1. База индукции

А Pⁿ(a₁,…,a_n)

В силу замкнутости, формула не содержит свободных переменных и имеет вид A = Pⁿ(a₁,…,a_n)

^{const из}

При этих значениях легко определить значение A по таблице истинности

A = Pⁿ(a₁,…,a_n) И <₁,…, _n> n (a₁,…,a_n)

В противном случае: Pⁿ(a₁,…,a_n)Л

2. Индукционное предложение

Допустим, что промежуточные формулы B и C принимают только одно истинное значение при любых значениях своих свободных переменных из M.

3. Индукционный шаг.

Пусть формула А одна из формул вида:

а) А: B, B&C, BC, BC, В, С – замкнутые

Тогда истинность формулы А определяется согласно таблице истинности. Легко видеть в этой таблице, формула А будет иметь единственное значение.

б) A = ( x B(x)), A = (x B(x))

Причем, А – замкнутая формула, т.е. не содержит свободных переменных.

Истинность в этом случае определяется следующим образом

А = x B(x) И (x₀M B(x₀) И)

А = x B(x) И (x₀M B(x₀) И)

Формула А будет иметь либо истинное, либо ложное значение.

Полезно заметить что:

А = x B(x) Л (x₀M B(x₀) Л)

А = x B(x) Л (x₀M B(x₀) Л)

согласно следствию теоремы I, главы 3

§4. Тождественно истинные формулы. Эквивалентность.

Определение 6: Пусть А – ПОФ, сигнатура x₁,…,x_n – свободные переменные в формуле А.

1. Формула А называется выполнимой если существует модель <M, >, в которой АИ при некоторых фиксированных значениях свободных переменных из множества М:x₁=a₁,…,x_n=a_n M

2. Формула AИ тождественно истинна (тавтология) если она истинна в модели <M,> при любых значениях (фиксированных) переменных из множества М.

3. Формула АЛ, если она является полным отрицанием тождественно истинной формулы А.

Если формула А является тождественно истинной в модели <M, >, то будем записывать ├А, где А= <M, >

Как и в алгебре высказываний мы будем отождествлять схемы правильных рассуждений с тождественно истинными формулами.

Отметим, что все тавтологии алгебры высказываний будут тавтологиями логики предикатов. При этом роль простейших высказываний в логике предикатов выполняют непосредственно сами предикаты, а их истинностные значения могут устанавливаться так же как в исчислении алгебры высказываний.

Рассмотрим тождественно истинные высказывания логики предикатов.

Теорема 2. Пусть A(x) – ПОФ логики предикатов; А(y) – ПОФ, полученная из А(x) путем замены всех переменных X на Y (свободных переменных x)

Тогда, если все новые вхождения переменной y в A(y) – свободны, то следующие формулы являются тождественно-истинными.

Доказательство: пусть выполняется условие теоремы и в модель <M,> есть произвольная модель для формулы A(x) так как формула (1) содержит свободные переменные y, то для проверки их тождественной истинности мы фиксируем их значения в модели <M,>

Пусть тогда при фиксировании y примет конкретное значение y₀M. Рассмотрим:

1. (x A(x)A(y₀))

а) x A(x) И (x₀ M A(x₀) И),

x A(x) Л (x₀ M A(x₀) Л).

2. (A(y₀)x A(x)),

при y0М, A(y0)И влечет (x)A(x)И.

Но такие A(y₀)Л <M, > то истинна импликация

(A(y₀) xA(x))

Замечание. Для того, чтобы формулы вида (1) являлись тавтологиями, мы оговорим условие для переменных x и y.

P(x,y) (x=y), x, y M

Возьмем модель <M, > <N, P(x,y)>,

A(x) (y)

B(x) (y P(x,y)) <N; P(x,y)>

a)из(xA(x)A(y))Л следует[xy(xy)y(yy)]Л

б)из (B(y) x B(x))Л следует [yyxy(x=y)]

Последние формулы являются формулами вида (1) из теоремы 2. Однако они не удовлетворяют дополнительному условию на переменные x,y в теореме 2.

A(x) = y

(A(y) = y P(y,y)) – такая ситуация не допустима, так как она неопределенная.

Определение 7:

Пусть A(x) – ПОФ, A(y) – ПОФ

Тогда, если новые вхождения переменной y в выражении A(y) свободны, то переменная y называется свободной для переменной x в выражении A(x).

Теорема 3. Пусть B(x), C – ПОФ в логике предикатов.

При этом C – не содержит свободного вхождения переменной x. Тогда:

а) если ├ (CB(x)), то ├ (C x B(x)),

б) если ├ (B(x)C), то ├ (x B(x) C).

Доказательство:

а) Пусть├ F(CB(x))

Возьмем произвольную модель <M, > для (Сx B(x))

Зафиксируем все свободные переменные в этом выражении со значениями из M. Тогда в формуле B(x) остается свободной только переменная x, а формула C не будет иметь свободных переменных. При этом, если C Л, то (Cx B(x)) И является И.

Если СИ, то (CB(x)) И при любом из М.

Поэтому по формуле 4 из главы 1.

B() И, М

x B(x) И в модели <M, >

Cx B(x) И

б) F(B(x)C) в модели <M, > (x B(x)C)

Зафиксируем все свободные переменные в этом выражении. При этом если:

а) x B(x)Л, то (x B(x)C) И;

б) если x B(x) И, то ((x₀M) B(x₀)И)

Но так как (B(x)C) – тавтология, то B(x₀)C И

Из теоремы 4 главы 1 следует, что С И, а значит

(x B(x)C)И в модели <M, >

Определение 8: Формулы A,B сигнатуры является эквивалентными, если любой модели <M,> при любых фиксированных значениях своих свободных переменных формулы A и B принимают одинаковые истинностные значения.

Из определения 8 следует, что для того, чтобы доказать эквивалентность формул A и B необходимо показать, что в любой модели формулы A и B одновременно истинны или ложны. Отсюда следуют конкретные способы нахождения эквивалентности формул А и В.