- •Глава 1. Предмет и задачи метрологии
- •1.1. Предмет метрологии
- •1.2. Структура теоретической метрологии
- •3.3. Международная система единиц (система си)
- •3.4. Воспроизведение единиц физических величин и передача их размеров
- •3.4.1. Понятие о единстве измерений
- •3.4.2. Эталоны, единиц физических величин
- •3.4.3. Поверочные схемы
- •Глава 4. Основные понятия теории погрешностей
- •4.1. Классификация погрешностей
- •4.2. Принципы оценивания погрешностей
- •4.5. Правила округления результатов измерений
- •Глава 5. Систематические погрешности
- •5.1. Систематические погрешности и их классификация
- •5.2. Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей
- •Глава 6. Случайные погрешности
- •6.1. Вероятностное описание случайных погрешностей
- •6.3. Основные законы распределения
- •6.3.1. Общие сведения
- •6.3.2. Трапецеидальные распределения
- •6.3.3. Экспоненциальные распределения
- •6.3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •6.3.6. Семейство распределений Стъюдента
- •Глава 7. Грубые погрешности и методы их исключения
- •7.1. Понятие о грубых погрешностях
- •7.2. Критерии исключения грубых погрешностей
- •Глава 8. Обработка результатов измерений
- •8.1. Прямые многократные измерения
- •8.1.1. Равноточные измерения
- •8.2. Однократные измерения
- •8.3. Косвенные измерения
- •Глава 9. Суммирование погрешностей
- •9.1. Основы теории суммирования погрешностей
- •9.2. Суммирование систематических погрешностей
- •9.3. Суммирование случайных погрешностей
- •9.4. Суммирование систематических и случайных погрешностей
- •9.5. Критерий ничтожно малой погрешности
- •Глава 11. Средства измерений
- •11.1. Понятие о средстве измерений
- •11.2. Статические характеристики и параметры средств измерений
- •11.3. Динамические характеристики и параметры средств измерений
- •11.4.Классификация средств измерений
- •11.5. Элементарные средства измерений
- •11.6. Комплексные средства измерений
- •11.6.1. Измерительные приборы и установки
- •11.6.2. Измерительные системы и измерительно-вычислительные комплексы
- •11.7. Моделирование средств измерений
- •11.7.1. Структурные элементы и схемы средств измерений
- •11.7.2.Структурная схема прямого преобразования
- •11.7.3.Уравновешивающее преобразование
- •11.7.4. Расчет измерительных каналов средств измерений
- •Глава 12. Метрологические
- •12.2. Метрологические характеристики, предназначенные для определения результатов измерений
- •12.3. Метрологические характеристики погрешностей средств измерений
- •12.4. Характеристики чувствительности средств
- •Измерений к влияющим величинам.
- •Неинформативные параметры выходного
- •Сигнала
- •12.5. Нормирование динамических характеристик средств измерений
- •12.6. Метрологические характеристики влияния на инструментальную составляющую погрешности измерения
- •12.7. Комплексы нормируемых метрологических характеристик средств измерений
- •12.8. Расчет погрешностей средств измерений по нормированным метрологическим характеристикам
- •12.9.Классы точности средств измерений
- •Глава 13. Метрологическая надежность средств измерений
- •13.1. Основные понятия теории метрологической надежности
- •13.2. Изменение метрологических характеристик средств измерений в процессе эксплуатации
- •13.5. Метрологическая надежность и межповерочные интервалы
- •Приложение 1. Статистические таблицы
- •Глава 1. Предмет и задачи метрологии 1
- •Глава 12. Метрологические 100
- •Глава 13. Метрологическая надежность средств измерений 126
Глава 6. Случайные погрешности
6.1. Вероятностное описание случайных погрешностей
Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некоторого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматриваться (см. разд. 4.2) как случайные величины.
Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения. Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина хi в i-м опыте принимает значение, меньшее х:
(6.1)
График интегральной функции распределения показан на рис. 6.1. Она имеет следующие свойства:
• неотрицательная, т.е. F(x) 0;
• неубывающая, т.е. F(x2) F(x1), если х2 x1;
• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(- ) = 0; F(+ ) =1;
• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х1 до х2 Р(x1 < х < х2} = F(x2) - F(x1).
Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:
Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х1; х2)
Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [- ; + ] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.
Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х1;х2) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х1 и х2 (см. рис. 6.1). Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.
Рис. 6.1. Интегральная (а) и дифференциальная (б)
функции распределения случайной величины
Результирующая погрешность зачастую складывается из ряда составляющих с различными плотностями распределения р1(х), р2(х),..., рn(х). В связи с этим возникает задача определения суммарного закона распределения погрешности. Для суммы независимых непрерывных случайных х1 и х2, имеющих распределения р1(х) и р2(х), он называется композицией и выражается интегралами свертки [48, 49]:
Графическое определение композиции двух случайных независимых величин показано на рис. 6.2. Следует отметить, что масштаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выполняться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, равна единице.
Рис. 6.2. Суммирование законов распределений