Многоканальная смо с очередью.
В этом варианте обслуживания вычислительная система включает Sобслуживающих приборов (ЭВМ) и имеет очередь для поступающих заявок с числом местL.При наличии хотя бы одной свободной ЭВМ поступившая заявка сразу принимается на обслуживание. Если все ЭВМ заняты, то она становится в очередь. По числу заявок система может иметь состояния:“О, 1, ..., S+L”. Граф переходов системы представлен на рисунке.
В узлах графа указаны состояния, дуги графа размечены плотностями вероятностей переходов. Интенсивность обслуживания заявок одинакова для всех каналов и равна . Интенсивность потока заявок. На основании представленного графа запишем алгебраическую систему уравнений для оценки вероятностей состояний системы в установившемся режиме:
Условие нормировки вероятностей имеет вид
Решая систему уравнений, можно определить искомые вероятности.
Характеристики системы.
Вероятность потери заявки Pn совпадает с вероятностью отказаPОТКи равна вероятности нахождения СМО в состоянииSS+L:
Вероятность обслуживания
Среднее число занятых каналов (число заявок, находящихся на обслуживании) можно определить по одному из выражений:
или
Средняя длина очереди определяется из условия, что очередь возникает, когда заняты все обслуживающие приборы и в системе имеет место количество заявок от S+1 доS+L.Поэтому
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время обслуживания в канале:
Среднее время пребывания в системе:
Примеры решения задач
Задача 14
Определить основные характеристики многоканальной системы обслуживания с очередью. Исходные данные: число мест в очереди – 5, число каналов – 3. Среднее время обслуживания одной заявки – 2 с, средняя периодичность поступления заявок – 1 с.
Решение.
Рассматриваемая система может иметь девять возможных состояний: «0» - система свободна; «1» - обслуживается одна заявка (занят один канал), но очередь свободна; «2» - занято два канала, но очередь свободна; «3» - заняты все каналы, но очередь свободна; «4» - заняты все каналы и одна заявка находится в очереди; «5» - заняты все каналы и две заявки находятся в очереди; далее аналогично; «8» - заняты все каналы и очередь заполнена. Соответственно, вероятности нахождения системы в этих состояниях - Pо, P1, P2, и т.д. Граф системы приведен на рисунке.
Определим интенсивность потока заявок и интенсивность обслуживания: = 1;= 1/2 = 0,5.
Для определения вероятностей состояний СМО следует записать систему из 9 уравнений, дополнив ее условием нормировки.
Решая данную систему, получим:
P0= 0,116;P1= 0,231;P2= 0,231;P3= 0,154;P4= 0,103;P5= 0,069;P6= 0,046;P7= 0,031;P8= 0,02.
Вероятность потери заявки Pn:
PП=P8= 0,02
Вероятность обслуживания
PОБ= 1 - 0,02 = 0,98
Среднее число занятых каналов:
Средняя длина очереди определяется из условия, что очередь возникает, когда заняты все обслуживающие приборы и в системе имеет место количество заявок от S+1 доS+L.Поэтому
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время обслуживания в канале:
Среднее время пребывания в системе:
