книги / Релаксационные явления в полимерах

Из уравнения (VI. 182) вытекает теорема умножения:

(VI-183)

(V I. 184)

Равенство (VI. 183) выражает содержание свойства расщепляе­ мости, согласно которому произведение операторов можно пред­ ставить через их разность или, согласно (VI. 184), целые степени операторов — через производные по параметру.

Сравнивая равенства (VI.182) и (VI. 173), находим связь меж­ ду временем запаздывания т0 и параметром 0:

Из полученного выражения следует соотношение (VI. 180) меж­ ду временами релаксации, запаздывания и модулями упругости, если принять во внимание явное значение % согласно второй из фор­ мул (VI. 173).

Ползучесть и релаксация напряжений для среды, наследствен­ ные свойства которой описываются 5-оператором, определяются интегральной сверткой 5-оператора с единицей. Действительно, из

что вытекает непосредственно из определения (VI. 170) после заме­ ны переменных.

Функция 5 i (— Э) * 1 протабулирована. Ее численные, значе­ ния для различных а, р и t приведены в работе [56]. Для больших

водить к релаксированным значениям модуля упругости и подат­ ливости. В выполнении этого условия можно убедиться, исполь­ зуя соотношения (VI. 185), (VI. 189) и (VI. 173).

В случае применения дробно-экспоненциальных функций для описания внутреннего трения удобно воспользоваться определением

комплексного модуля сдвига (VI. 174) или<>податливости (VI. 175). Разделяя действительные и мнимые части, находим:

= у "Y, хе=ют8)

Семейство кривых внутреннего трения при различных значениях параметра дробности приведено на рис. VI. 3 [59].

Рис. VI. 3. Зависимость внутреннего трения от частоты сдви­ говых колебаний:

а —вязкоупругая среда; б —упруговязкая среда (|Ло=*0).

Использование ^операторов для описания релаксационных процессов в неоднородных средах. Для расчета интенсивности ре­ лаксационных процессов в неоднородных средах следует получить вначале решение соответствующей упругой задачи, затем согласно принципу Вольтерра заменить упругие модули их операторным значением и провести расшифровку найденных таким образом функций от операторов. Проиллюстрируем это на примере.

Рассчитаем ползучесть полого шара (наружный и внутренний радиусы R2 и RI), внутри которого с момента t = 0 действует дав­ ление р, а наружная поверхность свободна от напряжений. Отлич­ ные от нуля диагональные компоненты тензора деформаций, запи­ санные в сферической системе координат, имеют вид [60]:

ЗК’

В соответствии с намеченной схемой заменяем в выражении (VI. 192) модули упругости на их операторное значение. Принимая

ДЛя простоты объемную релаксацию пренебрежимо малой, нахо­ дим, что коэффициент а остается постоянным, тогда как b опреде­ ляется оператором сдвиговой податливости (VI. 181):

Асимптотика больших времен получается из (VI. 195) при по­ мощи соотношений (VL 189) и (VI. 185):

(VU96)

В рассмотренном простейшем примере оказалось, что ползу­ честь неоднородного материала характеризуется тем же характер­ ным временем запаздывания, что и для однородного материала. Этот вывод с очевидностью следует из определения (VI. 192) коэф­ фициента Ь. Если же материал обладает более сложной конфигура­ цией, то решение уже не будет выражаться линейно через упругие модули или податливости.

Во многих случаях решения задач, основанных на.теории упру­ гости, выражены через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v. Поэтому представляет интерес вычисление операторного значения этих величин.

Найдем операторное значение продольной податливости 1/Е* и коэффициента Пуассона у*:

где v« — нерелаксированнре значение коэффициента Пуассона.

Отсюда с помощью соотношения (VI. 182) находим:

Рассмотрим теперь пример, иллюстрирующий сложный харак­ тер протекания релаксационных процессов в неоднородных средах. Пусть к неограниченной среде с полостью радиуса R в момент t = 0 приложено сдвиговое напряжение oi2, являющееся на боль­ шом расстоянии от полости однородным. Тогда напряжение в окрестности полости будет определяться выражением [60]:

где р = Rfr.

Заменим в этом равенстве модуль сдвига его операторным зна­ чением. Тогда коэффициенты перед р3 и р5 будут равны:

Функции, описывающие релаксацию напряжений, получаются сверткой 5-оператора с единицей аналогично тому, как это было сделано при переходе от (VI. 194) и (VI. 195).

Из равенств (VI. 202) — (VI. 205) следует, что при условии по­ стоянства приложенного на бесконечности сдвигового напряжения

а °2 в окрестности полости будет иметь место релаксация напряже­ ний, причем эффективное время релаксации Те в соответствии с не­ равенством (VI. 156) оказывается больше, чем соответствующее время релаксации в неограниченной среде:

Релаксационные процессы в композиционных материалах. Рас­ смотрим композиционный материал, составленный из двух изотроп­ ных фаз с совпадающими модулями сдвига. Эффективный объем­ ный модуль такой среды удается рассчитать точно. Его значение дается равенством (VI. 116), которое может быть представлено в виде [21,61]:

Из восьми параметров %тп независимых — пять. Три уравнения, связывающие восемь величин %тп имеют вид:

Таким образом, реологические характеристики композицион­ ного материала оказываются существенно более сложными, чем у исходного вязкоупругого компонента.

Выше были рассмотрены неоднородные среды, для которых из­ вестно точное значение эффективных постоянных упругости. Ана­ логично могут быть рассмотрены и более сложные материалы: зернистые, волокнистые и армированные в нескольких направле­ ниях, однако в общем случае расчет приходится проводить по приближенным формулам.

