§3. Непротиворечивые и полные множества формул.

Определение 4: а) Пусть S-произвольное множество предложений сигнатуры .

Множество S называется выполнимым, если существует модель <M, >, в которой истинны все предложения из множества S.

В противном случае, множество S-не выполнимое.

б) Множество S называется противоречивым, если существует такое предложение A сигнатуры , что из множества S мы выводим одновременно A и A, то есть S ├ (A&)

В противном случае, множество S называется не противоречивым.

Пусть множество S- выполнимое. Это означает, что мы можем придать множеству S такое содержание, при котором все предложения множества S будет истинны. Относительно такого момента говорят: рассуждение S имеет смысл. И наоборот, если некоторое рассуждение S кажется неправдоподобным, говорят: оно бессмысленно. Поэтому понятие выполнимого множества предложений является математическим определением, содержательно правильного рассуждения. В этом отношении понятие непротиворечивого множества предложений является математическим определением формального правильного рассуждения. Если в процессе некоторого рассуждения S получается противоречие типа A&, то это рассуждение естественно считать не правильным. Если рассуждение не противоречиво, естественно его считать правильным.

Теорема 7. Если множество предложений S выполнимо, то оно не противоречиво.

Доказательство: Пусть множество S имеет модель H, в которой истинны все предложения из S.

Предположим от противного, что S-противоречиво. Это означает, что существует такое предложение A, которое выводится своим прямым и обратным значением из S, то есть S├ (A&)

По теореме 2 §3 гл.3, теореме 5 §2 гл.1, аксиомы ИП являются тавтологиями и поэтому истинны модели M.

По теореме 4 §2 гл.1, теореме 3 §3 гл3, правило вывода, МР, -правило,-правило, примененные к истинным формулам, снова дают истинные формулы (*).

Поскольку, предложение из S истинны в модели М, то полученный с помощью вышеуказанных правил(*) предложения такие будут истинными в модели М.

(A&) И

Но это противоречит теореме 1[§3 гл3]

Таким образом, ты доказали, что содержательное понятие правильности рассуждения полностью согласуется с формальными.

Представляет интерес обратное утверждение: верно ли, что всякое формальное правильное рассуждение, является содержательно правильным? Другими словами: верно ли, что каждое не противоречивое множество предложений выполнимо?

Определение 5: Счетным множеством мы называем множество, каждому элементу которого можно сопоставить какое-либо число.

Лемма I.Если сигнатура счетно, то множество всех формул также счетно.

Лемма II.

Пусть S₀,S₁,S₂,…,S есть непротиворечивые множества предложений.

Пусть S₀S₁S₂… предложения вложены, тогда множество T вида:

T = _i также непротиворечиво.

Доказательство: метод от противного: предположим, что Т – противоречиво. Тогда существует такое предложение А, что в

Т├ (A&)

Вывод A& представляет собой конечный набор формул и поэтому использует лишь конечное число гипотез из Т.

В свою очередь все эти гипотезы попадают в некоторое предложение S_i. Тогда очевидно, что S_i порождает A&, то есть

S_i├ (A&)

Но это не возможно потому что по условию S_i – противоречиво.

Лемма III. Если S – непротиворечивое множество предложений, А- произвольное предложение, то хотя бы одно из множеств S U{A} или S U{} является непротиворечивым.

Доказательство: метод от противного.

Предположим, что S U{A}, S U{} – противоречивы, тогда существуют такие предложенияB и C, что S, A ├ (B&) и S, ├ (C&)

На основании определения 8:

(B&) ├ (C&) либо (C&) ├ (B&)

Тогда по правилу силлологиза следует:

S, ├ (C&)

S, A├ (C&) правило удаления :S(A) ├ (C&)

Но (A) является доказуемой в ИП. Следовательно, исходное множествоS обеспечивает выводимость(*):

S├ (A)(C&) (*)

Но (*) невозможно, т.к. по условию множество S – непротиворечиво.

Определение 6. Множество Т сигнатуры называется полным в сигнатуре , если для каждого предложения A сигнатуры выполняется:

T ├ A , либо T ├

Данное определение означает, что полное множество Т нельзя расширить никакими предложениями данной сигнатуры, которые не были бы выводимы из T.

Если некоторое множество предложений А сигнатуры не выводимо из T, то тогда, очевидно, что из Т выводится его отрицание. Но тогда, очевидно, T {A} будет противоречивым.

Следующая теорема утверждает, что любое множество предложений можно расширить до полного и непротиворечивого множества.

Теорема Линдепбаума. Всякое непротиворечивое множество предложений S содержится в непротиворечивом и полном множестве предложений T той же сигнатуры.

Доказательство:

Пусть S- непротиворечивое множество предложений сигнатуры . Пронумеруем все предложения данной сигнатуры A₁,…,A_n, A_n+1,… (1)

Индукцией по n построим последовательность: S₀, S₁,…, S_n, S_n+1,… (2)

Очевидно, T = _i

Имеет место:

1) S₀=S

2) Пусть S_n-определено

3) Положим S_n+1 = а)Sn U{A_n+1},если Sn U{A_n+1} - непротиворечиво

б) Sn U{}, в противном случае

Договорившись о такой конструкцией индукции предложения (2) мы можем утверждать S_n+1(n>2) получается из предыдущего множества Sn путем добавления конкретного множества (A_n+1) или его отрицания.

Поэтому в последовательности (4) мы можем расставить такую связь S₀S₁S₂…S_nS_n+1…, n (A_nS_n) или (_nS_n)

Необходимо доказать, что S_n-непротиворечиво.

Заметим:

1) S₀=S – непротиворечиво по условию;

2) Предположим, S_n – непротиворечиво;

Рассмотрим S_n+1=S_n U {A_n+1}

Если S_n U {A_n+1} – непротиворечиво, то S_n+1 – является тоже непротиворечивым.

Если Sn U{A_n+1} – противоречиво, то по лемме 3 S_n U{}-является непротиворечивым.

Если S_n+1 = S_n U{}, то выражение (4) удовлетворяет лемме 2 и множество T=_n является искомым.

Действительно, относительно множества Т заметим:

оно непротиворечиво

оно полно, т.е. каждое предложение А сигнатуры совпадает с некоторым предложением An из выражения (3): (AS_n) или (S_n)

Это влечет либо выводимость Т├A, либо Т├. На основании этого, можем утверждать: Т – полное множество сигнатуры .