
- •Оглавление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Основные понятия неопределенного интеграла
- •1.2. Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Замена переменной
- •Интегрирование по частям
- •1.3. Интегрирование рациональных дробей
- •1.4. Интегрирование тригонометрических функций
- •1.5. Интегрирование иррациональных функций
- •1.6. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции
- •1.7. Задания для самопроверки №1
- •§2. Определенный интеграл
- •2.1. Основные понятия и методы решения определенного интеграла
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2.2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •Формула прямоугольников
- •. Формула трапеций
- •Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)
- •2.3. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы первого рода
- •2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)
- •2.4. Задания для самопроверки №2
- •2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.6. Физические приложения определенного интеграла
- •2.7. Экономическое приложение определенного интеграла
- •2.8. Химические приложения определенного интеграла
- •2.9. Задания для самопроверки №3
- •2.10. Вопросы и предложения для самопроверки Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Применение определенного интеграла
- •Расчётно-графическая работа
- •Графики некоторых функций, заданных параметрически и в полярных координатах
- •Структура интегрального исчисления
2.3. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы первого рода
Если функция
определена и непрерывна на любом отрезке
[a,b],
то несобственным
интегралом с бесконечным пределом или
несобственным интегралом первого рода
называется интеграл:
или
,
или
,
с – произвольное число.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Теоремы о сходимости и расходимости:
Если на промежутке
непрерывные функции
и
удовлетворяют условию:
, то из сходимости интеграла
следует сходимости интеграла
, а из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
(«признак сравнения»).
Если при
и существует конечные предел
, то интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).
Если сходится интеграл
, то сходится и интеграл
, который в этом случае называетсяабсолютно сходящимся.
Примеры:
1.-
не существует
несобственный интеграл расходится.
2.
- интеграл сходится.
2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)
Если функция
непрерывна на промежутке
и имеет разрывII-го
рода при
,
тонесобственным
интегралом неограниченной функции или
несобственным
интегралом второго родва
называется интеграл:
или
,
если функция терпит бесконечный разрыв
в точке
.
Если функция
терпит разрывII-го
рода во внутренней точке
,
тонесобственным
интегралом второго рода
называют интеграл:
.
Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.
Теоремы о сходимости и расходимости:
Если на промежутке
функции
и
непрерывны, при
терпит разрывII-го рода и удовлетворяют условию:
, то из сходимости интеграла
следует сходимости интеграла
, а из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
(«признак сравнения»).
Пусть функции
и
непрерывны на промежутке
и в точке
терпит разрывII-го рода. Если существует предел
, то интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).
Если функция
, знакопеременная на отрезке
, имеет разрыв в точке
, и несобственный интеграл
сходится, то сходится и интеграл
.
2.4. Задания для самопроверки №2
Вычислить:
1.
Ответ:
6-2ln4
2.
Ответ:
3.
Ответ: 0
4.
Ответ:
5.
Ответ:
6.
Ответ:
7.
Ответ: π
8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
a)
Ответ:
сходится
b)
Ответ: расходится
c)
Ответ: сходится
d)
Ответ:
расходится
2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть
тело, заключеное между двумя плоскостямиx=a
и
x=b,
имеет площадь сечения S(x)
при
,
проведенного перпендикулярно к осиОх,
и которое является известной и непрерывной
изменяющейся при изменении х.
Тогда объем этого
тела вычисляется по формуле
.
2. Объёмы тел вращения
Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
y=f(x)
,
где V – объем тела, полученного вращением
криволинейной трапеции 0
y
f(x),
a x b вокруг оси Ох.
х=(у)
,
где V – объем тела, полученного вращением
криволинейной трапеции 0
x
(y),
c y d вокруг оси ОУ.
3. Площади плоских фигур, длины дуг кривых, площадь поверхности тела вращения рассмотрим в таблице 8.
Таблица 8.
В прямоугольных координатах |
В полярных координатах | |||
y=f(x)
на
x=φ(y
)на
|
|
| ||
Площадь плоских фигур | ||||
|
|
| ||
Длины дуг кривых | ||||
|
|
| ||
Вычисление площади поверхности вращения | ||||
|
|
|
Примеры:
1. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:
а)
Решение:
б)
y=2 (
).
Решение:
.
2. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями.
а)
Найдём сначала производную
б)
Найдём производные
в)
Найдём производную
3. Найти площадь
поверхности, образованной вращением
кардиоиды
вокруг полярной оси (рис. см. приложение
№1).
Решение:
,
==
=
(ед.
кв.)
4. Найти объем тела,
образованного вращением эллипса
вокруг оси Ох.
Решение:
Так как эллипс
симметричен относительно осей координат,
то достаточно найти половину искомого
объема и полученный результат удвоить.
=
=
=
=
=
.
Следовательно
.
5.Найти площадь поверхности шара радиуса R, рассматривая его как тело вращения.
Решение.
Поверхность шара может быть образована вращением дуги полуокружности. Рассмотрим разные варианты задания уравнения окружности:
Окружность задана в декартовых координатах:
а) полуокружность
,
вращение вокруг оси Ох.
Применяем формулу:
,
,
.
б) полуокружность
,
вращение вокруг оси Оу.
Применяем формулу:
,
,
.
Окружность задана параметрическими уравнениями:
.
Применяем формулу:
.
Следовательно,
.
Окружность задана в полярных координатах.
Применяем формулу:
.
Следовательно,
.