книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Корреляционные методы исследования распределенных систем 531

В табл. 3 приведены формулы для вторых моментов обобщенных координат и скоростей системы (26) для случая, когда 0а (() — белые шумы с интенсивностями Оаа и взаимными интенсивностями Оар. При

этом Оаа = Фаа/л, ОаЗ = Фар/л. гДе Фаа» Фа0 — спектральные плот­ ности и взаимные спектральные плотности соответственно. Из фор­

мул табл. 3 следует, что при малых значениях коэффициентов затуха­ ния, характерных для упругих систем (еа < 1), взаимная корреляция различных обобщенных координат и скоростей оказывается заметной лишь при весьма близких значениях частот 0)а и ©р. Например, при еа = ер = е

— ___________2Раре (ша + сар)________

(30)

К- °>р) + 4е2й>а“ р ( “ а +

Следовательно, если

2е V < | соа — свв |,

то значения уао$ оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с главными элементами матрицы вторых моментов.

Если демпфирование мало, то для средних квадратов обобщенны координат может быть дана приближенная формула

Vа

4еа»а

ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Уравнения колебаний линейных распределенных систем. Эти урав­ нения могут быть записаны в виде

= у;

здесь <и>(.х, у, г, /) — вектор перемещений; щ (х, у, г, /) — вектор на­ грузок; Ь — некоторый линейный оператор. Пусть компоненты век­ тора у являются случайными функциями координат и времени с извест­ ными вероятностными характеристиками. Задача состоит в определении вероятностных характеристик вектора о» и его производных по коорди­ натам и времени. Для простоты в дальнейшем будем рассматривать уравнение

где ю и у — скалярные функции координат и времени. Уравнение (32) можно трактовать как «разрешающее» уравнение в теории колебаний стержней, пластинок и оболочек.

Сведение к системе с конечным числом степеней свободы. В соответ­ ствии с этим методом перемещение ни представляется в виде разложения в ряд по формам собственных колебаний — по собственным функциям Фа (*» У, 2) оператора

Корреляционные методы исследования распределенных систем 533

Статистические характеристики случайных нагрузок. Для решения практических задач в рамках корреляционной теории необходимо знать

ческими шумами, турбулентными пульсациями давления в пограничном слое, нерегулярным волнением моря, спектры давления в отдельных точках поверхности находятся из эксперимента. Соответствующие дан­ ные приведены в работах [17, 19, 42, 43, 57]. В задаче о движении авто­ мобиля по неровной дороге спектр возмущений может быть вычислен по спектру длин волн неровностей, определенному путем геодезических измерений.

Полное экспериментальное определение корреляционной функции или спектральной плотности пространственно-временного случайного процесса связано, как правило, со значительными трудностями. По­ этому для приближенных оценок обычно используют простейшие аналитические зависимости. Некоторые из них указаны ниже.

Д е л ь т а к о р р е л и р о в а н н а я в п р о с т р а н с т в е н а г р у з к а . Это предельный случай нагрузки с весьма малым (по сравнению с длинами волн возбуждаемых форм колебаний) масштабом

При использовании такой модели весьма упрощаются вычисления. Например, для спектральных плотностей Фд д^(а) в случае ортого­

сравнению с размерами конструкции) масштаба пространственной кор­ реляции. В этом случае спектр пространственных корреляций не зави­ сит от координат.

Н а г р у з к а в о л н о в о г о т и п а . Эта нагрузка характери­ зуется тем, что ее корреляционная функция зависит от времени и коор­

534 Статистические задачи колебаний и устойчивости

Нагрузки такого типа встречаются в задачах о воздействии на кон­ струкцию дальнего акустического поля или турбулентных гидродина­ мических пульсаций струи [43, 46, 49], о движении в статистически неоднородной среде, о движении нагрузки по мосту [4] и т. п.

А к у с т и ч е с к и е н а г р у з к и . Задача о колебаниях упру­ гих систем под действием акустического излучения работающих двига­ телей приобрела в последние годы большую важность в связи с так на­ зываемой проблемой «акустической усталости» конструкций [6, 43]. Экспериментальные данные по частотным спектрам пульсаций давления в различных точках акустических полей работающих двигателей приведены в работах (42, 43, 49]. Пространственную корреляцию в принципе можно рассчитывать в соответствии с теорией Лайтхилла [52], исходя из решения неоднородного волнового уравнения. В некоторых случаях, однако, пространственную корреляцию можно оценивать на основании чисто геометрических соображений [32].

Метод интегральных оценок. При применении корреляционных ме­ тодов к решению задач о колебаниях распределенных систем в ряде слу­ чаев возникают трудности, связанные с необходимостью проводить суммирование по весьма большому числу возбуждаемых форм колеба­ ний. Тогда эффективное приближенное решение может быть получено по методу интегральных оценок [4, 7, 39]. Суть метода заключается

впереходе от суммирования в формулах типа (36) к интегрированию

впространстве некоторых параметров. В соответствии с теорией дина­ мического краевого эффекта [5 ] такими параметрами являются волновые

числа кх, ку, кг форм колебаний.

