книги / Теоретические основы автоматизированного управления
..pdfПриложение 2 Алгоритмы процессов планирования и управления
Алгоритм 2.1.
Шаг 1 . Не снижая общности, положим Р'ЛТр] —Я~[Тр]9где ВГ[Тр]задает ся уровнем h = 3.
Шаг 2. Для каждого к (от к = К до к = 1) рассчитаем описанными ранее методами (с учетом векторного критерия, с определением чувствительности решений) планы P\[Тр], Fk(Plk[Tp\), Р ^ Г ,] = А ^ Г ,], Ъ'(ТГ), <> Ь(ТГ).
Шаг 3. Для заданного — с уровня h = 3 — значения вектора определим планы Р\[Тр]9 /j(P\[Тр]) при изменении к от 1 до К.
Шаг 4. Найдем значения AFk= Fk(Y\[Tp]) - Рк(Т2к[Тр]).
Шаг 5. Выявляются два возможных варианта:
1 ) &Fkимеет одинаковые знаки для всех к (к= 1 , К) — переходкшагуб; 2) AFk различные по знакам — переход к шагу 7.
Шаг 6 . В первом частном варианте элементы уровня h = 2 согласованы и можно использовать понятие эквивалентности и монотонности функций [46]. Целевые функции Fx= F[F[k>к = 1, К) в выражении (6.30) монотонны относительно Flk(F[Fn Flk_ ,, Fjk, Flk +,..... F,k) > F{Fn,..., Flk_ u F'lk, 4 +„...
> Flk), если Flk > F\k, Запишем лагранжиан
к к
А = £ { < С №,РА[Г;(]>+<у4 )СА> } + Х ^ ,А ‘Р4 [7’р]-Р,_1[Гр]>-»шах. (П.1 )
к=\ |
Ы2 |
|
где ук9 X* — множители Лагранжа; Ffk— линейная функция; |
|
|
|
G* = А2*Р*[Тр] - Ь2*(Тг), к = Г К ; |
(П.2) |
— выпукла. Функции Ц и Fxэквиваленты и задача (П.1) разделяется на к ло кальных и одну глобальную задачи. Для их решения возможно использовать стандартные методы [46]:
1 ) метод целевой координации (баланс взаимодействий, невозможный метод);
2 ) метод координации моделей (прогноз взаимодействий, возможный метод).
Суть этих методов — использование многоуровневой структуры реше ниядля одноуровневых (по структуре планирования) задач. Отметим, что эти методы могут быть использованы и при декомпозиционном получении ре шений для отдельных элементов.
Шаг 7. Во втором частном варианте интересы отличаются (не согласова ны). Здесь возможно использовать:
1) теорию игр — равновесие по Нэшу [46];
2 ) методы решения задач с векторным критерием. Алгоритм 2.2.
Пусть заданы задача планирования верхнего (А = 3) уровня в виде
АР[Гр] * Ц Т), Ъ(Г0) =Ь(0);
ДР[Гр]) = <С, Р[Г,]>-»тах, |
(П.3) |
и задача для среднего (А = 2) уровня
к
F(Pk[Tp}) = £ < С * . Pk[Tp]> -> max; *=i
А В Д ] * Рк-1(Тр), А = 0 |
, |
А ^ Г ,] 5 Ь(ГГ). |
(П.4) |
Пусть |
|
С = d*Ct, |
|
где d = const.
Тогда задачи (П.З) и (П.4) согласованы.
Доказательство. Достаточно показать, что области определения задач и тенденции изменения целевых функций совпадают. Выпишем последова тельность ограничений в выражении (П.4)
А,Р,[Гр] *Ь(Гг) А В Д ] <; Р,(ГР),
А аг- I P / T- I I ^ ) ^ Р к - г ( Т р ) 9
АР А Т р] <>р К^ ( Т Р).
Умножим последнее неравенство на Л ,... Ак_х, причем по условию Акф0. Тогда
AA2A3 Ак-АкР^Тр] £ AAA s Ак-\Рк-\[Тр] ^
йAjА2А3 А*_2Р*_2 [Гр] £ А1А2А3Р3[71р] < А,Р2 [Гр] * Ах?ЦТр] £ Ь(Гг). Иначе говоря,
AIA2A3 ... А^_ jA^PjJТр] < Ь(7Г),
и при А = AJA2A3 ... Ак_ гАк последнее выражение совпадает с выражением (П.3).
