§1. Неопределенный интеграл

1.1. Основные понятия неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C.

Записывается это так:

Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассматриваемом промежутке, то есть .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Имеет место теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если 1) она определена на этом множестве; 2) непрерывна в каждой точке этого отрезка, то есть справедливо равенство, где.

Теорема (условие существования неопределенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.

Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):

1. где C-const.

2. .

3. .

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5. 

6. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и, где- произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.

Таблица 1.

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1			11
2			12
3			13
4			14
5			15
6			16
7			17
8			18
9			19
10			20

1.2. Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Примеры:

a)

b)

с) .

Замена переменной

Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где - функция имеющая непрерывную производную. Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Примеры:

a)

b)

.

с).

Первый вариант замены: ==

Второй вариант замены:

==

d) . Первый вариант замены:

=

Второй вариант замены: =

=.

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).