книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

здесь VI — фазовая скорость распространения преимущественно изгибных волн при свободных колебаниях оболочки в вакууме

Так как параметр х также зависит от скорости потока У, то вычи­ сление критических скоростей дивергенции можно вести по форму­ лам (48) или (49) методом последовательных приближений. Возможен также графический способ решения [10].

Фазовая скорость распространения изгибных волн в вакууме будет минимальной при

Если т2 > л2, то для длин полуволн X, соответствующих минималь­ ной фазовой скорости, можно получить оценку

X «в 1,68 (ЛА)2.

Минимальная фазовая скорость приближенно составляет

У1* о , т ( ± . ± у .

Соответствующая частота

ческого и конструкционного демпфирования е могут быть получены из уравнения

Скорость флаттера определяют как минимальную скорость потока, при которой появляются бегущие волны с нарастающей амплитудой. При этом среди частот О будут появляться частоты, имеющие отрица­ тельную мнимую часть.

Параметр % является сложной трансцендентной функцией скоро­ сти и и частоты Й. Поэтому для решения уравнения (51) целесообразно

л « ЦК = к к У м \ — 1.

Используя для получения условий устойчивости критерий, анало­ гичный критерию Рауса-Гурвица, найдем следующее выражение для критической скорости флаттера бесконечно длинной цилиндрической оболочки [10]:

V* = Г, {т, п) ( 1 • (52)

Из формулы (52) видно, что влияние конструкционного демпфирова­ ния весьма существенно. Если отказаться от условия М 1 > 1 и прене­ бречь демпфированием, то для критической скорости получим фор­ мулу [15]:

Необходимо отметить, что приведенные выше формулы критических скоростей получены для бесконечно длинной оболочки и могут не совпа­ дать с соответствующими формулами для конечной, хотя и весьма длин­ ной оболочки, так как здесь не учитывались условия отражения упругих волн от торцов оболочки.

Впервые задача об устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа была рассмотрена в работе [5]. Этому вопросу посвящены также работы [85, 87].

Коаксиальные бесконечно длинные круговые цилиндрические обо­ лочки. Уравнения возмущенного движения для двух коаксиальных упругих цилиндрических оболочек, между которыми течет поток идеального сжимаемого газа (рис. 16), получены в работе [29]. Более детально исследованы случаи, когда одна из оболочек является абсо­ лютно жесткой. При этом уравнения движения упругой оболочки после

преобразований могут быть сведены к уравнениям вида (46). Формулы для коэффициентов уравнения (46) в данном случае можно взять из работы (30].

Критические числа М* = 1/*/с0 будут функциями чисел т и п. Зависимости М* = / (ш, п) при фиксированных значениях п могут иметь два минимума. Эти минимумы имеют место при волновых чи­ слах /п, близких к волновым числам, соответствующим минимальным скоростям распространения упругих волн по оболочке в вакууме.

Вычисления критических чисел для оболочек с параметрами 0,001 <4

рЯу^о /

здесь V*2 — минимальная фазовая скорость распространения упругих волн по оболочке в вакууме при п = 2, а параметр а 0 определяют по формуле

1 I 1 + Х "4 ао = о" 1 — X-4

Итак, критические скорости для коаксиальных оболочек, одна из которых является абсолютно жесткой, в указанном выше диапазоне

параметров -75- и -=^-, можно вычислять по формулам (53) и (54). Из

АА х

двух полученных значений А1+1 и М *2 следует брать меньшее. Круговые цилиндрические оболочки конечной длины. При определе­

Используя для определения аэродинамических сил стационарное линейное приближение формулы поршневой теории и предполагая также, что р = р0, в случае отсутствия начальных усилий в срединной поверхности оболочки запишем формулы для компонентов поверхно­ стной нагрузки:

Критические скорости флаттера определяют на основании исследо­ вания свободных частот оболочки в потоке газа. Для свободных ко­ лебаний с частотой со решение системы (36) представляется в виде

и~ 1)п (а)созпР еш *; о = У п(а) зШнр еш \ и) = №я (а)соз др еш . (55)

где п — рассматриваемое в качестве параметра число волн упругой поверхности оболочки в окружном направлении;

системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой после подстановки решения вида (55) в исходную систему (36); Сщ — вещественные постоянные интегрирования. Явные выражения для част­

ных решений ф)я »ф}л »фул можно записать после вычисления корней

характеристического уравнения.

После подстановки решения (55) в граничные условия (по четыре ус­ ловия на каждом из торцов а = 0 и а = у) придем к системе восьми од­ нородных уравнений относительно величин С/„. Приравнивая нулю определитель Д, составленный из коэффициентов, стоящих при С/л, можно получить уравнение относительно искомой частоты со.

( « 1 » + » ^ + < . ) * »

Число волн в окружном направлении, минимизирующее критическую скорость. Критические числа р* являются функцией числа волн в окруж­ ном направлении п. Функция р„ = / (п) имеет минимум при числе

закрепления ее торцов. Для оболочек, имеющих - ^ - ^ 2, критические

д

числа р** отвечают слиянию двух низших собственных частот оболочки в потоке газа. Результаты вычислений приближенных значений чисел пф

Результаты численных расчетов минимальных критических скоростей флаттера для свободна опертой и защемленной цилиндрической обо­ лочки даны соответственно на рис. 19 и 20. При вычислениях здесь

использовано точное решение уравнении колебаний цилиндрической оболочки в потоке газа. Критические числа ц,* в этих случаях опре­ делялись на основании исследования зависимостей Я, = } (ц) в диапа­ зоне чисел п = 2-;-14. У рассмотренной оболочки критические числа р. соответствуют слиянию двух низших частот.

Зависимости Я, = / (ц) при числах волн п = 6, 7, 8, 9 для свободно опертой оболочки показаны на рис. 19, для оболочки с жестко защемлен­

ными торцами — на рис. 20. На обоих графиках по оси ординат отло­

щественно поперечных колебаний оболочки в вакууме для каждого рассмотренного случая. Критические числа р,*, отвечающие числам волн п = 6, 7, 8, 9, приведены в табл. 5. Из табл. 5 следует, что для

5.Зависимость критических параметров ц*- 10е от числа волн

вокружном направлении для круговой цилиндрической оболочки

свободно опертой оболочки четырехчленное приближение метода Галеркина дает значение минимальных критических скоростей флаттера с точ­ ностью, достаточной для практических расчетов. Жесткое защемление оболочки ведет к увеличению критической скорости флаттера и соот­ ветствующего ей числа волн упругой поверхности оболочки в окружном направлении.

Формы колебаний V?для двух низших частот собственных колебаний свободно опертой оболочки в потоке газа представлены на рис. 21 и 22. Все формы нормированы к своему максимальному значению. На рис. 21

приведены формы колебаний, соответствующие меньшей из двух частот (кривая 1 — р, = 0; кривая 2 — р, = 0,3 -10“3; кривая 3 — р = 0,6 X

такое же, как на рис. 21). Вначале при увеличении параметра скорости

потока 0 < р < р Аформа колебаний для низшей частоты не имеет уз­ ле

левых точек на интервале 0 < - у - < 1. Однако вблизи границы области флаттера при р>> р! форма качественно меняет свой вид: на интервале

колебаний, отвечающей второй частоте. При дальнейшем увеличении параметра р в пределах 1*1 < И < р** происходит также и количествен­