§3. Совершенные нормальные формулы.

Рассмотрим пример 3

A	B	C	P(A, B, C)
И	И	И	Л
И	И	Л	Л
И	Л	И	Л
И	Л	Л	И
Л	И	И	Л
Л	И	Л	Л
Л	Л	И	Л
Л	Л	Л	Л

И   = И Л  Л = Л

И   = И Л  И = Л

А   = И

И   = И

Р ~ А   – аналитическая формула записи таблицы истинности данного примера.

Определение 9.

а) Р(А₁, А₂, …, А_n) называется элементарной конъюнкцией, если формула Р(А₁, А₂, …, А_n) есть элементарная конъюнкция высказывательных переменных или их отрицаний.

Р(А₁, А₂, …, А_n) = A₁(Ā ₁)&A₂(Ā₂)&…&A_n(Ā _n)

Пример 2: Р(А₁, А₂, …, А_n) = A₁&A₂&…&A_n

Р(А₁, А₂, А₃) = A₁&Ā₂&Ā₃

б) Р(А₁, А₂, …, А_n) является элементарной дизъюнкцией, если она есть дизъюнкция элементарных переменных или их отрицаний.

Р(А₁, А₂, …, А_n) = A₁( ₁) A₂(Ā₂) …A_n( _n)

Пример 4 Р(А₁, А₂, …, А_n) = A₁A₂…A_n

Примером элементарной конъюнкции может является: Р(А₁, А₂, А₃) = ₁&А₂,

А элементарной дизъюнкции: Р(А₁, А₂, …, А_n) = A₁ ₂

Пример 5: (не является элементарной конъюнкцией и дизъюнкцией):

1. Р(А₁, А₂, А₃) = A₁&(₂₃) – не является элементарной конъюнкцией и дизъюнкцией

2. Р(А₁, А₂, А₃) =( A₁& А₂)  А₃ - не является элементарной конъюнкцией и дизъюнкцией

Лемма 1.

а) каждой элементарной конъюнкции соответствует в точности один набор истинности входящих логических переменных, при которых эта конъюнкция истинна.

б) каждой элементарной дизъюнкции соответствует в точности один набор истинности входящих логических переменных, при которых эта дизъюнкция ложна.

Доказательство:

а) пусть имеется P(A, B, C) = А&()&C

И&()&И = И

б) P(A, B, C, D) = А () C ()

И ()И () = Л

Определение 10. Формула вида: Р(А₁, А₂, …, А_n)

а) Р(А₁, А₂, …, А_n)_СДНФ называется совершенно дизъюнтивной нормальной формой (СДНФ), если эта формула есть дизъюнкция элементарных конъюнкций входящих логических переменных или их отрицаний. При этом каждая переменная А_i(_i) встречается один раз.

б) Р(А₁, А₂, …, А_n)_СКНФ называется совершенно конъюктивной нормальной формой (СКНФ), если эта формула есть конъюнкция элементарных дизъюнкций входящих логических переменных или их отрицаний. При этом каждая переменная встречается только один раз.

Пример 6:

а)

б)

n – ранг (длина) конъюнкции.

1 свойство: Все элементарные дизъюнкции (конъюнкции) имеют ранг = n

2 свойство: В элементарной конъюнкции (дизъюнкции) не разрешается иметь повторение какой-либо переменной или одновременное вхождение переменной и ее отрицания.

Пример 7 к определению10 (б)

Не разрешается в записи элементарных конъюнкция (дизъюнкций) иметь отрицание переменных или их повторение:

1. 

2. 

Пример 8:

1. 

2. 

3. 

Теорема 6

Пусть - формулы алгебры высказываний. Тогда:

1. всякая не тождественная ложная формула эквивалентна СДНФ

2. всякая не тождественно истинная формула эквивалентна СКНФ

Доказательство:

а)

A1	A2	…	An	P(A1,A2,…,An)
И	И	…	И	И
…	…	…	…	…
И	И	…	Л	И
Л	Л	…	Л	Л

Построив таблицу истинности мы фиксируем те строчки, где формула является истинной. Каждое истинное значение в таблице представляем в виде элементарной конъюнкции исходных логических переменных. Собирая знаком дизъюнкции все полученные конъюнкции, мы получим СДНФ исходной формулы.

б) самостоятельно.

	A1	A2	A3	P(A1,A2,A3)
1	И	И	И	И	A1&A2&A3≡И&И&И≡И
2	И	И	Л	Л
3	И	Л	И	И
4	И	Л	Л	Л
5	Л	И	И	Л
6	Л	И	Л	И
7	Л	Л	И	И
8	Л	Л	Л	Л

Пример 9:

а)

1 3 6 7

б)

2 4 5 8

1 форма представления – разложение таблицы истинности по ее истинным значениям,

2 форма представления – по ложным значениям.

Каждая таблица истинности может быть представлена в СКНФ, либо СДНФ. Более того, имея одну из этих форм, можно указать и вторую форму.

Пример 10:

1)

1 2 5 8

	A1	A2	A3	P(A1,A2,A3)
1	И	И	И	Л
2	И	И	Л	Л
3	И	Л	И	И
4	И	Л	Л	И
5	Л	И	И	Л
6	Л	И	Л	И
7	Л	Л	И	И
8	Л	Л	Л	Л

2)

3 4 6 7

Существует 2 способа перехода от СДНФ к СКНФ или наоборот.

1 способ: с использованием таблицы истинности; 1) если задана какая-либо исходная формула и требуется перейти от A₁ к A₂ и A₃, то по исходной СКНФ строится таблица истинности путем раскрытия всех элементарных дизъюнкций в исходной формуле;

2) в полученной таблице истинности выделяются все истинные значения исходной формулы;

3) каждое истинное значение, равное И в таблице истинности расписываются в виде элементарных конъюнкций в соответствии с определением СДНФ. Полученные элементарные конъюнкции собираются знаком дизъюнкции. Последнее выражение и есть искомое СДНФ исходной формулы.

2 способ: с использованием эквивалентных аналитических преобразований. (проверить самостоятельно).