Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 5746 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Колебания сферических оболочек

451

Для нагруженной сосредоточенной силой и равномерно распределен ной нагрузкой сферической оболочки уравнение вынужденных колеба ний имеет вид (при решении по методу Бубнова-Галер кина)

	.	*з	*2		*		(44)
о» - р р - +		«1®Ь — Ф	о	+ С3Ш0 = С4“? + <*<Э
Здесь для сокращения		принято
8 — 25к +20Л 3				сх =	-
с0 = -	120	(2к — 1)	’			(2к — I)3
				^	3

	X (--- ^г + 4 " “ '\|"ЛЗ+2/г8“						/Е4+■	з~ 8А+б*а			рх) ;
									24		рх) ;
		3 (2к — I )2			( 1 2	2	к + ~	Т	к* ~ 3* 3 +
		+	3к-		Р1 —	3 — 8к -\|-6к2
			12		Р1 —		6	Р2) ;
			12				6	Р2) ;
	Сз~ 3(2/г — 1)			(	5	+ к	к2~	ЗЛ— 2		Ра)+
	Сз~ 3(2/г — 1)			(	5	+ к	к2~		6	Ра)+
			“Г	8	3 6 — 2		1 — V
			“Г	Ъ	2к — 1		5а	»
				3	2к — 1		5а	»
			С4 =■ 3 6 — 2			С5 =	26 — 1
					24		8л
		7 — 206 +			1862 4- (р — V) (1 — 46 4- 662)
		91-------------------------- 1				4 -р ,— V----------------------
			5		— 9й + ( ц . — у)(1 — 3&)
		И			1 + Ц — V				’
	й -	" + Д .			( 1 +У)а- 1				Н		Р_
		2 д	>		(5 + У)а—I »т				с\|”
	Особые точки уравнения (44) будут
	^	(1> = °;	« « ,2- 3, =			^ г (с2 ± Г		г4	^	) .
	Период колебания т* связан с амплитудами прогиба									и нагрузок
<?*,	зависимостью					^
		=	4 я б ~ '23 2 ( I — V2) 3				1		—
			в с кг*		I с	С4<?*	с^ 1		2

3" 2 0 + 3

^ -------

]

452			Колебания оболочек
Связь	с	при ^	= 0 и V = 0,3 представлена графически

при различных значениях т = б2 (1 — V2)"1 на рис. 17 [19].

Вынужденные колебания пологих сферических оболочек. Уравнения вынужденных колебаний пологой сферической оболочки под действием периодической возмущающей силы имеют вид

й Д Дор +	Дх +	рй	=	Р„Ь (г— г0)	;
	Ж ДДХ = ~ -Л < а .
Исключая из уравнений		время	х =	и) =	ж ш °* и введя
новые вспомогательные функции Р и ф по формулам
% ~Р —		ф; ш = А(ф — },р),
где

Ь = (рЛсод/?)-1 ,

Колебания конических оболочек

453

можно убедиться, что функции Р и ф должны удовлетворять урав нениям

Л КР =	0;	А (ДА — 64) ф			_ 1_	р„ (' — '«);
					П
	6< = - ^ Г			^ ____
		о
Частное решение последнего уравнения имеет вид
^ = - 1			^	{ 1 п \| г ' -		Г » \|2 +
дтI				_		_ _	\
+ - у №		№ 1 ? - г 0\|) + Я о № \|г - Г о Ш ) ;
здесь //о — функция	Ганкеля		нулевого		порядка.		уравнения будет
Общее решение соответствующего однородного
(в полярной системе	координат)
^		(г) С05 Лф +				(/•) 51П Лф],

п—0

где

4>и = ЛпГ'1+ А ™ Г Л+ В„7„ (йг) + В<"Уп (Ьг) +

+ Сп1п (Ьг) + С "'К п (Ьг).

Решение этой задачи дано Г. А. Ван-Фо-Фы и В. Н. Буйволом [12].

КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Дифференциальные уравнения тонких упругих конических оболочек для динамического случая. Пусть срединная поверхность конической оболочки отнесена к ортогональной системе координат х, ср (рис. 18).

Тогда коэффициенты Ламе будут

= 1;

= х $щ а,

где а — угол полураствора конуса.

