Примеры решения задач

Задача 13.

Центральный процессор мультипрограммной компьютерной системы в любой момент времени выполняет либо приоритетную программу, либо фоновую программу, либо находится в состоянии ожидания. Продолжительность нахождения системы в каждом состоянии кратна длительности шага - t. Определить коэффициент использования процессора, если матрица переходных вероятностей имеет вид:

Решение

Обозначим:

1- состояние, в котором обслуживается приоритетная программа;2- состояние, в котором обслуживается фоновая программа;3- состояние простоя.

Изобразим граф функционирования системы.

Составим для установившегося режима систему линейных алгебраических уравнений:

S₁ = 0,7S₁ + 0,8S₂ + 0,8S₃

S₂ = 0,2S₁ + 0,1S₂ + 0,05S₃

S₃ = 0,1S₁ + 0,1S₂ +0,15S₃

Заменим любое из них на условие нормировки вероятностей S₁+S₂+S₃=1, а затем решим систему.

В результате решения получаем значение вероятностей состояний в установившемся режиме:

S₁= 0,73 S₂= 0,17 S₃= 0,1

Вероятность простоя процессора S₃= 0,1.

Коэффициент использования процессора Ки = 1 - S₃=0,9

Тема Системы массового обслуживания Одноканальная смо с очередью

В рассматриваемом случае имеется один канал обслуживания, на который поступает поток требований с интенсивностью . Интенсивность обслуживания равна. Имеется очередь, в которой одновременно может находитьсяN-1заявок.

На рисунке представлен размеченный граф состояний одноканальной системы обслуживания с очередью. Отсутствие заявок соответствует узлу 0,максимальное число заявок отображается узлом N. На дугах графа указаны плотности вероятности перехода системы из одного состояния в другое. При анализе процесса обработки необходимо установить вероятности состоянийP_k(t).Для стационарного режима необходимо составитьN+1линейных алгебраических уравнений вида:

Структура уравнений одинакова: левая часть включает члены, равные произведению плотности вероятности перехода на вероятность того состояния, из которого совершается переход. Число членов в правой части соответствует числу стрелок, входящих и исходящих из рассматриваемого состояния. Члены, соответствующие исходящим стрелкам, берутся со знаком минус, а соответствующие входящим - со знаком плюс.

Условие нормировки вероятностей имеет вид

Из полученной системы алгебраических уравнений нетрудно найти искомые вероятности состояний системы.

Основными характеристиками системы являются следующие.

Вероятность потери заявки (вероятность отказа) P_ОТКравна вероятности нахождения СМО в состоянииS_N:

Вероятность обслуживания P_ОБопределяется выражением

Среднее число заявок в системе:

Среднее числозаявок на обслуживании:

Средняя длинаочереди:

Среднее время обслуживания:

Среднее время ожидания обслуживания:

Многоканальная смо без очереди

Рассмотрим систему массового обслуживания с S одинаковыми каналами, на вход которой поступает поток требований с интенсивностью . Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом одинакова и равна.Если в момент поступления очередного требования в системе имеется свободный канал, то требование попадает на обслуживание, если свободного канала нет, то оно покидает систему обслуживания.Граф переходов такой обслуживающей системы представлен на рисунке,где в узлах графа указаны состояния“О, 1, ..., S” -по числу заявок в системе, а дуги размечены плотностями вероятностей переходов из одного состояния в другое.

Исходя изэтого графа, для установившегося режима запишем алгебраическую систему уравнений в виде

Решая данную систему уравнений, можно найти вероятности пребывания вычислительной системы в k-х состояниях. При этом P_о – вероятность простоя всех каналов, P_i – вероятность одновременной работы i каналов. Отказ от обслуживания происходит тогда, когда все каналы заняты. Вероятность этого - P_S.

Характеристики системы.

Вероятность отказа:

Иногда вместо вероятности отказа пользуются понятием пропускной способности системы, определяемой как

С = (1-P_S)

Вероятность обслуживания P_ОБ:

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в системе совпадает со средним числом каналов обслуживания

Среднее время пребывания заявки в системе совпадает со средним временем ее обслуживания.