§2. Кванторы, свободные и связанные переменные

В соответствии с §1 мы можем утверждать: предикаты – некоторые отношения над предметами. Следовательно, предикаты исполняют роль сказуемого, а роль подлежащего играют предметные переменные или константы. Следовательно, анализ простейшего высказывания сводится к выделению предметов из всего, что о нем говорится.

При вычислении предикатов логические связи ~ между утверждениями остаются.

В качестве наиболее общих операций, применяемых к предметным переменным, применяются операции введения (навешивания) и удаления кванторов.

Определение 2: Пусть некоторая формула А зависит от переменной х. По отношению к А введем еще две записи:

1) A(x) для всех x имеет место (справедлива) формула A(x)

- квантор общности

2) x A(x) существует такое x, что справедливо A(x)

- квантор сущности

Операция присваивания слева к формуле A(x) кванторов называется операцией введения (навешивания) кванторов относительно (по переменной) x.

P(x) = И P(x)И

P(x) = И P(x)И

A(R(x)D(x)) (глава 3 по *)

R – множество рациональных чисел

D – множество действительных чисел

B R() C D() x =

Таким образом структуру вывода из примера 1 запишем:

I) ((A&B)C) – в алгебра высказываний

II) (R(x)D(x)) & R()D() – с помощью предикатов

Таким образом исчисление предикатов образуется как расширение высказываний путем введения или удаления кванторов общности (существование) по каким-либо предметным переменным.

Определение 3: Определение ПОФ

1. В логике предикатов используются символы:

а) X,Y,Z,… - предметные переменные

б) a,b,c,a₁,… - предикатные символы

в) P_mⁿ,Qⁿ,R,S,… - предикатные символы

г) A,B,C,…- высказанные переменные

д) - логические символы,- кванторные символы

е) (,),[,],{,} – скобки

2. ПОФ образуется следующим образом:

а) Pⁿ – n-местный предикат

x₁,…,x_n – предметные переменные,

c₁,…,c_n – предметные константы.

то Pⁿ(x₁,…,x_n),Pⁿ(c₁,…,c_n)

Pⁿ(c₁,…,c_i,x_i+1,…,x_n)

^{const переем.}

б) пусть определено некоторое множество ПОФ:

A,B,C,…,A₁,…,A_k,…

б¹) Если B и C – есть ранее построенные ПОФ, то B, B&C, BC, BC – ПОФ

Это говорит о том, что применение логических связок приводит к образованию ПОФ (на основе других ПОФ)

б²) Если B – ПОФ, x – предметная переменная, то (xB),(xB) - ПОФ

в) других ПОФ нет.

Рассмотрим примеры ПОФ:

(x P¹(x) Q²(y,z)).

(P¹(x) y R²(x,y)).

x₂ (Q²(x₁,x₂) P¹(x₁)).

x y S(x,y,z).

P^m(x₁,…,x_n) – не ПОФ (mn).

&AB – ПОФ.

x₁ A₁(x₁) A₂ & A₃ – не ПОФ (отсутствие скобок).

A & P¹ – не ПОФ (отсутствие скобок).

Пример:

, здесь x- свободная переменная, n – связанная переменная, оператор ∑ указывает границы связанности.

Определение 4: Пусть А – ПОФ.

а) Если A=Pⁿ(x₁,…,x_i,c_i+1,…,c_n)

^{переем. const}

то все вхождения предметных переменных в формулу A являются свободными, связанных переменных в этой формуле нет.

б) Пусть для формул B и C определено, какие элементы являются свободными, а какие связанные.

в)Если формула A: B, B&C, BC, BC,

то вхождение любой переменной в формулу А является такими же, как они были в формуле B и C. Связанные переменные остаются связанными, свободные – свободными. Логические связи - ,&,,не нарушают понятий связанной или свободной переменной.

г) Если А имеет вид: A = (x B), A = ( x B),

то переменная x в формуле B называется связанной квантором, остальные переменные в формуле B остаются без изменений. При этом формула B называется областью действий кванторов ,.

Переменная x называется свободной в ПОФ A, если в формуле A имеется хотя бы одно свободное вхождение x. В противном случае переменная x называется связанной в формуле A, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой формулой, или предложением.

Примеры:

а) (x₁ )

x₁ - связанная переменная,

x₂ – свободная переменная.

б) (x₁)

x₁ - связанная переменная,

x₂ – свободная переменная.