Рассмотрим, например, пластинку, находящуюся под действием нормальной нагрузки. С учетом формулы (31) имеем

(41)

Согласно методу интегральных оценок выражение (41) приближенно

сил Ф0 0 (ш), собственные частоты ша , коэффициенты демпфирова-

ния еа и коэффициенты влияния са трактуются как функции волновых чисел, принимающих все значения из первого квадранта.

Применения метода интегральных оценок. В случае пластинки по­ стоянной толщины, загруженной нормальной дельта-коррелированной на срединной поверхности нагрузкой с учетом формулы (40), получим следующую оценку для прогиба во внутренней области:

Корреляционные методы исследования распределенных систем 535

здесь Р — цилиндрическая жесткость; рк — плотность пластинки, отнесенная к единице площади срединной поверхности;

1

(44)

Для максимальных нормальных напряжений во внутренней области находим оцеику

где V — коэффициент Пуассона. Для максимальных напряжений в за­ делке имеем

и т. д. В табл. 4 для ориентировки приведены формулы для средних квадратов о>2 и о2 и эффективной частоты

со

входящей в формулы для определения долговечности при циклических нагрузках (см. гл. 8, т. 1). Формулы выведены для усеченного времен­ ного белого шума

В работе [39] рассмотрены другие случаи пространственной и вре­ менной корреляции, исследовано влияние инерции вращения и дефор­ маций сдвига, получены формулы для случайных колебаний оболочек, произведены подробные вычисления для сферической оболочки. Огра­ ничимся тем, что приведем формулу для среднего квадрата нормального

Корреляционные методы исследования распределенных систем 537

существует временное преобразование Фурье от пространственной кор­ реляционной функции нагрузки — спектр пространственной корре­ ляции (37). При сделанных предположениях об операторе Ь существует спектр пространственных корреляций для перемещений

Ух> гг\ х2, у2, г2\ ©) =

я Л ы){хъ уъ г1з ()и>(х2, у2, г2. * + т)е""/аугЛ .

--00

Можно показать, что функции Ф^ и Ф№связаны между собой соот­ ношением

чисто временным оператором, то I (10) представляет собой передаточ­ ную функцию системы. Тогда уравнение (50) превращается в зависимость типа (25) между спектральными плотностями «входа» и «выхода» линей­ ной системы с конечным числом степеней свободы и постоянными пара­ метрами. Если же Ь является пространственно-временном оператором, то уравнение (50) является операторным уравнением. Так, если опера­ тор Ь является дифференциальным оператором по х, у, г, то уравне­ ние (50) превращается в дифференциальное уравнение в частных про­ изводных относительно функции Фц,, зависящий от семи переменных хх, Ух> г1? х2, у2, г2 и 0 . Граничные условия для этой функции вытекагот из граничных условий для функции т (х, у, г, I) и формулы (49).

Решение уравнения (50) может быть найдено по методу факториза­ ции. Рассмотрим частный случай оператора

где Ь0 — самосопряженный линейный оператор в пространстве коорди­ нат; е — положительная постоянная (коэффициент демпфирования)- Решение уравнения (51) имеет вид

здесь 0 а и ф0 — собственные значения и собственные функции опера­ тора Ь0 соответственно; аа$ (о) — коэффициенты разложения спектра пространственной корреляции нагрузки Ф^ в ряд Фурье по функциям

Фа (*1*1/г» ^1 ) ф(3 (*2 >У2 *гъ)- Решение (52) совпадает с формальным ре­ шением, получаемым в результате замены исходных уравнений в част­ ных производных бесконечной системой обыкновенных дифференци­ альных уравнений с последующим применением к ней стандартной

540 Статистические задачи колебаний и устойчивости

здесь | (0 — стационарная случайная функция, для которой

ш = 0; Е('0 Е(* + т)= /С (т).

Использование разложения (57) с последующим применением изло­ женной выше схемы вычислений дает с точностью до членов порядка р,4

при этом условии случайные изменения собственной частоты Приводят к уменьшению «в среднем» амплитуды колебаний.

Метод усреднения. Этот метод использует известные идеи Крылова— Боголюбова в теории нелинейных колебаний. Если исследуемый колеба­ тельный процесс имеет узкополосный спектр, то уравнения движения могут быть усреднены за «период» колебаний. Затем применяют либо корреляционную теорию, либо теорию марковских процессов. Подроб­ ное изложение метода усреднения применительно к случайным функ­ циям содержится в монографии [27], где рассмотрено большое коли­ чество нелинейных и параметрических задач.

МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Понятие о марковском процессе. Если движение системы описы­ вается стохастическими дифференциальными уравнениями, то эволю­ ция во времени совместной плотности вероятности неизвестных подчи­ няется, вообще говоря, некоторому дифференциальному или ннтегродифференциальному уравнению. Это уравнение будем называть кине­ тическим. Важный класс процессов, для которых применение кине­ тических уравнений позволяет получить содержательные результаты, образуют марковские процессы. Простой марковский процесс — это процесс без последействия, т. е. такой процесс, при котором распределе­

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова. В качестве простей­ шего примера рассмотрим простой марковский процесс с одной пере­