454				Колебания оболочек
Уравнения колебаний конической оболочки имеют вид
	д(м 1Х)	,		1	а л и	1		_	,	л *
	дх				^ — - ^ и + 9 , - р л Л ,
	дх
		1	<? (А/г1х)			1	дМ2.	+
		X	д*		Л 51Па		дф	+
	I	1	Л7		^2	+ «3 =Р/1-^Г
	+	7	^	Т Т ^Г		+ «3 =Р/1-^Г
	д(0,х)		+	■		арз	, ^зз	— <?з =
	дх		+	■		дф	*1 § а	— <?з =		(45)
				= -р Л		д2ИУ
				= -р Л		дР
1	а (м п х)				дМп
х	дх			л: зш а		д<р — 7 ^22 —			~
Д	а (М1гх)			1	дМ%ъ		Ч— “ М12 — Ог — О-
*	д*					д(р	Ч— “ М12 — Ог — О-
*	д*					д(р

Усилия и моменты выражаются формулами (2), в которых следует

учесть, что -=— = 0, /?2 = дс12<х. Компоненты деформации н измене-

ния кривизн будут

а^!

аиг ,

ц1

Рд;

Л $|П (X*

дх

х 1§ а

в !з

дих

и2 \ ]

[

д ф

Х -т —

’

х 51П а

дх

( Ш

Хц

д 2Ш

;

(

дт

ддо

~ а 7

д ф

а ?

и2 соз а ^

—

" :

:2 51П2 а

’~д7'

«13

д2ш

дю

ди2

а \

дхду

д ф

” а

С05

) ■

Приближенные уравнения краевого эффекта (уравнения с большим показателем изменяемости) при пренебрежении тангенциальными силами инерции для конической оболочки примут следующий вид:

		1	д2у
О Д А ш + 7 1 ё а " Ж					г ~ р Л < \|А '1 = 0 ;
	1	л л		1	д2и)		(46)
	ЕН АЛх ~		х1еа "дхг				(46)
1 . _	д2	1 а			1	У	\
\	дх3	х * дх	*’	ха 5Ша а		’ р(р2 /	'

Колебания конических оболочек

455

Тангенциальные усилия в срединной поверхности связаны с функ цией напряжений формулами

АТ	1	Эф2	,	1	д % -	АТ	,
11	51П2 а	Эф2	'	х	дх *	22	дх2 *
	. ---------!—		(■	52Х		3% \
	х	51П а	\	дхду	X " 0ф /

Свободные колебания конических оболочек. Полубезмоментная тео рия. Дифференциальные уравнения малых колебаний конической обо лочки, если пренебречь силами инерции в направлении образующих и использовать предпосылки полубезмоментной теории, имеют вид

д № гх)

дх

+’ -з ш

д(р

С>ф 4- 81П а

д №*х)

дМ22

дх

^12 ^ '

х1&а ’

дф

X 81П

а • р/1

д*и.

а/2

д*М.22 .

д2ш

п.

(47)

X й

5 1 П Л а

аф2“

РА ж

81П а

дх

- 4 ^

аф

дхи

з1п

ае:

аф

дх

х1&а

я ^ - =

дф

х Х1

С05

4 -

а»ец

81П

д ф 2

Первые три уравнения системы (47) являются уравнениями движе ния, последние три — уравнениями неразрывности деформаций.

Удобно ввести вспомогательные функции 0, ф по формулам

1	аф в		- - § 7 ;
Каз —х зш а	аф	»	- - § 7 ;
	аэ	в -г	аэ
х 81п а	аф * г ‘а — Ж

Решение можно искать в виде

{Ио, 0. ф) = { й 2 ,0 ,Ф) 81П пуеш \

(ш, е82} = [ш, Е2а) созпфе1Ы;

456	Колебания оболочек

использование упрощенных соотношений упругости

Л4га = ™* -^^22»		®22 =	^22
приводит к соотношениям
ю ~	X 81П а	(вда соз а — пф);
ю ~	л2 — соз2 а	(вда соз а — пф);
«2	X 51П а	(лв24 — -ф соз а);
«2	л2 — с052 а	(лв24 — -ф соз а);
	л2 — с052 а
шпх а +	игх 31П а «=*	I2 + соз2 а	„
шпх а +	игх 31П а «=*	■а--------5—	*2, з!п а а ;
		2 — соз2 а

