Скачиваний:
163
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
2.85 Mб
Скачать

2 Случай

Предположим, некоторые соотношения удовлетворяют соотношению (6)

а) BИ T├ B (7)

б) СИ T├ С (8)

Рассмотрим предложения А, имеющие один из видов.

А: , , (B&C), (BC), (BC)

1-я ситуация:

А =

Заметим, T –непротиворечивое множество, поэтому, если из этого множества мы выводим , то из Т не может быть выведено В, но т.к.B удовлетворяет выражению (7), то, очевидно, BЛ, И во множестве М.

Обратно: если И, то BЛ и в силу предположения

Т ├ B, а Т ├

2-я ситуация:

A = (B&C)

Если Т ├ (B&C), то по правилу удаления & можно записать:

Т ├ B и Т ├ C одновременно.

Удовлетворяют 7, 8 и

A (B&C) И

Если (B&C) И, то B И, СИ и в силу 7, 8 можем записать.

По правилу введения &, можем записать:

T ├ (B&C)

3-я ситуация:

Если A = (BC)И, тоBИ, СИ.

Тогда по предположению 9, 10

С ИT ├ C

B ИT ├ B

Тогда по правилу введения

Т ├ (BC)

Обратно: пусть:

Т ├ (BC)

От противного предположим

(BC) = Л B Л

С Л

В силу 7, 8 T ├ B, T ├ C не выводимы

Но так как T – полно в ’, то, очевидно,

T ├ , T├ Т├ (&)

(&)├ () (закон де Моргана в ИВ)

T├ () –невозможно, так как Т – непротиворечиво и по условию

Т ├ (BC)

следовательно, (BC) И иA = (BC) удовлетворяет (6)

4 ситуация:

А=(BC) И T├ (BC)

предпол.

а) Если BC

л и

Если BЛ, то оно не выводимо из Т в силу (7), следовательно T├.

По правилу введения:T ├ (C) T ├ (BC)

ИВ: (C) ├ (BC)

б) СИТ ├ С (утв. (9))

По правилу введение :T ├ (C) T├ (BC)

T ├ (BC)

(C)~ (BC)

Обратно:

ПустьT ├ (BC). Предположим, что (BC)Л. Это означает:BИ, С Л. В силу 9, 10, это означает:

Т ├ B Т├ (B&)

T ├

Замечая, ИВ: (B&)~()

F ├ () – противоречие,

(BC) И

A = (BC) И

Итак, мы, предположив от обратного получили истинность.

3 Случай

Пусть B(x) – содержит одну свободную переменную (CnM) B(Cn) удовлетворяет (6):

B(Cn) И T├ B(Cn) (9)

В качестве А рассмотрим: (x) B(x), (x) B(x)

5 ситуация, A = (x) B(x), T ├ A, T ├ ((x) B(x))

Предположим, ((x) B(x))Л (СM) B(с)Л

Т ├ (в силу 9), где с – символconst,

в B(x) – должны отсутствовать предложения, начинающиеся с ,.

С –свободно относительно x в B(x).

Тогда введение позволяет записат:.

├(x) ,

T ├ (x)

По теореме 5, главы 4, §2, можем записать

T ├

Последнее утверждение противоречит

T ├ (x) B(x),

следовательно, A=((x) B(x))И

Допустим обратное:

Пусть ((x) B(x)) И, (сМ)B(c)И

По правилу введения :T ├ B(c)

Это выражение удовлетворяет (6) и означает, что из множества Т выводится Т ├ (x) B(x)

6 Ситуация

Пусть множество А имеет вид: А = (x) B(x) и Т ├ (x) B(x)

Тогда А совпадает с некоторой формулой An из выражения 5 и Sn имеет вид:

A = An

Sn = Sn-1 U{An} U{B(c)}, где сМ

const

Последняя запись означает B(c)T, T├B(c)

В силу 9 B(c)И ((x) B(x)) И в М.

Пусть ((x) B(x)) И (сM) B(c)И

T ├ B(c) (x) B(x)

T├ (x) B(x)

Таким образом соотношение (6) доказано полностью. Из него следует, что любое предложение множества Т истинно в модели <M, ’>

Теорема доказана полностью.

С помощью теоремы Гёделя легко доказывается основные модели теории

Теорема I. Теорема о полноте ИП.

Предложение А доказуемо в ИП тогда и только тогда, когда АИ.

Доказательство:

Если доказуема в ИП, то оно получается из аксиом с помощью правил вывода. Как отмечалось в доказательстве теоремы 7 аксиомы ИП являются тождественно истинными и правила вывода не выводят нас за пределы тавтологии.

Следовательно, доказуемое предложение А суть тождественно истинные или тавтологии.

Обратно: Пусть предложение А является тождественно истинное, тогда Л. Множество предложенийне может быть выполнимо. Тогда по теореме Гёделя {} не может быть не противоречивым, ибо в противном случае {} было бы выполнимым. Следовательно множество-противоречиво, очевидно из этого множества можно вывести├ (B&).

По правилу контрапозиции

├(=А)

доказуемо следовательно,

в ИП доказуемо

Обратная импликация верна.

Теорема II. Теорема Левенгейма-Сколема.

Если множество предложений S имеет модель, то оно имеет счетную модель.

Доказательство:

Если множество предложений S имеет модель, то в силу теоремы Гёделя, оно не противоречиво. Тогда, применяя, к непротиворечивому множеству S конструкцию теоремы Гёделя мы получим модель <M,’>, где M={C1,C2,…,Cm}

Теорема III. Локальная теорема Мальцева.

Пусть S – счетное множество предположений, тогда, если (S1S) имеется модель, то и всё множество S имеет модель.

Доказательство: пусть каждое конечное подмножество S1 имеет модель. Тогда, очевидно, (*) каждое S1 – непротиворечиво. Предположим, что противоречиво само множество S.

(B) S├ (B&)

Рассматривая вывод противоречивого утверждения (B&) из множество S мы пользуемся конечным числом гипотез из S.

Обозначение S1S, S1-множество гипотез.

S1 ├ (B&). Это противоречит посылке (*). Следовательно, S – непротиворечиво и по теореме Гёделя должно иметь модель.