Учет асимметрии релаксационного спектра. Выше был исполь­ зован аппарат 5-операторов для описания наследственных процес­ сов в неоднородных полимерах. Одним из недостатков такого под­ хода является несоответствие релаксационных спектров реальных полимеров с симметричными формулами (VI. 178) и (VI. 179), к которым приводят дробно-экспоненциальные функции. В этой свя­ зи представляет интерес разработка методов учета асимметрии в рамках теории расщепляемых интегральных операторов. Очевид­ но, для учета асимметрии необходимо ввести дополнительный па­ раметр. Один из методов основан на использовании оператора, яд­ ро которого представляет собой произведение дробной экспоненты на обычную

Введенный равенством (VI. 222) Q-оператор также обладает свойством расщепляемости и поэтомуможет быть использован для описания релаксационных процессов в неоднородных средах.

Поскольку 5-функция при р > 0 является убывающей, из ра­ венства (VI. 222) следует, что Q-оператор для больших t должен приводить к болеё резкому асимптотическому спаду кривых релак­ сации, чем соотношение (VI. 189), которое вытекает из теории 5-операторов. То же относится и к ползучести. Вместе с тем асимптотики малых времен для Q- и 5-операторов совпадают.

Другой вариант учета асимметрии состоит в сохранении асимптотики больших времен и изменении асимптотического хода кривых в начальный момент времени. В этом случае в качестве ядер интегральных операторов могут использоваться, например, вырожденные гипергеометрические функции [63].

При использовании для модулей упругости и податливостей резольвентных операторов спектры времен релаксаций и ретарда­ ций оказываются одинаковыми и сдвинутыми друг относительно друга. Для 5-операторов это видно непосредственно из выраже­ ний (VI. 178) и (VI. 179), тогда как для других резольвентных операторов в совпадении формы спектров можно убедиться из

условия резольвентности (VI. 182), которое показывает, что прямой и обратный операторы отличаются лишь сдвигом по параметру.

Рассмотрим еще вырожденный случай, когда прямой и обрат­ ный операторы приводят к различным формам спектров. Если вы­ брать, согласно Ржаницыну [64], в качестве исходного ядра выра­ жение

<«•**>

то резольвентное ядро будет определяться равенством (VI. 222). Можно показать [63], что релаксационному и ретардационному

спектрам

У

(VI. 228)

соответствуют следующие комплексные модули упругости и подат­ ливости:

преобразованием инверсии £<Ü T -* 1 /Z CÜT в логарифмических коорди­ натах. Из уравнения (VI. 229) для т » хе получаем Я « т~т, что при у = 7г совпадает с известной формулой Рауса, описывающей релаксацию полимеров в переходной области [54].

Выражение (VI. 229) в операторной форме имеет вид:

Ч'= Но + Ans* s (/) = ,F, (v, 1. - — ) (VI. 233)

где iFi — вырожденная гипергеометрическая функция.

Явное выражение соответствующего резольвентного оператора в интегральной форме и в виде рядов приведено в работах [63,64].

1. Б. Розен, сб. «Волокнистые композиционные материалы». Изд. «Мир», 1967, стр. 54.

2. Дж. Н а й, Физические свойства кристаллов, Изд. «Мир», 1967.

3.А. Г. Фокин, Т. Д. Шер мер гор, Прикл. мат. и мех., 32, № 4, 660 (1968) .

4. Р. де Вит, Континуальная теория стационарных дислокаций в кн.

Д. Эшелби, Континуальная теория дислокаций, ИЛ, 1963.

5.И. А. Кунин, Теория дислокаций, Приложение к кн. А. Я*. Схоутен, Тензорный анализ для физиков, Изд. «НЬука», 1965.

11.A. Reuss, Z. angew. Math. Mech., 9, 55 (1929).

12.R. Hi 11, Proc. Phys. Soc., A65, 349 (1952).

15.R. Hi 11, J. Mech. Phys. Solids, 13, 213 (1965).

16.A. V. He г s he y, J. Appl. Mech., 21, 236 (1954).

17.E. Kroner, Z. Phys., 151, 504 (1958).

18.Д. Эшелби, Континуальная теория дислокаций, ИЛ, 1963.

19.R. Hi 11, J. Mech. Phys. Solids, 13, 189 (1965).

20.Z. Hashin, S. Shtrikman, J. Mech. Phys. Solids, 10, 335 (1962).

21.P. Хилл, Сб. переводов «Механика», Ns 5, 1964, стр. 127.

25.В. А. Л о ма к и н, сб. «Проблемы надежности в строительной механике», Вильнюс, 1968, стр. 107.

2.6.Л. П. Хорошун, Прикл. мех., 4, Ns 7, 8 (1968).

39(1968).

30.А. Г. Фокин, Т. Д. Шер мер гор, Механика полимеров, Ns 4, 624 (1968).

31.Б. М. Даринский, Т. Д. Шермергор, Прикл. мех., 2, Ns 10, 91 (1966).

35.В. И. Татарский, Распространение волн в турбулентной атмосфере, Изд. «Наука», 1967.

45.А. Г. Ф о к и н, Т. Д. Ш е р м е р г о р, Прикл. мех., N° 2 (1970).

46.Т. Д. Ш е р м е р г о р, Б. М. Д а р и н с к и й, сб. «Внутреннее трение в ме­

53.В. Т. Г л у ш к о, Механика, полимеров, N° 3, 403 (1966).

54.Дж. Ферри, Вязкоупругие свойства полимеров, ИЛ, 1963.

итехн. физика, N° 3, 103 (1966).

60.Л. Д. Ландау, И. М. Лифшиц, Теория упругости, Изд. «Наука», 1965.

61.А. Г. Фокин, Т. Д. Шермергор, Прикл. мех. и техн. физика, 1968, № 3, 37 (1968).