времени t, - промежуток времени
Силу давления жидкости		- плотность, а)
		б)
Для плоской линии
Массу	- плотность,
Статические моменты			,
Моменты инерции			,
Координаты центра тяжести
Для плоской фигуры
Массу	- плотность,
Статические моменты			,
Моменты инерции			, ,
Координаты центра тяжести

Примеры:

1. Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на =0,2 м приH=0,4, R=0,1 м.

Решение:

Уравнение состояния газа, где– давление,– объем.

Такая работа будет вычисляться по следующей формуле: .

Где , тогда.

.

2. Найти статические моменты относительно осей координат и координаты центра тяжести однородной (ρ=1) полуокружности .

Решение:

Имеем . На основании формул :

Масса М полуокружности численно равна длине полуокружности . Находим координаты её центра тяжести:

. Итак

3. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой a = 70 м, нижнее – b = 50 м, а высота H = 20 м. Плотность воды 1000 кг/м³.

Решение:

Выберем систему координат и сделаем изображение.

Координаты точек А, В и С легко определяются из чертежа: А(20; 10), В(20; 60), С(0; 70). Уравнение линии ОА имеет вид , а уравнение линии ВС:.

По формуле расчета силу давления на пластинку: при,вычисляем.

(Н).

4. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и Оу дуги цепной линии y=ch(x) при (предполагается, что кривая однородна и ).

Решение:

Имеем ,.

Используя формулы из таблицы находим

.

.

.

.

Следовательно, ;;; .

5.Найти статистические моменты относительно осей координат и координаты центра масс однородной () полуокружности.

Решение.

Имеем .

На основании формул получим:

,.

Масса М полуокружности численно равна длине полуокружности (), поэтому по соответствующим формулам находим координаты ее центра масс:. Получаем:.

2.7. Экономическое приложение определенного интеграла

Приведем в виде таблицы 10 экономические приложения определенного интеграла.

Таблица 10.

Вычислить	Формула
Объем выпускаемой продукции за Т лет
Дисконтированный доход К за время Т
Среднее время tср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от x1 до x2 изделий

Примеры:

1. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

Решение.

По формуле вычисления объема выпускаемой продукции имеем

.

Используем метод интегрирования по частям. Пусть ТогдаСледовательно,

(усл.ед).

2. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Решение.

Капиталовложения задаются функцией . Тогда дисконтированная сумма капиталовложений .

Используем метод интегрирования по частям. Пусть ТогдаСледовательно,

(млн). руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн.руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

3. По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОВА (рис. ) может быть описана уравнением , где х – доля населения, у – доля дохода населения. Вычислить коэффициент Джини.

Решение.

Коэффициент Джини, исходя из

изображения кривой Лоренца ОВА,

можно вычислить по формуле:

, так как .

Делаем замену

Поэтому .

Достаточно высокое значение k показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

4. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х₁=100 до х₂=121 изделий, полагая а=600 (мин.), b=0,5.

Решение:

Используем формулу, получаем:

(мин.).