ЕНх з т 3 а соз а , аТ/х/

Фл2 (л2 — соз2 а) {Х ^ ) ;

ЕН соз а 81П6 а

[х2[хС*2^ ')']')'- } -

л2 (л2 — соз2 а)

Рп2 (л2 — соз2 а)

1|> —х3з т 2 а

а • рйш2

л2 + соз2 а

х з!п а соз а

л2 — соз2 а

*|) = 0 .

Если оболочка шарнирно оперта (условия Навье), то краевые усло

вия будут

е22 = Т ц = 0

или

= (*21|>')' = 0.

Для

защемленного

края

= 0.

^ =

Решение полученного уравнения методом Галеркина дает

Аг ]

(е + 5 )

([(в +

5)* * ']'} ’ ЙС +

Аг |

(в +

{ )» ? * «

рЛ

(48)

= (* +

Е )/:

Л» =

( И - е ) ( 5 Ш

о;

з1па а соз2 а

1 —

л2 (л2 -|- сов2 а) *

А —

~М)2

\ 2

л2 (л2 — соз2 а)2

12 (I — V2)

/?0

з т 3 а (л3 + соз2 а) »

а — угол

полураствори

конуса;

/ — длина

образующей

оболочки;

е/ — расстояние

вдоль образующей от вершины

конуса до

меньшего

среза оболочки. Решение данной задачи получено Л. Ю. Поверусом и Р. К. Ряяметом [29].

Колебания конических оболочек

457

Результаты вычисления по формуле (48) безразмерной частоты

_1_

= ш/ ^ - Р ( 1 - у2) I 2

для опертой по краям усеченной оболоч и при V = 0,3, е = 0,5, т = 1 приведены в табл. 6.

							_ 1
	6.	Частоты <в* =			а /	Г п(1 — V8) 1 2		опертой	усеченной
	6.	Частоты <в* =			а /	- - — -------		опертой	усеченной
	конической оболочки				( с = “^—~ у “ =0,5,			V=0,3^	при различном
	числе п волн в окружном направлении (Я0 = /45 т а )
			{					^ -= 0 .0 0 3
			)— = 0,03					^ -= 0 .0 0 3
			'о					Х0
							а 0
	15	30	45		60	75	15	30	45	60	75
2	0,616	1,052	1,245	1,110		0,657	0,594	1,048	1,243	1,108	0,654
3	0,528	0,545	0,528	0.524		0,325	0,283	0.488	0,571	0,501	0,292
4	0,738	0,530	0,463	0,396		0,299	0.182	0,283	0,326	0,285	0,166
5	0,957	0,676	0,534	0,457		0,373	0,173	0,134	0,216	0,187	0,113
6	1,274	0,800	0,656	0,550		0,436	0,207	0,165	0,164	0.141	0,0928
7	1,705	0,928	0,758	0,631		0,526	0,242	0,172	0,157	0,132	0,0938
8	2,225	1,201	0,905	0,751		0,637	0,273	0,196	0,158	0.132	0,1057
9	2,822	1.488	1,085	0,894		0,783	0,319	0,222	0,178	0.148	0,1195
10	3,170	1,825	1,311	1,076		0,956	0,371	0,252	0.198	0,165	0,1307

Свободные колебания конических оболочек. Применение уравнений краевого эффекта. Неосесимметричные формы колебаний оболочек нулевой кривизны, соответствующие минимальной частоте, имеют в ок ружном направлении большой показатель изменяемости. Поэтому для определения этих форм колебаний можно использовать приближенные

уравнения		(46).	усеченной	конической оболочки	(хг ^ х ^	х2 =
Для	замкнутой
= I +	*х),	опертой	по краям,	решение уравнений	(46) проще	всего

искать, используя метод Галеркина. Аппроксимировать функции можно, например, при помощи рядов

го = с о з т с р С л з т °п ^х			;
	/1=1
Х - а ь щ ^ Л , , 81П - л ~			-
/	ЯП	хх \

Г " = _ г = 1 ’

458	Колебания оболочек
	Выбранные функции удовлетворяют лишь кинематическим условиям.

