Глава 3. Логика предикатов.

Алгебра исчислений высказываний анализирует фактически каждое логическое предложение с точки зрения логических связей между простейшими или составными утверждениями. Структура простейших высказываний при этом не анализируется. В этом отношении высказывание является не подвергнутым структурному анализу, и, следовательно, упускается широкий класс математических рассуждений.

Пример 1. Возьмем рассуждение А: «Всякое рациональное число Х есть действительное число». Высказывание: «B <есть рациональное число». На основании А иB делаем вывод: «число – действительное число». Такой переход в алгебре высказываний мы записываем ((A&B)→C). Однако справедливость этого вAB доказать мы не сможем. Таким образом, анализ структуры сводится к выделению объекта.

§1. Переменные, предикаты, модель.

Множество – это собрание предметов реального или абстрактного мира, объединенных общим признаком. [Г. Квантор, 1874 г.]

М – множество каких-то элементов

М ≠ Ǿ

M×M×M×…×M= Mⁿ – декартовая степень множества М.

N=2 –имеет декартовую плоскость

М×М=М²

<x, y>- вектор(кортеж)

(x,y)-элементы вектора не

переставляются

<x,y> М²=М×М

<x₁,x₂,…,x_n> Mⁿ = M×M×…×M

R – отношение между элементами x, y множества M². xRy, RM², R = <

x<y M² (подмножество)

z=M

y=M

RM²

y=M

M=x

x=M

x<y (характеризует связь элементов)

1) x > y ; 2) x = y ; 3) x y – бинарные отношения R: >, = ,

Можно рассматривать отношение и между тремя элементами

x=z из M³

Между четырьмя элементами , <x, y, n, m> M⁴

Подводя черту, можно сказать: произвольное подмножество называется n-местным отношением на М (М – исходное множество; Mⁿ – декартова степень, n – число мест или элементов)

<a₁,a₂,…,a_n> PMⁿ

Если кортеж длины n удовлетворяет отношению P, то это означает:

а) < a₁,a₂,…,a_n >P (P) - теория множеств

б) P(a₁,a₂,…,a_n)=И (Л) - математическая логика

(a₁,a₂,…,a_n) n – местный предикат, a₁M, a₂M,…, a_nM позволяет установить связь между отношениями теории множеств и истинности в математической логике.

Справедливо n-местное отношение или справедлив n-местный предикат, определенный на множество М. Сам предикат принимает значение истинно или ложно.

Множество М в этом случае называется основным множеством или предметной областью (несущее множество)

Pⁿ(a₁,…,a_n){и, л}

Отдельные элементы множества М будем обозначать a₁,a₂,…,a_n и называть их предметными константами.

x,y,z …-предметные переменные

n - местный предикат обозначим P, Q, S, T,…

Уточнение места этого предиката будем обозначать

P¹(x), Pⁿ(x₁,…,x_n)

Иногда можно упускать обозначения Q(x,y).

^{2 места}

Определение1: Основное множество М с определенными на нем предикатами P₁ⁿ¹, P₂ⁿ²,…, P_k^nk и выделенными значениями предметных констант a₁,…,a_m называется моделью.

Множество символов предикат и констант называется сигнатурой модели

{ P₁ⁿ¹, P₂ⁿ²,…, P_k^nk ; a₁,…,a_m)

^{предикат const}

Следовательно модель вида<M,>.

Рассмотрим пример.

В качестве исходного множества М взято множество M=N{1,2,3,…,n}

S³(x,y,z) x+y=z

P³(x,y,z) x∙y=z

<N, ={S³,P³;1,2,…,n}> - модель арифметики натуральных чисел.

<N, ={S³,P³;1}> - арифметика Пеано.