§4. Производные правила вывода.
В данном параграфе мы выведем новые правила.
Пусть А, В, С есть произвольные ПОФ ИВ.
Теорема 5. (Правило перестановки посылок)
Если (А→(В→С)), то утверждаем выводимость (В→(А→С)).
Доказательство:
а)
,
,
├
С
1) А гипотеза А3
2) (А→(В→С)) гипотеза А1
3) В→С МР:1,2
4) В гипотеза А2
5) С МР:3,4
б) (А→(В→С)), В ├ А→С (ПД:а)
в) (А→(В→С)) ├ (В→(А→С)) (ПД:б)
Теорема 6. (Правило соединения посылок)
А→(В→С) ├ ((А&В) →С)
Доказательство: смотреть пример 6.
Теорема 7. (Правило разъединения посылок)
((А&В) →С) ├ (А→(В→С))
Доказательство:
,
,
├
С
1) А гипотеза А2
2) В гипотеза А3.
3) (А→(В→(А&В))) акс.2.3
4) (В→( А&В)) МР:1,3
5) (А&В) МР:2,4
6) ((А&В) →С) гипотеза А1
7) С МР:5,6
Применяя дважды правило дедукции, получим
((А&В) → С) ├ (А→(В→С))
Теорема 8. (Правило введения).
А, В – ПОФ
а) А, В ├ (А&В) (введение &)
б)
А ├ (А
B)
в)
В ├ (А
B)
(введение V)
г) если А├ В, то ├ (А→В) (введение →)
д)
А ├
(введение =)
е)
если А├В и А├
,
то
(введение – или правило сведения к
противоречию).
Доказательство: а), б), в) следуют из акс. 2.3, 3.1, 3.2
г) правило дедукции применено
д) 1) А гипотеза
2)
(А→(
→А))
акс. 1.1
3)
→А
МР:1,2
4)
((
→А)
→ ((
→
)→
))
акс. 4.1
5)
((
→
)→
)
МР:3,4
6)
→
пример 4.
7)
МР:5,6
8)
→А
акс. 4.2
е) 1) А├В гипотеза А1 теоремы 8
2) ├ (А→В) П.Д.:1
3)
((А→В) →( А→
)→
)
акс.4.1.
4)
((А→
)→
)
МР:2,3
5)
А├
гипотеза А2
теоремы 8
6)
├ (А→
)
П.Д.:5
7)
МР:4,6.
Последнее
правило е) теоремы 8 называют схемой
доказательства от противного или
правилом сведения к противоречию.
Действительно, если требуется доказать
утверждение
,
то мы предполагаем, что выполняется А=И
и отсюда стараемся вывести В и
,
то приходим к
.
Теорема 9. (Правило удаления).
а) (А&В) ├ А (удаление &)
б) (А&В) ├ В (удаление &)
в)
если А ├ С и В ├ С, то (А
В)
├ С (удаление
)
г) если ├А и ├(А→В), то ├В (удаление →)
д)
├
А
Доказательство: справедливость а), б), в) следует из аксиом 2.1, 2.2, 3.3, 4.2 и т.з.
г) правило модус поненс
д) П.Д. и теорема 3.
Теорема 10. (Правило контрапозиции).
А├В
тогда и только тогда, когда
├
Доказательство: А≡В = (А→В) &(В→А)
А~В = (А→В) &(А←В)
прямая обратная
а)
пусть А├В, покажем, что имеет место
(
├
)
1)
гипотеза
2)
(
→(А→
)) акс.
1.1.
3)
(А→
) МР:1,2
4) А├В услов. Т.10, а
5) ├ (А→В) П.Д.:4
6)
((А→В) →((А→
)→
)) акс.4.1.
7)
((А→
)→
) МР:5,6
8)
МР:3,7
б)
(
├
)→(А├В)
Утв. а)
1)
├
├
(т.10, а)
2)
А├
(ПВ
=)
3)
├
В (ПУ =)
4)
А ├
,
├
,
├
В (дважды правило силлогизма)
5) А├ В .
Если формула доказуема, то она является тождественно истинной.
А├ В
Если формула не тождественно истинная, то она не доказуема.
├
Если функция f – непрерывна, то f – дифференцируема.
Если f – не дифференцируема, то f – разрывна.
Теорема 11. (Правило подстановки)
Пусть Р – формула ИВ, содержащая переменную А.
- формула, полученная из исходной Р путем
замены переменной А на некоторую новую
формулу В. /замены всех вхождений А.
Тогда,
если ├ Р, то ├
.
Доказательство. Пусть ├ Р, а Q1,…,Qn вывод формулы Р в ИВ. Тогда Qn=Р, а каждая строка Q1,…,Qn либо есть аксиома, либо получена из предыдущих формул.
,
,…,
.
Тогда
├
.
Если
Qi
– аксиома, либо получена путем подстановки
из к-л. аксиом, то
- аксиома.
Q1
– аксиома →
- аксиома.
Применяя
математическую индукцию: ├
(i<l)
Ql
: MP:
Qj = Ql → Qi
├
,
├
├
=
→
MP:
Лемма 1. В ИВ выполняются следующие высказывания:
а)
(
)
├
б)
(
&
)
├
в)
((
В)
├ (A→B)
г)
(A&
)
├ (
)
д)
├ (A
)
е)
├ (
)
Доказательство:
а) 1. (A&B) ├ A (удаление &)
2.
├
(
)
(контрапозиция)
3. (A&В) ├ В (удаление &)
4.
├
(
)
(контрапозиции)
5.
├
строки
2,4
б) 1.
(
&
)├
(удаление &)
2.
├
(
)
(контрапозиция)
3.
А├
(введение
=)
4.
А├ (
)
(силлогизм)
5.
(
&
)├
(удаление &)
6.
├
(контрапозиция)
7.
В├
(введение
=)
8.
В├ (
)
(силлогизм)
9.
(A
B)
├
(удаление
)
10.
├
(
) (контрапозиция)
11.
(
&
)├
(введение
=)
12.
(
&
)├
(силлогизм)
в) 1. ├ (В→(А→В)) (акс.1.1)
2. В├ (А→В) (удаление →)
3.
,
А├В (пример 8)
4.
├
(А→В) (введение →)
5.
(
В) ├ (А→В) (удаление
)
г) 1.
(А&
),
(А→В) ├
(удаление &)
2.
(А&
),
(А→В) ├ А (удаление &)
3.
(А&
),
(А→В) ├ А→В (теорема 1)
4.
(А&
),
(А→В) ├ В МР:2,3
5.
А&
├
(введение ~)
д) 1.
А├ (А
)
(веление
)
2.
├
(контрапозиция)
3.
├
(А
)
(введение
)
4.
├
(контрапозиция)
5.
├
(веление
-)
6.
├ А
(правило
удаление =)
е) 1.
А&
├
А (удаление &)
2.
А&
├
(удаление
&)
3.
├ (
)
(введение -)