Динамические условия будут выполняться тем точнее, чем меньше будет

угол а.

Использование процедуры Галеркина приводит в одночленном приближении к следующему выражению для собственной частоты колебани”:

	+ 12(1—	/2		1~Е4			з (1 —Е2)		X
	+ 12(1—	V2)		8					X
		/I2 *б2 а		8			к
							к
X	1 - Е 6			2т2	\	(	1—Е3		1 -Е
X	10			;т2 а / \			6		2ап_ )+
	10			;т2 а / \			6		2ап_ )+
		т 4		4тг		\	1 - Е	X
	+( 51П4 а			з ш ?	а	/	2 ]	X
	х:	1— I*	1—Е3‘		,	3(Г=—Б)			(49)
	х:	10					«4		(49)
		10

Экспериментальная проверка показала, что формула (49) дает по грешность 10—15%. Эта задача рассмотрена В. Г. Годзевичем [16].

Влияние тангенциальных сил инерции. Учет тангенциальных сил инерции приводит к некоторому снижению частот преимущественно нзгибных форм колебаний и'к появлению--двух серий частот, которые соответствуют преимущественно тангенциальным формам колебаний. При этом снижение основной частоты может доходить до 15—20%. Это снижение тем существенней, чем меньшим числом волн в окружном направлении будет характеризоваться соответствующая форма колеба ний. При этом тангенциальные силы в осевом-и в окружном направле ниях неравноправны. На минимальнукгчастоту собственных колебаний наиболее существенное влияние оказывает учет инерции' в окружном направлении. Оценка влияния тангенциальных сил инерции рассмо трена Л. Г. Агеносовым [1 ] и* В. Е. Бреславским. Безразмерные пара метры частоты

0 - ^	) р ^	,
Р = - --------- ^	---------- ш 2 .

вычисленные при учете всех сил инерции (р) и при пренебрежении

тангенциальными силами	инерции р*	= 15°, V = 0,3,	=
= 0,003), приведены в табл.	7.

	Колебания конических						оболочек			459
7. Приведенные частоты			р = ш		о	2 р	( 1 __V 2 )
7. Приведенные частоты			р = ш			И0		----— защемленной
	по контуру конической оболочки при учете (р)
и пренебрежении (р*) тангенциальными силами инерции
	а = 15°,	г = 0 ,3 ,	/<о		=0,03,			Я0 =	/ $ т а
	Р	Р*							Р	Р*
2	0,0852	0,1214				7			0,9771	1,0058
3	0,0996	0,1012				8			1,6479	1,6888
4	0,1506	0,1543				9			2,6248	2,6828
5	0,2861	0,2955				10			3,9925	4,0718
6	0,5430	0,5621
Применение метода Ритца. Выражение для потенциальной энергии
деформации	конической	оболочки		имеет			вид
2я	ха
1/=4"1	а<р 1 { 1	[(вп + <%а)2-						2 (1-	V) (е11е22 -	<&)] +
0
~ЬО [(^11 Н“ ^22)^ — 2 (1 — V) 0*11^22									ДС51П а	(60)
Выражение для кинетической энергии							будет
		2я			х я
	т— г 1 * 1 * > 5 [ ( т г ) ’ +
										(51)
Пусть оболочка оперта
	ш = и2 =		Тп = М ц					= 0 ;		(52)

тогда для перемещений удобно выбрать следующие выражения:

и\ -= Ах (х зт		а)3 соз		тп (х — д^)	зт	лф;
				I
и2 =	А2 (х зт а)2 зт			пт (х— хх)	соз Лф;		(53)
т =	в ,	.	т	тп (х — Хх)		_
т =	Л3 (х з!п а)3 з		т	----- --------- — зт		лер.

Формулы (53) удовлетворяют, вообще говоря, лишь кинематическим граничным условиям (52), а в случае цилиндрической оболочки удо влетворяют также динамическим граничным условиям. Подстановка

460	Колебания оболочек
выражений (53) в формулы (50)		и	(51)	и применение	вариационного
принципа	Гамильтона приводит	к	уравнениям Лагранжа
	й_		=	0 (/ = 1. 2,	3).	(54)

Подставляя в однородную систему уравнений (54) выражения

А( = ас с08

и приравнивая определитель нулю, можно найти уравнение частот

со4 -}- ^2(о2

= 0 .