Таким образом, области существования решений совпадают. Заметим, что заключительный элемент А"технологической линии имеет
коэффициенты целевой функции, пропорциональные коэффициентам С. Чаще всего d = I, где I —единичная матрица.
|
0 1В Д - Р з * И |
Ь'2 4 (т-1) |
|
£ b'3t ( T - l ) |
|
А9к, А||*| Р4*М |
||
|
А|2 *|| 1 |
(П.5) |
0 |
1 |
|
|
|
|
где Aft, Аэд, Аик, Апк — подматрицы соответствующей размерности матрицы А норм расхода ресурсов.
Поскольку часто |Р4*| <£ |PJ, |РЗА| <£ |Р*|, то возможно существенное сни жение размерности (а следовательно, и времени расчета задачи (П.5) по срав нению с задачей (6 .1 1 )).
Алгоритм 2.5.
Шаг 1. Задать итерацию i= 1.
Шаг 2. В матрице смежности А(0 /-й итерации выбрать элемент q. Для ка
ждой строчки матрицы определить элементы |
= 1 и зафиксировать значе |
|
ния ф'. |
|
|
Шаг 3.Для столбцов ф' определитьзначения с[,для которых |
= 1. |
|
Шаг 4. Если такие элементы qf имеются, задать q е cf и перейти к шагу 2. Иначе — переход к шагу 5.
Шаг 5. Из матрицы смежности Aw = {д*^} удаляются строки q*и столбцы
ф', составляющие класс q9, |
и формируется матрица А(,+ 1). |
|
|||
Шагб. Еслисемейства <?= (1 , 0 ) - я'иф" = (1,Ф) - |
ф'непусты, то задать |
||||
/ = I + 1 и перейти к шагу 2. |
Иначе — к шагу 7. |
|
|
||
Шаг 7. Конец алгоритма. |
|
|
|
|
|
Алгоритм 2.6. |
|
|
|
|
|
К |
N |
N |
|
(П.6 ) |
|
F = E E E v x*x* •+ max; |
|
||||
|
|
||||
k=lg=lv=l |
|
|
|||
N N |
|
|
_____ |
|
(П.7) |
I I V |
, * |
=m\ = const, к =1, К; |
|
||
|
|
||||
g=lv=l |
|
|
|
|
|
|
|
XgkXvk= Удук> |
|
(П.8 ) |
|
|
Xqk +Xvk= 2 Урк, |
|
(П.9) |
||
если элемент q принадлежит классу к, |
(П.10) |
||||
Xqk [0 , иначе, |
|
|
|
|
|
где xvkопределяется аналогично, |
= {0,1}, А = {agv}9 |
— «веса» (не обяза |
|||
тельно единичные) связи элементов (q и v). |
|
|
|||
Алгоритм 2.7. |
|
|
|
|
|
Шаг 1. Задаются величины Кь тк, к —1. |
|
|
|||
Шаг 2. Выделяется опорный элемент ik по критерию (6.46). |
|
||||
Шаг 7. Если S ‘*<3, найти в матрице Т ' член 1, задать i -s- / + 1 и пе рейти к шагу 4. Если S ' = 0 , работу закончить.
После выделения классов описание элемента (6.8), (6.9) в общем случае получает вид
М О = Arzr(/) + Brur(/) + £ A mz J f)+ wr(/),
ю=1,СО*Г
z ,(0 )= z r0,y r(/)= C rzr(/),
Е ,(0 = Р Д 0 - У г(0,
Г=1
Л/ = 0,5cJ (Г)8 „е ДГ)+0,5 ({е; (t)Qrler(t) +uj (f)Rrfur(/)}d/ |
min, |
О |
|
r , û > = ï j i , i= \T L . |
( П . 1 3 ) |
Алгоритм 2.9.
1. Определяются из (6.69) решения uj*(t) и координаты z£(t), y£(t), e^(/).
2. Отыскиваются — для заданной выпуклой целевой функции уровня
h = 2 — решения uk\t) и |
координаты z**(/), |
y*V)> £**(*)• |
|
3. Предположим, не |
снижая общности, |
что для первых п элементов |
|
(к = L л) оптимальными управлениями являются и*(/), |
а для элементов |
||
к = (л + 1), ^оптимальными управлениями служат и**(Г). Тогда согласованное
решение ищется из описания (6.8), (6.9) объекта управления и целевой функ ции (£* = 0)
/=o,5|;j{[y;(o-y*(/)]TQ*[y;w-y*(0]+[u;(o-u*(o]TR*[H;(o-uft(o)}d/+
*=io |
|
+ 0,5 £ J{[yA*(/)—У*(/)Г Q*[y**(t) - |
Ук (01+[u*' (0 - U * « г R * [u** (0 - |
k=n+\ о |
|
- u k(t)]}dt -» min, |
(П.14) |
где весовые матрицы Qkи R*выбирают по правилам, рассмотренным в гл. 6. Если ни для одного к (к = 1, К) управления и*(/) и и**(() не являются опти
мальными по самой постановке, то вместо целевой функции (П.14) следует использовать критерий
S J I F ^ |
F |
о I |
(П.18) |
|
Il |
O |
GTQ'SG || ’ |
||
|
где F = — CA lB0, G = - C A - l B; к,(7), h, — решения уравнений
ks(T) + A jk /7) + k,(7)A o- ks(7)B'S" V k ,( 7 ) = 0,
к/т) = 0 ,
hj(7) = B'S- VH \(T ) + A o \(7 ) - B'S- 'w (7),
h,(x) = 0,
|F TQ'JPJ (7’);
w(7’) =
[GTQ;p;(r).
