
- •Математическая логика.
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1. Алгебра высказываний.
- •§1. Высказывания. Логические операции.
- •§2. Тождественно истинные формулы.
- •1. Свойство коммутативности:
- •§3. Совершенные нормальные формулы.
- •Пусть - формулы алгебры высказываний. Тогда:
- •Глава 2. Исчисление высказываний (ив).
- •§1. Аксиоматический метод.
- •§2. Исчисление высказываний.
- •§3. Выводимость из гипотез.
- •2) Индукционное предложение.
- •3) Индукционный шаг.
- •§4. Производные правила вывода.
- •§5. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний.
- •Глава 3. Логика предикатов.
- •§1. Переменные, предикаты, модель.
- •§2. Кванторы, свободные и связанные переменные
- •§3. Интерпретация. Истинность.
- •1. База индукции
- •3. Индукционный шаг.
- •1. База индукции
- •2. Индукционное предложение
- •3. Индукционный шаг.
- •§4. Тождественно истинные формулы. Эквивалентность.
- •I прямой способ доказательство эквивалентности формул a, b.
- •II способ от противного.
- •III способ
- •Глава 4. Исчисление предикатов.
- •§1. Аксиомы и правила вывода.
- •§2. Производные правила вывода. Приведенная нормальная форма.
- •§3. Непротиворечивые и полные множества формул.
- •§4. Теорема Гёделя
- •2 Случай
- •3 Случай
- •6 Ситуация
- •Список литературы:
2 Случай
Предположим, некоторые соотношения удовлетворяют соотношению (6)
а)
BИ
T├
B
(7)
б)
СИ
T├
С (8)
Рассмотрим предложения А, имеющие один из видов.
А:
,
,
(B&C),
(B
C),
(B
C)
1-я ситуация:
А
=
Заметим,
T
–непротиворечивое множество, поэтому,
если из этого множества мы выводим
,
то из Т не может быть выведено В, но т.к.B
удовлетворяет выражению (7), то, очевидно,
B
Л,
И
во множестве М.
Обратно:
если
И,
то B
Л
и в силу предположения
Т
├ B,
а Т ├
2-я ситуация:
A = (B&C)
Если Т ├ (B&C), то по правилу удаления & можно записать:
Т ├ B и Т ├ C одновременно.
Удовлетворяют 7, 8 и
A
(B&C)
И
Если
(B&C)
И, то B
И, С
И и в силу 7, 8 можем записать.
По правилу введения &, можем записать:
T ├ (B&C)
3-я ситуация:
Если
A
= (BC)
И,
тоB
И,
С
И.
Тогда по предположению 9, 10
С
И
T
├ C
B
И
T
├ B
Тогда
по правилу введения
Т
├ (BC)
Обратно: пусть:
Т
├ (BC)
От противного предположим
(BC)
= Л
B
Л
С
Л
В силу 7, 8 T ├ B, T ├ C не выводимы
Но
так как T
– полно в
’,
то, очевидно,
T
├
,
T├
Т├
(
&
)
(&
)├
(
)
(закон де Моргана в ИВ)
T├
()
–невозможно, так как Т – непротиворечиво
и по условию
Т
├ (BC)
следовательно,
(BC)
И
иA
= (B
C)
удовлетворяет (6)
4 ситуация:
А=(BC)
И
T├
(B
C)
предпол.
а)
Если BC
л и
Если
BЛ,
то оно не выводимо из Т в силу (7),
следовательно T├
.
По
правилу введения
:T
├ (
C)
T
├ (B
C)
ИВ:
(C)
├ (B
C)
б)
С
И
Т ├ С (утв. (9))
По
правилу введение
:T
├ (C
)
T├
(B
C)
T
├ (BC)
(C)~
(B
C)
Обратно:
ПустьT
├ (B
C).
Предположим, что (B
C)
Л.
Это означает:B
И,
С
Л.
В силу 9, 10, это означает:
Т
├ B
Т├ (B&)
T
├
Замечая,
ИВ: (B&)~(
)
F
├ ()
– противоречие,
(BC)
И
A
= (BC)
И
Итак, мы, предположив от обратного получили истинность.
