Глава 1. Алгебра высказываний.

§1. Высказывания. Логические операции.

Определение 1. Отрицание – логическая операция, которая каждому высказыванию А сопоставляет высказывание и является истинным, если А – ложное и наоборот. (например, «снег черный» -). Обозначается¬А.

Таблица истинности:

А
И	Л
Л	И

Определение 2. Конъюнкция – логическая операция, которая двум высказываниям А и B сопоставляет третье ложное высказывание AB (A&B) и является истинным, когда истинны одновременно высказывания A и B.

Таблица истинности:

A	B		A&B	AB	A→B	A~B
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Конъюнкция – двуместная операция (бинарная), это логическое умножение.

Определение 3. Дизъюнкция – логическая операция (логическое сложение), которая двум исходным простейшим высказываниям A и B сопоставляет третье сложное высказывание AB, являющееся ложным в том случае, когда А – ложное, B – ложное. Пример – «До центра города можно доехать троллейбусом или автобусом 11».

Определение 4. Импликация – логическое следование, есть третье сложное высказывание A→B, которое сопоставляется двум исходным высказываниям A и B, являющиеся ложным в том и только том случае, когда А – истинное, а B – ложное. (А – посылка, условие; B - заключение). A→B – переход от посылки к заключению.

Определение 5. Эквиваленция – логическая равнозначность, логическая операция над двумя исходными высказываниями, которая обозначается A~B или A≡B, являющееся истинным тогда и только тогда, когда они либо вместе ложные, либо вместе истинные.

Замечание: в алгебре высказываний вводятся скобки для однозначности чтения.

Определение 6. Формулами алгебры высказываний называются простейшие высказывания и высказывания сложные, образованные из простейших с помощью конечного числа логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации. Для однозначности чтения формул вводятся скобки.

Пример1:

а) (A&B) → C = F(A,B,C)

б) (()&) ~ (C→A) = F(A,B,C,D)

Для нахождения значений формулы F(A,B,C,D) или F(A,B,C) строится соответствующая таблица истинности:

A	B	C	F(A,B,C)
И	И	И	И
И	И	Л	Л
И	Л	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	И	И
Л	И	Л	Л
Л	Л	И	И
Л	Л	Л	И

2ⁿ значений высказываний

n логических высказываний (A, B, C).

§2. Тождественно истинные формулы.

Если рассмотреть какую-либо формулу алгебры высказываний P(A,B,C); A,B,C – простейшие, например, (AB)→C, подставляя в них другие формулы, например,

А = Q (A, B, C, …),

B = Q₂ (A₂, B₂, C₂, …),

C = Q₃ (A₃, B₃, C₃, …)

Каждая из которых истинна или ложна, оно также анализируется на предмет истинности или ложности. Вновь полученная формула истинна в зависимости от Q. В такой постановке может встретиться случай тождественно истинной формулы при всех составляющих логических высказываний. Такие формулы называются тавтологией (тождественно истинные формулы).

Таблица истинности тавтологии:

A	B	C	P(A,B,C)≡И
И	И	И	И
И	И	Л	И
И	Л	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	И	И
Л	И	Л	И
Л	Л	И	И
Л	Л	Л	И

Определение 7. Формула P(A,B,C,…) алгебры высказываний называется тавтологией, если она истинна при всех значениях входящих переменных. Обозначается тавтология: ╞ P(A,B,C,…)

Пример 2.

А = «127 – простое число»

А ≡ И

127 – простое число (А)

или неверно, что 127 – простое число ().

╞ А.

А		А
И	Л	И
Л	И	И

Тавтология – схема правильных рассуждений. Исходя из определения 6 формулы алгебры высказываний, мы можем построить с помощью определения 7 схему образований новых тавтологий, используя следующую теорему.

Теорема 1. Пусть Q – формула алгебры высказываний, зависящая от логических переменных A₁, …, A_n, а Q* - формула, полученная из исходной Q путем одновременной замены новых переменных: Q (A₁, …, A_n), Q*(P₁, …, P_n). Тогда, если исходная формула Q является тождественно истинной, то и Q* является тождественно истинной:╞Q ╞Q*.

Доказательство: Подставляемые новые переменные Р₁, …, Р_n принимают те же значения, что и заменяемые буквы А₁, …, А_n. А так как исходная формула Q является тождественно истиной, независимо от значений А₁, …, А_n, то, следовательно, Q* будет независимо тождественно истинной от формул Р₁, …, Р_n.

Пример 3 тавтологии:

 [(P)→P]

Рассмотрим новые свойства в образовании сложных формул.

Определение 8. Две формулы P и Q являются эквивалентными, если их значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных. Факт эквиваленции записывается знаком ~.

P(A₁, A₂, …, A_n) ~ Q(E₁, E₂, …, E_m)

Если m=n, то таблица истинности совпадает слева и справа. Если m≠n,то это означает, что мы имеем часть фиктивных переменных, независимых от того, что имеем. Формулы P и Q эквивалентны, если совпадают их таблицы истинности.

P = A; Q = A ()

A	E		A()
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л

Теорема 2. При любом выборе логических формул алгебры высказываний выполняются формулы эквивалентности: