Тема Конечные автоматы

Конечный автомат – одна из схем первичной формализации дискретных устройств и процессов, это математическая абстракция, позволяющая описывать пути изменения состояния объекта в зависимости от его текущего состояния и входных данных.

Конечный автомат имеет один вход и один выход. Онпредставляет собой объект, функционирующий в дискретные моменты времени t_j. В каждый момент времени автомат находится в одном из возможных состояний z(t_j) (число возможных состояний предполагается конечным). В каждый момент на вход автомата поступает входной сигнал.

Автомат следующим образом реагирует на поступление входных сигналов.

Во-первых, состояние автомата изменяется в соответствии с одношаговой функцией переходов:

z(t_j) = [ z(t_j-1), x(t_j)]

Во-вторых, в каждый момент автоматного времени на выходе автомата появляется выходной сигнал y(t_j), определяемый функцией выходов

y(t_j) = [ z(t_j-1), x(t_j)]

Для задания конечного автомата необходимо описать входной, выходной и внутренний алфавиты, а также функции переходов и выходов. При этом наиболее часто используются табличный, графический и матричный способы.

Рассмотрим табличный способ задания автомата. При этом используются таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. На пересечении i-ой строки иj-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение(z_k,x_i)функции переходов, а в таблице выходов -(z_k, x_i)функции выходов.

При графическом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x_kвызывает переход из состоянияz_iв состояниеz_j, то на графе автомата дуга, соединяющая вершинуz_i с вершинойz_j, обозначаетсяx_k. Для того, чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо дополнительно отметить соответствующими выходными сигналами.

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом можно рассматривать две матрицы – матрицу переходов и матрицу выходов. Матрица переходов есть квадратная матрица С=|| c_ij ||,строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Элементc_ij соответствует входному сигналуx_k, вызывающему переход из состоянияz_iв состояниеz_j. Если переход из состоянияz_iв состояниеz_jпроисходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицыc_ijпредставляет собой множество входов для этого перехода, соединённых знаком дизъюнкции. Матрица выходовD=|| d_ij ||строится аналогично, ноeeэлементd_ij соответствует выходному сигналуy_S, выдаваемому при переходе. Для рассматриваемого автомата Мили матрицы имеют вид:

На практике наибольшее распространение получили два класса автоматов - автоматы Мили(Mealy) и автоматы Мура(Moore).

Автомат Мили функционирует следующим образом. И состояние автомата и его выходной сигнал зависят от входного сигнала и предыдущего состояния.

Для автомата Мура функция переходов имеет тот же вид, как и у автомата Мили, но функция выходов не зависит от входного сигнала, а является функцией только текущего состояния: