6.3. Основные законы распределения
6.3.1. Общие сведения
Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны. В качестве примера можно привести результаты исследований [4] 219 фактических распределений погрешностей, имеющих место при измерении электрических и неэлектрических величин разнообразными приборами. Установлено, что примерно 50% распределений принадлежат к классу экспоненциальных, 30% являются уплощенными, а остальные 20% — различными видами двухмодальных распределений.
Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать [4] следующим образом:
• трапецеидальные (плосковершинные) распределения;
• уплощеные (приблизительно плосковершинные) распределения;
• экспоненциальные распределения;
• семейство распределений Стьюдента;
• двухмодальные распределения.
6.3.2. Трапецеидальные распределения
К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона). Равномерноe распределение (рис. 6.5,а) описывается уравнением
Трапецеидальное распределение (рис. 6.5, б) образуется как композиция двух равномерных распределений шириной а1 и а2, (рис. 6.2):
Рис. 6.5. Распределения: а — равномерное; б — трапецеидальное;
в — треугольное (Симпсона)
Треугольное (Симпсона) распределение (рис. 6.5, в) — это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных равномерных распределений одинаковы: а1 = а2 (см. рис. 6.2):
где Хц, а, b — параметры распределения.
Математическое ожидание всех трапецеидальных распределений Хц = (x1 + х2) / 2. Медианы из соображений симметрии равны МО. Равномерное и собственно трапецеидальное распределения моды не имеют, а мода треугольного равна 1/а.
Среднее квадратическое отклонение в зависимости от распределения определяется по формуле:
•
равномерное
;
•
трапецеидальное
•
треугольное
.
Из приведенных уравнений следует, что СКО трапецеидальных распределений возрастает в 1,41 раза с ростом параметра b от нуля (треугольное) до а (равномерное). Коэффициент асимметрии всех трапецеидальных распределений равен нулю.
Числовые параметры трапецеидальных распределений при различных отношениях ширины исходных равномерных распределений приведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Значения параметров трапецеидальных распределений
|
b/а |
a2 /a1 (см. рис. 6.2) |
а/ |
|
к |
k |
|
1 |
0 |
1,732 |
1,8 |
0,745 |
1,73 |
|
2/3 |
1/5 |
2,037 |
1,9 |
0,728 |
1,83 |
|
1/2 |
1/3 |
2,191 |
2,016 |
0,704 |
1,94 |
|
1/3 |
1/2 |
2,324 |
2,184 |
0,677 |
2,00 |
|
0 |
1 |
2,449 |
2,4 |
0,645 |
2,02 |
Равномерное распределение имеют погрешности: квантования в цифровых приборах, округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках, определения момента времени для каждого из концов временного интервала при измерении частоты и периода методом дискретного счета. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.