книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

241

Следовательно,

dj(X(t)) = (Aa{)(X(t))dwa(t) + (Aj)(X(l))dt,

где оператор

(Л/)

определяется равенством (1.7). Тем самым дока­

зано, что X =

(X(t))

является Л-диффузией.

как

и в гла­

З а м е ч а н и е

1.2.

Такими же

рассуждениями,

ве IV, из единственности решепня уравнения

(1.1)

можно вывести

единственность Л-диффузии {Рх)Хем на W (М).

§ 2. Поток диффеоморфизмов

Для заданных векторных нолей Аае £(М), а =

0, 1, ..., г, в § 1

мы

строили

отображение

X =

(X (t, х, «;)): М X WJ э

(х, w) <-*■

~ Х ( ■, х, w)<^ W (М) .

Его можно также рассматривать как отобра­

жение [0, оо) X М X W j э (t, x,w)>-*X (t, х, w) e

M. Основная цель

настоящего

параграфа — показать, что отображение

x^M>-+X(t,

х, w) е М является локальным диффеоморфизмом

многообразия М

для

каждого

фиксированного

15s 0

и для

почти

всех

w таких,

что X(t, х, w) е М.

Сначала

мы рассмотрим случай

М = R 1.

Пусть о(х) =

(o/t(a:))s

e R d (g)Rd

и

b (х)

=

( b ' ( x ) ) е R ''— заданные

гладкие

функции

(т. е. С”°-функц1ш)

на

R', На(дг)И +

|Ь(я) I ^

К(\ +

Ы ) для неко­

ций оЪ и Ь‘

ограничены.

Пусть

X =

(X(t, х, w))

— единственное

решение уравнения

{ dX\ =

ога (Xt) dwa(t) +

v (Xt) dt,

\ X0 = x,

i =

1,2.........d,

определенное

на

пространстве (W j, Pw )

с потоком

(;?*<).

Как

мы

видели

в

главе

IV,

существует

единственное

решение

X = ( X ( t ,

х,

w))

и

EUX(t) I2} < оо

для

всех*)

t > 0.

Ниже

этот

результат

будет

усилен,

а

именно

будет

установлено,

что

E{\X(t)\v) <

оо для всех р > 1. В частности,

е =

оо п. н.

Прежде всего мы докажем лемму об аппроксимации решений

ломаными траекториями

(см. [118]). Пусть

(Pn{s)— k/2'\

если

s е

[к/2п,

(к + 1 ) / 2 "),

к = О, 1

, . . .

(2 .2 )

Л е м м а

2.1.

Пусть

А (я) = (Л„ (х)) е

Rm ® Rr

и

р(:г) =

= (^‘ (а:))е R - заданы и удовлетворяют следующим условиям:

(I) существует положительная константа К такая, что

| А (х) I] +

\Р (.г) \

К (1 +

|х |)

для всякого

х е

Rm;

§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

243

правая сторона стремится к нулю при п

в силу теоремы о ма­

жорируемой сходимости

и условия

(2.3).

В дальнейшем, для

простоты

обозначений, мы предполагаем,

что т =

1 и г = 1. Мы покажем, что

supЕ { sup \Fn(i)lP+4 <

о о .

(2.8)

n

J

Из (2.4)' имеем

Я (sup

|ГЯ Ю Г ” ) < * , [ £ ( sup

К

0 0 Г

1]

+

J

L

p+i

J

+ Е ( sup

j A(Yn(фn{u)))dw(u)

+ E |sup

^(r,,(9„(u)))duj

JJ

lo«s<f

0 <s-C(

для £ e[0,

T\ Согласно теореме

III-3.1 и неравенству Гёльдера

p+i

< K SE

l

( P + D /- 2

sup

j A(Yn(ф„ (u)))dw(u)

§A(Yn(<Pn(sWds

<

О < s < t

К5 J[l

E (|F „ (ф„(s))|p+])] ds,

< K, JI E [\A(Yn(фп(.9 ))) Г и ] ds <

1 +

EI sup

s

v \0

J (ЧЗМф* {u)))du

;л :в| я М Р (г я (фп(*)))|,,+1) * <

lo<s<i

0

t

< X 7 j [ l +

ЬМ\У„(Ф„(.9))1РКП * .

Следовательно,

0

J E [\ Yn(Ф„ (.9)) |P+I) dsj.

E | м р I Yn (s) | p + 1 j < K8^1 +

(2.9)

Е sup |Y

о о .

( 2. 10)

244

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Далее полагаем

и

о„

= inf{*; \Yn(t)\^N}

a

'

=

i n f {

f ; |

для всякого N > 0. Тогда для t е

[0, Т\

Е |

sup

|Yn(s) — Y (s) |PJ <

K6\E ( sup

|a„ (s) — a (s) |P1 +

| о с^ (Д ад Л а Л г

J

L 10<S<(

J

+

E {

sup

{A(Y„ (<p„ (ii))) — A(Y (u))}dw(u)

+

Kan

+ E j

sup

.[{Р(г„(ф„(и)))-р(УН}<ги

Д а „ Д(ТЛ

часть может быть оценена следующим

образом *):

«Л<*ПЛa'v

I

И

(Г„(фп (» )) ) -

0

^4 (У (s)) |р ds

thOn t\oy

|

+ £■

I

|Р(1"п(фп(*)))-Р(У(*))Г*

о

)

(«ДОчЛ^

|

< о (1) +

L *Я

J

|У„ (ф„ (*)) -

Y (*) Г d* <

Полагая для простоты $' = s /\ а* А стЛ> получаем

/^||Уп(ф« (0

) - ^

( о и <

и

<

К п (Е (| У(! (ф„ (s')) - Yn (s') |р) + Е (| У„ (s') -

У (s*)H)

E{\Yn(фп (s'))- Yn(s') |»'} < £ 1 2 [£ { |a„ (Ф/, (s')) - a„ (s') |P}

+

+ E { |A {Yn(ф„ (s'))) (w(s') - w(Фп (s'))) |v) +

_______________

+ £{1Р(П(фл(Л))(«'-ФДО)1р}1 = о(1)

*) L s

и L 'n — положительные константы, возможно, зависящ ие

от Л', а

о(1)

обозначает

величину,

стрем ящ ую ся к нулю при п -*• оо равномерпо по

t е

§ 2, ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

245

Ifj

sup

N

\У„(®)-У(*)\Р

1

N

\0 ^ s ^ t A o n

A a

t

<

0(1) + