книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

в перемещениях в упрощенной форме с учетом параметрических членов имеют вид (Д^,2 = 0)

В случае свободного опирания краев решение можно искать в виде

Формулу (26) можно представить также в виде ©2 = (4(1+в1<Рп .^ Я,ф22).

442 Колебания оболочек

Если в срединной поверхности оболочки действует сдвигающее усилие N1 2 , то формулу для частоты после дополнительных упрощений

При других значениях п кривые более вытянуты по горизонтали. Подробному исследованию влияния начальных усилий в срединной поверхности на собственные частоты колебаний посвящены работы

127, 371.

Влияние поперечных сдвигов и инерции вращения. Учет деформации сдвига и инерции вращения приводит к некоторому уточнению частот, найденных в рамках гипотез Кирхгофа:Лява. Это уточнение тем суще­ ственней, чем.меньше длина полуволны форм колебаний. Кроме того, появляются новые формы собственных колебаний, соответствующие более высоким частотам. Для получения уточненных дифференциаль­ ных уравнений вводим триортогональную систему координат: х — вдоль

“ »= м ( — )Г~) У ъ

свободных осесимметричных колебаний опертой цилиндрической обо­ лочки по трехмерной теории даны на рис. 15 сплошными линиями,

для сопоставления штриховыми линиями нанесены результаты вычисле­ ний по теории оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява.

КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Основные соотношения. Уравнения колебаний. Пусть срединная поверхность (рис. 16) сферической оболочки отнесена к географической системе координат ^ = 0,

*2 = Ф (в — угол широты; <р — угол дол­ готы). Параметры Ламе выразятся фор­ мулами

# 1 = /? ; н г — К 5Н1 0,

где К — радиус кривизны оболочки.

Упрощенные дифференциальные уравнения. При определении ча­ стот и форм свободных колебаний, для которых напряжениями изгиба можно пренебречь по сравнению с напряжениями растяжения срединной поверхности, можно использовать упрощенные уравнения — дифференциальные уравнения безмоментной теории оболочек:

(30)

Соотношения упругости также упрощаются:

Для отыскания преимущественно изгибных форм колебаний могут быть использованы другие упрощенные дифференциальные уравнения. Уравнения упрощают введением двух предположений: 1) влиянием тан­ генциальных сил инерции можно пренебречь; 2) вкладом тангенциаль­ ных смещений в изменение кривизн можно пренебречь. Последователь­ ное проведение этих гипотез и введение функции усилий х приводит к дифференциальным уравнениям

ОДДш + -1-Д х + р Л ^ = 0 ;

(31)

ДД% — К Дш = 0.

Связь усилий в срединной поверхности с функцией % н выра­ жение оператора Лапласа Д даются формулами

(32)

Иногда удобно исключить из системы (31) функцию усилий

Собственные частоты колебании сферических сегментов. Решение дифференциального уравнения (33), соответствующее свободным, ко­ лебаниям пологого сферического сегмента с частотой со, можно искать в виде

где г, ф — координаты точки в полярной системе координат. Подстав­

Но решение уравнения (35) является суммой решений дифферен­

При этом решения первого уравнения отражают статический изгиб сферического сегмента краевыми усилиями и моментами, решения второго уравнения затухают с удалением от края оболочки и характе­ ризуют динамический краевой эффект, решения третьего уравнения совпадают с формами свободных колебаний всюду за исключением области, прилегающей к краю.

Свободные формы колебаний удобно искать в виде

до (г, Ф) = / (г) соз гсф.

Тогда решения уравнений (36) будут иметь, соответственно, следу­ ющий вид:

Радиальные колебания замкнутой оболочки; сопоставление с точным решением. Для получения точного решения необходимо исходить из уравнений теории упругости. В этом случае компонент смещения в ра­ диальном направлении удовлетворяет уравнению

Решение дифференциального уравнения может быть записано в об­

В случае очень тонкого шара (гг <=* г2 ^ В) приближенное значение частоты может быть найдено в явном виде

Этот же результат получается при использовании уравнений теории оболочек.

Влияние деформации сдвига и инерции вращения на колебания сфе­ рических оболочек. Учет деформации поперечного сдвига и инерции вращения приводит к уточнению частот и форм колебаний, найденных на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Это уточнение тем существенней, чем меньше длина полуволн форм колебаний. Кроме того, появляются новые формы колебаний, соответствующие более высоким частотам. Пусть сферическая оболочка постоянной толщины Ни радиусом средин­ ной поверхности К отнесена к полярной системе координат (г, 0, <р). Решение ищем в форме

“в = Их + гфц иФ = и2 + грх; иг - ш.

ж+ ж е ‘ж +

В частном случае свободных колебаний замкнутой сферической

п— номер присоединенной функции Лежандра. Приведенная задача рассмотрена Прасадом [45].

Нелинейные колебания пологих сферических оболочек. Для изуче­ ния осесимметричных нелинейных колебаний пологих сферических оболочек может быть использован метод Бубнова-Галеркина. Пусть сферический сегмент отнесен к системе координат, которая в плане является полярной. Тогда уравнение срединной поверхности будет

Компоненты деформации выразятся формулами