§3. Интерпретация. Истинность.

Содержание формул в исчислении предикатов является предметными переменными, константами и символами предикатов, входящих в рассматриваемую формулу.

Пример 1. Пусть S – множество ПОФ, содержащее предметные константы c₁,…,c_k, предикаты P₁ⁿ¹,…,P_iⁿⁱ и M Ǿ

Каждой константе c_i сопоставим в качестве значения c_i M:

1) c_j j M,

2) P_jⁿⁱ n_i – местное отношение (предикат) _iⁿⁱ , определенное на множестве M

3) предметные переменные берут свои значения из множества M.

Тогда имеет место (задана) интерпретация формул множества S. В этом случае модель <M, >, где ={ P₁ⁿ¹ ,…, P_jⁿⁱ,c₁,…,c_k}

называется моделью для множества S.

Для модели множества S естественна задача определения истинности или ложности ПОФ в данной модели на множестве S.

Следовательно, интерпретация формул на множестве S позволяет приписывать этим формулам соответственные истинностные значения.

Строгое определение истинности ПОФ дадим индукцией по длине формулы.

Определение 5: Пусть А – ПОФ с сигнатурой . Все свободные переменные в этой формуле есть x₁,…,x_n .

Пусть задана некоторая интерпретация всех формул сигнатуры предметной области M.

Пусть x₁,…,x_n черпают свои значения a₁,…,a_n из множества M. Тогда необходимо определить значение истинности A при фиксированных значениях свободных переменных, а именно: x₁=a₁,…,x_n=a_n.

1. База индукции

Если всем A=Pⁿ(x₁,…,x_n), то будем говорить, что A истинна, если кортеж < a₁,…,a_n> удовлетворяет отношению ⁿ(x₁,…,x_n)

Будем говорить A=Pⁿ(x₁,…,x_n)И, если <a₁,…,a_n> ⁿ(x₁,…,x_n)

2. Индукционное предположение.

Пусть для B и C определены их истинностные значения при любых

a₁,…,a_n M.

3. Индукционный шаг.

а) Если исходная формула А имеет один из следующих видов B, B&C, BC, BC, то её истин. значение легко определить из таблицы истинности

B	C	B	B&C	BC	BC
И И Л Л	И Л И Л	Л Л И И	И Л Л Л	И И И Л	И Л И И

б) пусть A (x B(x)), тогда

A – истинна при a₁,…,a_n M, если существует такая x₀ во множестве, что B(x) является истинным при всех a₁,…,a_n M.

Если (x₀ M), то B(x₀)И

В остальных случаях A – ложно.

в) пусть формула A начинается с квантора :

A (x B(x))

Тогда A должна быть истинной при всех значениях x. Во всех остальных случаях А – ложно.

Последнее определение показывает, что об истинности или ложности можно говорить только при задании некоторой интерпретации входящих в неё символов предметных констант и предикатов, а также при фиксации её свободных переменных.

Значение истинности предиката совпадает со значением отношения, сопоставленному этому предикату.

Логические операции совпадают с аналогичными операциями алгебры высказываний.

Если формула A имеет вид квантора общности или существования:

A ( x B(x)), A (x B(x))

то её истинность определяется следующим отношением

1. x B(x) И(x₀M B(x₀)И)

2. x B(x) И(x₀M B(x₀)И)

Очевидно, данное определение не противоречит определению кванторов (данное выше).

Теорема 1. Каждая замкнутая формула в логике предикатов при любой интерпретации, является либо истинной, либо ложной и не может быть одновременно истинной и ложной.

Доказательство:

Пусть A – ПОФ и является замкнутой относительно сигнатуры :

<M, >

Необходимо показать АИ (АЛ),

Воспользуемся индукцией по длине формулы