§5. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний.

Формулы ИВ, как мы заметили в предыдущих лекциях, образуются по тому же принципу, что и в алгебре высказываний. Более того, если выск. переменной в ИВ присваивать значения «И» или «Л», а символы ┐, &, V, → рассматривать как логические операции, то формулы ИВ будут принимать в конечном счете истинные значения («И» или «Л»). Следовательно, возникает вопрос: являются ли тождественно истинные формулы в алгебре высказываний (АВ) эквивалентными доказуемым формулам в ИВ.

(Т.И. формулы АВ) = (док. формуламИВ) (*)

Для ответа формулируем следующую теорему:

Теорема 12. Всякая формула доказуемая в ИВ является тождественно истинной в АВ

Доказательство. Каждая доказуема формула в ИВ получается из аксиом с помощью правила МР. По теореме 5 главы 1 каждая аксиома в исчислении высказываний является тождественно истинной формулой.

По теореме 4 применение правила МР к тождественно истинной формуле дает снова тождественно истинную формулу. Поэтому любая формула, получаемая из аксиом с помощью правила МР, будет тождественно истинной.

Справедливость теоремы 12 позволяет утверждать, что все выводы в ИВ находятся в строгом соответствии с выводами АВ.

Докажем обратную эквивалентность (*).

Верно ли, что каждая тождественно истинная формула доказуема в ИВ.

Является ли ИВ достаточно полным для обоснования любых выводов АВ (проблема полноты ИВ).

Проблема решается положительно с помощью теоремы 13.

Теорема 13.

Всякая тождественно истинная формула в АВ доказуема в ИВ.

Доказательство:

А^И = А , А^Л =

Пусть Р(А₁,…,А_n) – формула ИВ, <J₁,…,J_n> - набор истинных значений формулы Р, где J_j{И,Л},j=1,…,n

J_р – конечное истинное значение формулы Р.

Будем рассматривать:

а) пусть исходная формула

P(A₁, A₂)=A₁&A₂

<J₁, J₂>=<Л, И>

; ; J_P=Л&И=Л

б) P(A₁, A₂, А₃)=((А₁А₂) →А₃

<J₁, J₂, J₃>=<И, Л, Л>

; ; J_P=((ИЛ) →Л)=Л

в) P(A₁)=

<J₁>=<Л>

; J_P=И

Далее необходимо ввести и доказать лемму 2.

Лемма 2.

Для любой формулы Р(А₁,…,А_n) и конкретных значений <J₁,…,J_n> выполняется соотношение:

├ (1)

Доказательство:

Проведем метод индукции:

1. База индукции

а) возьмем формулу Р в том случае, когда она не содержит логических символов, т.е. Р – сами высказывательные переменные.

Р=А₁

<J₁>

J_P=P(J₁)=J₁

├

Это справедливо в силу теоремы 1 в параграфе 3.

2. Индукционное предположение.

Пусть для любых формул Р(А₁,…,А_n), Q(А₁,…,А_n), содержащих не более, чем к логических связок имеет место лемма 2, т.е. для любого набора <J₁,…,J_n> выполняется:

├(2)

├(3)

J_P= Р(J₁,…,J_n)

J_q= Q(J₁,…,J_n)

3. Индукционный шаг.

R(A₁,…,A_n) получается из формул Р(А₁,…,А_n), Q(А₁,…,А_n) с помощью логических связок.

а) R(А₁,…,А_n)=P(А₁,…,А_n)

J_r=

├(4)

J_P=И, =P,

P├(правило введения =) (*)

Из (*) и выражения2 по правилу силлогизма получим утверждение 4.

б) J_P=Л, =,

По теореме 3 параграфа 1 ├ (* *)

Из (* *), 2, по правилу силлогизма, получим утверждение 4.

б) R=PVQ

J_r=J_pVJ_q

├ (5)

J_p=И, J_pV J_p=И

=P

=PQ

P├ (PQ) (xxx) (П.В. V)

Из выражения 2, xxx следует выражение 5.

В случае J_q=И доказательство аналогично

J_p=И

J_q=Л, J_p=Л J_pJ_q=Л

=

= =() (xxxx)

По правилу введения &:

, ├ (&)

По лемме 1б можем записать:

(&)├ () (xxxxx)

Из (xxxxx), формулы 2, 3 правила силлогизма получаем выражение 5.

в) R=(P&Q)

J_r=J_p&J_q

├ (6)

Рассмотрим конкретные значения J_q и J_p

J_q=J_p=И

=P

=Q =P&Q

P&Q├ (P&Q) (П.В. &)

Применим к последнему выражению строки 2, 3 получим выражение 6.

J_p=Л, =

J_q=И, =Q =

1. ├ () (П.В. )

Тогда из леммы 1а

2. ()├

Из выражений 1, 2 получим выражение 6.

г) Пусть R=(P→Q)

J_r=(J_p→J_q)

├ (7)

J_p=И =P

J_q=Л, ==

1. P, ├ (P&) (П.В. &) (w)

2. (P&)├[лемма 12] (ww)

Из (w) и (ww) и строки 2,3 следует выражение 7

J_p=Л

=Л

=P→Q

├(Q) (П.В.) (www)

(VQ) ├ (P→Q) [лемма 1в] (wwww)

Рассматривая (www), (wwww), выражение 2, получим выражение 7.

J_q=И

=Q

=(P→Q)

Q├ (Q) (П.В. V)

(VQ) ├ (P→Q) [лемма 1в]

Применяя к последним двум выражениям формулу 3 мы получим выражение 7.

Доказав лемму 2, возвращаемся к теореме 13.

Пусть формула Р является тождественно истинной.

P(А₁,…,А_n) [по условию теоремы 13] =И.

Покажем, что формула Р доказуема.

J_P=<J₁,…,J_n> - тождеств. истинно.

= P(А₁,…,А_n).

Из леммы 2 следует, что ├(8)

Возьмем 8 и зафиксируем два набора:

<J₁,…,J_n-1, И> (+)

<J₁,…,J_n-1, Л> (++)

├

├

├ (П.В. V)

├ [по лемме 1g]

├ (9)

J₁,…,J_n выбирались произвольно, и выражение 9 справедливо для любого набора вида <J₁,…,J_n-1>

Аналогично, из (9) мы можем написать выражение, исключив

├ (10)

├(11)

Рассуждая таким образом, мы получили выражение (11), что и доказывает теорему 13.

Теоремы 12 и 13 дают конкретный способ доказуемости формул исчисления высказываний.

Для того, чтобы доказать, что формула Р в ИВ является доказуемой, достаточно проверить, что она является тождественно истинной. Тождественно истинность формулы может быть проверена либо аналитически, либо с помощью таблицы истинности.

Пример 8. ├ (A→)→(B→)

A	B			A→	B→	(A→)→(B→)
И	И	Л	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	И	И	И	И
Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

P(A, B)≡И → ├ P(A, B)