§2. Производные правила вывода. Приведенная нормальная форма.

Ранее введенные правила в ИВ введения, удаления (см. теорема 8, ИВ) применимы и в ИВ. К этим правилам добавим правило, связанное с кванторами.

Теорема 2.

а) Введение

Если из формулы C выводимо A(x), (C-не имеет свободной переменной х), то мы можем навесить кванторы общности.

С ├ (x A(x))

б) Введение .

A(y) ├ (x A(x)) при условии, что y- свободная переменная при x в формуле A(x)

в) Удаление

Для всех x A(x) выводимо A(y), то есть x A(x) ├ A(y)

при условии, что y-свободная переменная для переменной x в исходной формуле A(x)

г) Удаление

Если C выводимо из выражения x A(x) и не имеет свободных вхождений переменной x, то A(x) гарантирует вывод C:

x A(x) ├ C, то A(x) ├ C.

Доказательство: доказательства даются с помощью теоремы 3, §3, гл. (1,4) акс. V.1,V.2 (2,3)

Теорема 3. Пусть y-свободная для переменной x в исходном выражении A(x). x –не входит свободно в формулы A₁,…,A_m. Тогда, если A₁,…,A_m├ A(x), то A₁,…,A_m├ A(y).

Доказательство:

B₁: A₁,…,A_m├ A(x) (условие)

B₂: A₁,…,A_m├ x A(x) (введение )

B₃: x A(x) ├ A(y) (удаление )

B₄: A₁,…,A_m├ A(y) (правило силлогизма)

С условием выводимости можно сказать A=B, если выполняется соотношение (A├B)& (B├A)

Факт такой выводимости формул позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема 4. Пусть C_A-некоторая формула, C_B-получается из C_A заменой A на B. Тогда, если AB, то C_A=C_B.

Доказательство: индукция формулы по длине C от A.

В дополнение к теореме 4.

Теорема 5. Пусть переменная y не встречается в формуле A(x), тогда

1. а) x A(x) y A(y)

б) x A(x) y A(y)

2. x A(x), B(x)

а) (x A(x)&x B(x))x(A(x)&B(x))

б) (x A(x)x B(x))x(A(x)B(x))

Доказательство:

(x A(x)&x B(x))x(A(x)&B(x))

^{посылка ├ заключение}

а) прямая выводимость ()

б)обратная выводимость ()

а) 1. (x A(x)&x B(x)) ├ x A(x)) (удаление &)

2. (x A(x)&x B(x)) ├ A(x) (удаление )

3. (x A(x)&x B(x)) ├ B(x) (по аналогии со стр. 1,2)

4. (x A(x)&x B(x)) ├ A(x)&B(x) (введение &)

5. (x A(x)&x B(x)) ├x (A(x)&B(x)) (введение )

б) 1. x (A(x)&B(x)) ├ (A(x)&B(x)) (удаление )

2. x (A(x)&B(x)) ├ A(x) (удаление &)

3. x (A(x)&B(x)) ├ B(x) ( - // - )

4. x (A(x)&B(x)) ├ (x A(x)&x B(x)) (введение &,)

Определение 3: Формула A называется приведенной нормальной формой, если она имеет вид: A=(Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Q_kx_k)∙C(x₁,…,x_k), где Q₁,…,Q_k{,}

x₁,…,x_k –свободные переменные

C – формула, не имеет кванторов

Пример

A = (x₁)(x₂)(x₃)(x₁+x₂=x₃)

^C(x1,x2,x3)

Если некоторая формула B~A, то говорят, что A-приведенная нормальная форма для формулы B.

Теорема 6. Всякая формула в ИП имеет приведенную нормальную форму.

Доказательство: индукция по длине формулы B.

Если формула B имеет вид, совпадающий с предикатом

B = P_n(x₁,…,x_n)

то формула B находится в нормальной приведенной форме.

Предположим, что D, E имеют приведенную форму.

D = (B₁’(x₁)(Q₂’x₂)…(Q_m’x_m)C₁(x₁,…,x_m)

E = (Q₁’’y₁)(Q₂’’y₂)…(Q_r’’y_r)C₂(y₁,…,y_b)

Выражения C₁,C₂ не содержат кванторов.

В силу теоремы 5 п.10 о возможности преобразования одноименных кванторов мы можем записать, что связанные переменные не будут встречаться взаимно в выражениях E и D. Например, y₁,y₂ из E не будут встречаться в D и x₁,x₂ из D не будут встречаться в E.

Пусть формула B имеет один из видов:

В:,,D&E,DE,DE,xD,xD,xE,xE

В последних двух случаях формула B будет иметь приведенную нормальную формулу. В остальных случаях, исполняется эквивалентность ИП мы выносим знаки кванторов из под знаков логических операций. В итоге получаем нормальную приведенную формулу для B.