3 Случай
Пусть
B(x)
– содержит одну свободную переменную
(Cn
M)
B(Cn)
удовлетворяет (6):
B(Cn)
И
T├
B(Cn)
(9)
В
качестве А рассмотрим: (x)
B(x),
(
x)
B(x)
5
ситуация,
A = (x)
B(x), T ├ A, T ├ ((
x)
B(x))
Предположим,
((x)
B(x))
Л
(
С
M)
B(с)
Л
Т
├
(в силу 9), где с – символconst,
в
B(x)
– должны отсутствовать предложения,
начинающиеся с
,
.
С –свободно относительно x в B(x).
Тогда
введение
позволяет
записат:.
├(
x)
,
T
├ (x)
По теореме 5, главы 4, §2, можем записать
T
├
Последнее утверждение противоречит
T
├ (x)
B(x),
следовательно,
A=((x)
B(x))
И
Допустим обратное:
Пусть
((x)
B(x))
И,
(
с
М)B(c)
И
По
правилу введения
:T
├ B(c)
Это
выражение удовлетворяет (6) и означает,
что из множества Т выводится Т ├ (x)
B(x)
6 Ситуация
Пусть
множество А имеет вид: А = (x)
B(x)
и Т ├ (
x)
B(x)
Тогда А совпадает с некоторой формулой An из выражения 5 и Sn имеет вид:
A = An
Sn
= Sn-1
U{An}
U{B(c)},
где сМ
const
Последняя
запись означает B(c)T,
T├B(c)
В
силу 9 B(c)И
((
x)
B(x))
И в М.
Пусть
((x)
B(x))
И (
с
M)
B(c)
И
T
├ B(c)
(
x)
B(x)
T├
(x)
B(x)
Таким
образом соотношение (6) доказано полностью.
Из него следует, что любое предложение
множества Т истинно в модели <M,
’>
Теорема доказана полностью.
С помощью теоремы Гёделя легко доказывается основные модели теории
Теорема I. Теорема о полноте ИП.
Предложение
А доказуемо в ИП тогда и только тогда,
когда АИ.
Доказательство:
Если доказуема в ИП, то оно получается из аксиом с помощью правил вывода. Как отмечалось в доказательстве теоремы 7 аксиомы ИП являются тождественно истинными и правила вывода не выводят нас за пределы тавтологии.
Следовательно, доказуемое предложение А суть тождественно истинные или тавтологии.
Обратно:
Пусть предложение А является тождественно
истинное, тогда
Л.
Множество предложений
не может быть выполнимо. Тогда по теореме
Гёделя {
}
не может быть не противоречивым, ибо в
противном случае {
}
было бы выполнимым. Следовательно
множество
-противоречиво,
очевидно из этого множества можно
вывести
├ (B&
).
По правилу контрапозиции
├(
=А)
доказуемо следовательно,
в ИП доказуемо
Обратная импликация верна.
Теорема II. Теорема Левенгейма-Сколема.
Если множество предложений S имеет модель, то оно имеет счетную модель.
Доказательство:
Если
множество предложений S
имеет модель, то в силу теоремы Гёделя,
оно не противоречиво. Тогда, применяя,
к непротиворечивому множеству S
конструкцию теоремы Гёделя мы получим
модель <M,’>,
где M={C1,C2,…,Cm}
Теорема III. Локальная теорема Мальцева.
Пусть
S
– счетное множество предположений,
тогда, если (S1
S)
имеется модель, то и всё множество S
имеет модель.
Доказательство: пусть каждое конечное подмножество S1 имеет модель. Тогда, очевидно, (*) каждое S1 – непротиворечиво. Предположим, что противоречиво само множество S.
(B)
S├
(B&
)
Рассматривая
вывод противоречивого утверждения
(B&)
из множество S
мы пользуемся конечным числом гипотез
из S.
Обозначение
S1S,
S1-множество
гипотез.
S1
├ (B&).
Это противоречит посылке (*). Следовательно,
S
– непротиворечиво и по теореме Гёделя
должно иметь модель.