Эта задача рассмотрена Э. И. Григолюком [20]. Результаты вычисле ний минимальных значений безразмерной частоты

при различных углах полурастворах и отношениях Ко приведены

в табл. 8. В скобках приведены соответствующие числа п волн в окруж ном направлении.

						0(1 — V*) I '			колебаний
опертой конической оболочки						[ --------------------—			колебаний
опертой конической оболочки				при различных углах					полураствора а
		и отношениях —=—				(К0 = (з1па)
						/1
а						Яо
а
	0,03	0,02		0,01		0,005			0,002		0,001
3				0,141 (2)		0,0769 (2)		0,0474 (4)			0,0340 (5)
5		0,281	(2)	0,141 (2)		0,0967 (3)		0,0623 (5)			0,0448 (6)
10	0,419 (2)	0,281	(2)	0,193 (3)		0,138	(4)	0,0895 (6)			0,0656 (7)
15	0,419 (2)	0,335 (3)		0,236 (4)		0,169	(5)	0,112		(7)	0,0814 (8)
20	0,479 (3)	0,381	(3)	0,287 (5)		0,199	(5)	0,130 (7)			0,0950 (9)
26	0,519 (3)	0,432	(3)	0,311 (5)		0,223 (6)		0,148		(8)	0,107	(9)
30	0,562 (3)	0,467	(4)	0,337 (5)		0,244 (6)		0,161		(8)	0,119	(9)
35	0,607 (3)	0,499	(4)	0,362 (5)		0,264 (6)		0,174		(8)	0,128	(10)
40	0,652 (3)	0,529	(4)	0,386 (5)		0,282	(6)	0,187		(8)	0,138	(10)
45	0,693 (3)	0,559	(4)	0,408 (5)		0,299	(6)	0,198		(8)	0,147	(10)
50	0,729 (3)	0,586	(4)	0,430 (5)		0,315 (6)		0,210		(8)	0,156	(9)
55	0,757 (3)	0,614	(4)	0,452(6)		0,331	(6)		0,223	(8)	0,165	(9)
60	0,776 (3)	0,644 (4)		0,479 (6)		0,350(6)			0,231	(7)	0,172 (9)
65	0,789 (3)	0,688 (4)		0,493 (4)		0,361	(5)		0,243	(7)	0,182 (8)
70	0,809 (3)	0,696 (3)		0,504 (4)		0,376 (6)			0,256 (6)		0,194 (8)
75	0,877 (3)	0,701	(3)	0,548 (4)		0,400 (4)			0 276	(6)	0,207 (7)
80	0,891 (2)	0,810 (3)		0,553 (3)		0,432 (4)			0,298	(5)	0,229 (6)
85	0,963 (2)	0,779	(2)	0,643 (2)		0,488 (3)			0,358	(4)	0,283 (3)
87		0,988	(2)	0,671	(2)	0,564	(2)		0,400	(3)	0,322 (4)
	П р и м е ч а н и е .		В скобках		указано число волн					в окружном
направлении.

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 5746 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.5 Mб7Прочность и разрушение материалов..pdf
#
12.11.20233.07 Mб0Прочность и устойчивость статически неопределимых рам..pdf
#
12.11.202311.03 Mб7Прочность конструкций при малоцикловом нагружении..pdf
#
12.11.20239.81 Mб0Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояниях..pdf
#
12.11.202315.87 Mб6Прочность сварных соединений при переменных нагрузках..pdf
#
13.11.202324.79 Mб8Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3.pdf
#
12.11.20233.68 Mб2Прощай, Россия! Суждение научного инженера наедине с собой..pdf
#
12.11.202317.75 Mб9Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения..pdf
#
13.11.202324.47 Mб3Психоаналитические теории личности. Зигмунд Фрейд и постфрейдисты.pdf
#
12.11.2023642.14 Кб1Психология безопасности труда..pdf
#
20.11.20231.99 Mб2Психология делового общения.-1.pdf