Примеры решения задач

Задача 12.

По заданным таблицам переходов и выходов для конечного автомата с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами построить граф автомата и матрицы переходов и выходов. Определить к какому классу относится данный автомат.

Таблица переходов Таблица выходов.

x	z
	z0	z1	z2
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

Решение

Граф автомата, заданного исходными таблицами:

Матрицы переходов и выходов:

Поскольку, как состояние автомата, так и его выходной сигнал зависят от входного сигнала и предыдущего состояния, рассматриваемый автомат относится к классу автоматов Мили.

Тема Дискретные цепи Маркова

Случайный процесс, протекающий в системе A, называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времениt₀вероятность любого состояния системы приt > t₀зависит только от ее состояния приt = t₀и не зависит от того, как и когда система пришла в это состояние. Если число состояний A_i, которые система может принимать, конечно, то такие системы описывает марковский случайный процесс с дискретными состояниями, или марковская цепь.

Если переходы системы из одного состояния в другое возможны в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени t_j, то такую систему описывает марковский случайный процесс с дискретным временем. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют дискретной марковской цепью.

Обычно марковскую цепь изображают в виде графа, вершины которого соответствуют возможным состояниям системы A_i, а дуги - возможным переходам системы из состояния A_i  A_j. Каждой дуге соответствует переходная вероятностьp_ij(k)=p[A_j^(k)/A_i^(k-1)]- это условная вероятность перехода системы наk-ом шаге в состояние A_jпри условии, что на предыдущем(k-1)-ом шаге система находилась в состоянии A_i.

Полным описанием марковской цепи служат матрицы переходных вероятностей:

Кроме того, на каждом шаге Марковская цепь характеризуется вектором вероятностей состояний:

S(t) = [S₁(t),S₂(t),. . . S_n(t)]

Вероятностью i-го состояния называется вероятностьS_i(t)того, что в моментtсистема будет находиться в состоянииA_i.Очевидно, что для любого моментаtсумма вероятностей всех состояний равна единице:

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. Если переходные вероятности меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной.

Все многообразие Марковских цепей подразделяется на эргодическиеиразложимые.

Эргодические Марковские цепи описываются сильно связанным графом. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния A_iв любое состояниеA_j(i = 1..n) за конечное число шагов.

Эргодическая цепь Маркова обладает очень важным свойством. При неограниченном увеличении числа шагов (tстремится к бесконечности) вероятности состояний системы[S(t)]стремятся к предельным значениям и перестают изменяться, т.е. зависеть от времени. Система приходит к стационарному режиму, при котором[S]= const.

Очень важным является то обстоятельство, что значения предельных вероятностей состояний не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени. То есть система может прийти к одному и тому же стационарному распределению вероятностей из любого исходного состояния.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния равна 0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в этом состоянии.

Для определения предельных вероятностей состояний следует решить систему линейных уравнений:

j = 1, …n

Можно показать, что система (5.8) является линейно зависимой, поэтому для ее решения необходимо заменить любое из уравнений условием нормировки вероятностей

Составить приведенную выше систему линейных уравнений довольно просто, используя граф цепи Маркова. В левой части каждого уравнения стоит вероятность рассматриваемого состояния, а в правой части - столько слагаемых, сколько дуг графа входит в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое равно произведению вероятности перехода, соответствующей данной дуге графа, на вероятность того состояния, из которого исходит дуга графа