Шаг 2. Определяют компромиссные решения Щ 7) и и$7). Для этого ре шают оптимизационную задачу с объектом управления (6.74) и целевой функцией
ул= 0,5^ ;]([и ;д г ) - и ; (г>г [и;,.(У) - и ; c m + IZ ; O D - Z ; (D I T [Z ; C D -
'■=1 0 |
|
-Z '(7 )])d / -» min, |
(П.19) |
г д е и * < 7 ),/= 1,2бер ути з(П .17)и (П .18);г*(7) — состояния, соответствую щие U*-.
Величину u”( 7) определяют для объекта (6.74) с целевой функцией вида (П.19).
Шаг 3. Если точность решения достаточна, то считают, что U0( 7) = U5 ( 7) ; u( 7) = u*( 7) и переходят к шагу 7. В противном случае переходят к шагу 4.
Шаг 4. Отыскиваются значения решений для быстрой составляющей
(6.75) с позиций верхнего уровня. |
Тогда получается Р / 7) = |
7) = 0 |
|||
|
fo s |
0 |
в, |
0 |
(П.20) |
|
|
|
|
[K ,(r)Z 5(r) + g ( r ) |, |
|
К |
1° |
Rb |
0 |
В2 |
|
где |
|
|
|
|
|
|
R '- P * |
0 |
||, : |
|
|
ИR.J
АТК //) + К//)А - к
К /7 ) = 0,
где Ку— решение уравнения Риккати.
С позиций среднего уровня |
|
U/2'(/) = R" 'Bty/tyW * |
(П-21) |
где ку(0 определяется из уравнения Риюсати
МО + k/OA - (А - В& - ‘В0т)МО - CTQC - M0BR“ ‘В \ ( 1) = О, М 7) = 0 .
Отметим, что для получения решения (П.21) в (6.75) подставлено реше ние 1)fj(t) из (6.72).
Шаг 5. Для переменной up) ищут компромиссное решение up). Для это горешаютсистемуиз выражения (6.75) и целевой функции вида (П.19).
Шаг 6 . Определяются уточненные решения |
|
и 0 (Г)= и;(Г )+ ]и> )< 1/, |
|
о |
|
т |
/д 22) |
u(T)=as(T)+ ju/Od/. |
|
О |
|
Шаг 7. Конец алгоритма.
Алгоритм 2.11.
Шаг 1. Определяют управление u p ) для системы, описываемой выраже ниями (6.78) при B0ik = 0 и (6.83) при фиксированной структуре.
Такое решение (при JL= 1) имеет вид
uk(t) = u p ) + u p ) + u p ) + <(/), |
(П.23) |
где u£, u£,< определяютсяпервой, второй и последней составляющими пра вой части первого уравнения — выражение (6.78); ик — вектор-столбцом плана р. Для выявления структурного переходного процесса полагаем далее
= 0 .
Шаг 2. Вмомент t = Т= 0 начинается структурный переходный процесс, момент начала которого, не снижая общности, примем за новый нуль. В вы ражении (П.23) определяются конечные значения состояния гк(Т) при фик сированной старой структуре, являющейся начальными значениями z*(0 _) для структурного переходного процесса (zk(T) = zk(0_)).
Шаг 3. С помощью выражений (П.23), (6.82) составляется описание для стационарного процесса.
При изменении цели могут исчезать старые или появляться новые коор динаты v(0, где V — любой из векгор-столбцов выражений (6.78) и (6.82); ис чезать старые или появляться новые связи; меняться интенсивность связей, что учитывается матрицей Е р ) = {eff(t)} с элементами 0 й е™(/) й 1. Возмож
но учитывать появление новых и удаление старых структурных элементов (/*= 1 , F).