Лабораторная работа КАД временные ряды

Панов Константин, гр. 2/147

Лабораторная работа №5

«Анализ и прогнозирование временных рядов»

Цель работы: освоить анализ и прогнозирование поведения временных рядов (ВР) с помощью экспоненциального сглаживания.

Основные задачи анализа ВР:

1. Определение природы ряда и математической модели, адекватно отражающей эту природу;

2. Прогнозирование с помощью математической модели: предсказание будущих значений ВР по настоящим и прошлым значениям.

В файле Import приводится импорт товаров и услуг в США (Общий) с января 1999г. по январь 2001г. В данной работе выполнен прогноз импорта товаров и услуг на 10 шагов (месяцев).

1. Определим природу временного ряда.

Построим график ВР в модуле Time Series/Forecasting:

Прогнозируемой переменной является общий импорта товаров и услуг, который дается за месяц.

Задача: спрогнозировать общий импорт товаров и услуг в последующие месяцы.

График ВР:

Из этого графика видим, что есть тренд, возможно демфированный, в наличии сезонности сомневаемся. Поэтому нужно смотреть АКФ и ЧКАФ.

Для того чтобы определить природу ВР, вычисляем автокорреляционную функцию (при расчете АКФ учитываются наблюдения внутри лагов), частную автокорреляционную функцию (в ЧАКФ устраняется зависимость между наблюдениями) элементов ряда.

И далее, должны сделать вывод есть тренд или его нет, есть сезонность или ее нет.

Вывод: Исходя из графика АКФ видно, что ряд не стационарен (то есть не лишен тренда и сезонности), нет сезонности (периодически повторяющейся компоненты, изменения которой обусловлены неким циклическим механизмом, внешним по отношению к наблюдаемому процессу), т.к. корреляция плавно убывает и явно есть временной тренд (представляет собой некоторые устойчивые систематические изменения в течение долгого периода, которые обусловлены механизмами анализируемого процесса)

Рассмотрим график ЧАКФ: имеется сильная корреляция между соседними элементами ВР, это говорит об отсутствии сезонности.

2. Идентифицировать модель ВР.

Чтобы идентифицировать ВР будем использовать модель экспоненциального сглаживания. Выбираем затухающий (демфированный) тренд.

Т.к. ряд сезонности не имеет, а имеет тренд, то далее мы должны определить у модели параметры, т.е. имеем 2 параметра:

• Параметр α - сглаживание основного ряда (уровня);

• Параметр γ - сглаживание тренда;

Выбираем ошибку Mean abs. perc. Error (другие для демфированного тренда не работают)

Получаем:

• Параметр α = 0,081;

• Параметр γ=0;

• Параметр fi=0,996;

Смотрим график, который получился в результате расчетов:

Синий – основной график, красный – расчетных значений и зеленый – остатков.

Первый столбец – значения экспериментальные (наблюдаемый ВР); второй – сглаженный ВР и последний ряд остатков.

Ниже, увидим прогнозируемые значения ряда на 10 шагов.

3. Прогнозирование.

Синий – основной график, красный – рассчитанный по значениям экспоненциального сглаживания (все что идет далее - прогноз) и зеленый – остатков.

Теперь для того, чтобы проверить адекватность, мы должны проверить остатки (Остаток в i-том опыте это разность между экспериментальным и расчетным значением отклика r_i =) на независимость. Представляют остатки белый шум или нет (белый шум - это последовательность независимых некоррелируемых СВ, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием равным 0 и некоторой дисперсией).

Смотрим автокорреляцию остатков АКФ и ЧАКФ.

По этим графикам делаем выводы об адекватности модели. Видим белый шум, значит, модель является адекватной.

Так же я предположил, что может быть тренд линейный, поскольку по графику точного ответа нельзя дать, значит выберем модель Кольта (линейный тренд). Выполняем все этапы, которые проделывали выше.

Получим следующие данные:

Выбираем ошибку Mean Error . Получаем:

• Параметр α = 0,03;

• Параметр γ=0;

Первый столбец – значения экспериментальные (наблюдаемый ВР); второй – сглаженный ВР и последний ряд остатков.

Ниже, увидим прогнозируемые значения ряда на 10 шагов.

Теперь для того, чтобы проверить адекватность, мы должны проверить остатки на независимость. Представляют остатки белый шум или нет. (белый шум - это последовательность независимых некоррелируемых СВ, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием равным 0 и некоторой дисперсией.

Смотрим автокорреляцию остатков АКФ и ЧАКФ.

По этим графикам делаем выводы об адекватности модели. Видим белый шум, значит, модель является адекватной.

Теперь я должен сделать вывод какой этот ряд с затухающим или с линейным трендом. Для этого я сравнил АКФ и ЧАКФ остатков и ошибки (все таблицы представлены выше). График четкого ответа не дает, но сравнив таблицы ошибок видно, что лучшей моделью является модель с линейным трендом.

Поэтому составляем модель, подставляя нужные параметры:

α = 0,03; γ=0;

ЭС ВР с трендом (модель Холта) – 2-х параметрическое сглаживание.

Y_t = α · U_t + (1-α) · (Y_t-1 – T_t-1) - ЭС ВР общего уровня

T_t = γ · (Y_t – Y_t-1) + (1- γ) · T_t-1 - ЭС тренда

U_t+k = Y_t + k · T_t - прогноз

Где U_t - значения наблюдаемой переменной в момент времени t, Y_{t – -}сглаженные значения.

Получаем:

Y_t = 0,03 · U_t + 0,97 · (Y_t-1 – T_t-1) - ЭС ВР общего уровня

T_t = T_t-1 - ЭС тренда

U_t+k = Y_t + k · T_t - прогноз, где k = 10.

Вывод: В данной работе я освоил анализ и прогнозированние поведения ВР с помощью экспоненциального сглаживания. Определил природу своего ряда и математ. Модели, а также предсказал будущие значения ВР на 10 месяцев вперед.

15