§3. Выводимость из гипотез.

В данном параграфе мы рассмотрим схемы математических простых доказательств.

Теорема 1. Гипотеза A₁, A₂,…,А_i,…,A_m ├А_i, где i=1,…,m.

Теорема2. Пусть Т – некоторое множество ПОФ из ИВ, тогда, если Т├В и В├С, то Т├С.

Доказательство: по классической схеме: пусть Т├В и В├С. Пусть {C₁,…,С_к} есть вывод В├С. Тогда очевидно можем заменить каждое вхождение [В вывод С] на [Т вывод В].

В├С Т├С.

Пример 5. Все люди смертны. Сократ – человек. Сократ – смертен.

Правило силлогизма.

Теорема 3. Если имеется [A₁,A₂,…,A_m-1├(A_m→B)] – посылка, то A₁,A₂,…,A_m-1,A_m├B

Доказательство: пусть посылка (A₁,A₂,…,A_m_-1├(A_m→B)) имеет место и B₁,…,B_к – есть вывод (A_m→B) из посылок A₁,A₂,…,A_m_-1. Очевидно, можно дополнить этот вывод до вывода формулы В из A₁,A₂,…,A_m. Тогда по определению вывода имеем B_k = (A_m→B). Если в качестве формулы возьмем B_k₊₁ = A_m, B_k₊₂ = B, то по правилу МР применительно к строчкам B_к и B_k₊₁, мы можем получить истинность В_к+2 – есть конечный результат, т.е. В_к+2= В. .

Прием из теоремы 3 возвращает нас к рассмотрению теорем вида А→В. В этих теоремах, если знак импликации объявляем истинным, то утверждаем, что заключение В является тождественно истинным.

В схеме А ├В мы говорим, что В выводится из А.

В теореме 3 мы использовали правило дедукции.

Теорема 4. (Правило дедукции - ПД).

Если A₁,A₂,…,A_m-1,A_m - гипотезы, позволяющие вывести В, т.е. A₁,A₂,…,A_m-1,A_m├B, то A₁,A₂,…,A_m-1├ (А_m→B)

Доказательство: пусть посылка (A₁,A₂,…,A_m_-1,A_m├B) имеет место и {B₁,…,B_k} есть вывод формулы В из гипотез A₁,A₂,…,A_m_. Имеет ли место (А_m→B).

Для доказательства справедливости (А_m→B) рассмотрим последовательность формул

(*)

В этой последовательности последняя формула может быть искомой [A_m→B_k]. Однако, чтобы утверждать последнее, воспользуемся методом математической индукции по индексу к.

1) База индукции. В качестве базы рассмотрим первую строку A_m→B₁. В этой формуле В₁ либо аксиома, либо одной из гипотез A₁,…,A_m.

1 случай. Пусть В₁ – аксиома, тогда А_m→B₁ может быть доказана следующим образом:

1) В₁ – аксиома (по предлож.)

2) (В₁→(A_m→B₁)) акс. 1.1.

3) A_m→B₁ МР: В₁В₂

2 случай. Пусть В₁ – гипотеза А₁,…,А_m. Доказательство проводим следующим образом:

1) В₁ – гипотеза (по пред.)

2) (B₁→(A_m→B₁)) акс. 1.1.

3) A_m→B₁ МР: 1,2

3 случай. Пусть В₁=А_m. Тогда A_m→A_m. Доказывалось в предыдущей лекции.

2) Индукционное предложение.

Пусть для всех i<l доказано A_m→B₁ выводима из A₁,…,A_m_-1

A₁,…,A_m_-1 ├ A_m→B₁.

3) Индукционный шаг.

Обращаем внимание: A_m→является либо одной из аксиом, либо одной из гипотез, либо формулаB_l получается путем вывода по правилу МР из некоторых предыдущих формул.