Министерство образования Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А.Н. Туполева
Кафедра общей физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 59К
Интерференция света
Казань 2002
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ, НАПРАВЛЕННЫХ
ВДОЛЬ ОДНОЙ ПРЯМОЙ
Пусть в некоторой точке М пространства происходят гармонические колебания напряженности электрического поля, описываемые уравнениями:
E1 = A1 cos ( t + 1), (1)
E2 = A2 cos ( t + 2). (2)
Здесь А1 и А2 – амплитуды напряженностей Е1 и Е2 ; – круговая частота, t – время; 1 и 2 – начальные фазы. Будем считать, что векторы Е1 и Е2 ; направлены вдоль одной прямой, например, вдоль оси х . Для определения напряженности Е результирующего поля воспользуемся векторной диаграммой (рис.1). Искомая напряженность равна
Е = Е1 + Е2 = A1 cos Ф1 + A2 cos Ф2, (3)
где Ф1 и Ф2 – фазы колебаний, равные
Ф1 = t +1 , Ф2 = t + 2 . (4)
Е1 можно рассматривать как проекцию вектора А1 , вращающегося с угловой скоростью вокруг точки О , на ось х . Аналогично Е1 можно рассматривать как проекцию вектора А2. , на ось х Из рисунка видно, что напряженность Е равна проекции вектора А на ось х , где
А = А1 + А2 . (5)
Следовательно, для определения Е необходимо рассчитать величины А и Ф.
Запишем теорему косинусов
А2 = – 2 А1А2 cos . (6)
Из рисунка видно, что + Ф = , где Ф = Ф2 – Ф1 = 2 – 1 . Используя известное выражение cos ( – Ф) = – cos Ф , из (6) находим:
А2 = + 2 А1А2 cos Ф . (7)
Как видно, значение А зависит от А1 , А2 и разности фаз Ф . Если
Ф = 2 m, m = 0, 1, 2, ..., (8)
то cos Ф = 1 и амплитуда имеет максимальное значение Аmax = А1 + А2 .
Если
Ф = (2m + 1) , m = 0; 1; 2; ..., (9)
то амплитуда имеет минимальное значение Аmin = А1 – А2 . Таким образом, (8) и (9) являются условиями максимума и минимума амплитуды результирующих колебаний напряженности электрического поля в точке М. Значение Ф можно рассчитать, используя рис.1. Однако в данной работе Ф не имеет существенного значения.
Интерференция световых волн
Световые волны являются частным случаем электромагнитных волн. Их длина λ находится в диапазоне (4-7.5) 10 –7 м. В световой волне происходят колебания напряжнностей электрического поля и магнитного поля. Однако действие света на электроны вещества, в основном, определяется напряженностью электрического поля, а влиянием на них напряженности магнитного поля световой волны во многих случаях можно пренебрегать. Поэтому вектор Е называют световым вектором. Будем считать, что источники света S1 и S2 (рис.2) когерентны и плоскости поляризации их световых волн совпадают. Тогда их векторы Е1 и Е2 будут направлены вдоль одной прямой. Это позволяет использовать формулы (7) – (9) для исследования результата интерференции волн в точке М экрана Э, расположенного на расстоянии L от источников. Уравнения волн источников S1 и S2 можно записать в виде
E1 = A1 cos ( t – k1х1 + 1), (10)
E2 = A2 cos ( t – k2х2 + 2). (11)
Здесь k– волновое число, определяемое как
. , (12)
где 1 – длина волны в среде вдоль линии S1М ; 2 – длина волны в среде вдоль линии S2М. Величины для А1 и А2 в зависимости от типа волны (сферическая, цилиндрическая или плоская) по различному могут меняться по ходу волны. Мы будем считать, что А1 и А2 являются значениями амплитуд Е именно в точке М . Тогда х1 = r1 , х2 = r2 и уравнения (10) и (11) запишутся как
E1 = A1 cos ( t – k 1r1 + 1), (13)
E2 = A2 cos ( t – k 2r2 + 2). (14)
Для разности фаз в точке М получим выражение
Ф = (– к r2 + 2) – (– к r1 + 1) = к r1 – к r2 + (2 – 1). (15)
Скорости волн равны равны
1 = 1 , 2 = 2 . (16)
Здесь; – частота волны. Скорость волны в данной среде и скорость волны в вакууме с связаны выражением
= , (17)
где п – показатель преломления. Отсюда находим
k1 = ; k2 = , (18)
где 0 – длина волны в вакууме. Из (15) и (18) находим
Ф = (п1 r1 – п2 r2) + (2 – 1). (19)
Величина
= п1 r1 – п2 r2 (20)
называется оптической разностью хода. Для разности фаз получим формулу
Ф = + (2 – 1). (21)
Из (8), (9) и (21) находим условие максимума амплитуды
+ (2 – 1) = 2 т , т = 0, 1, 2, ... (22)
и минимума
+ (2 – 1) = 2 (т + 1) , т = 0, 1, 2, ... (23)
Интенсивность световой волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля. Следовательно, (22) определяет координату максимальной интенсивности.
Частный случай: п1 = п2 = п . Тогда = п (r1 – r2). Условие максимума запишется как
(r1 – r2) + (2 – 1) = 2 т или (r1 – r2) + (2 – 1) = 2 т.
Отсюда находим
r1 – r2 = т + (1 – 2) (24)
или r1 – r2 = т + /2, где = 2 – 1 .
Из рис.2 видно, что
.
Отсюда
= 2yd , r1 – r2 = . С учетом условия d << L можно принять r1 + r2 2L и
r1 – r2 = . (25)
Из (24) и (25) находим координату интерференционного максимума
. (26)
Шириной интерференционной полосы называется расстояние между соседними максимумами
у = ут+ 1 – ут = . (27)
Отсюда находим формулу для длины волны
= . (28)
Как видно отсюда, зная геометрические размеры L , d и ширину интерференционной полосы можно определить длины световой волны. Формула (27) показывает рост ширины полосы с увеличением расстояния от источника до экрана и уменьшением расстояния между источниками S1 и S2 . Зная , из
0 = п (29)
можно найти длину волны в вакууме.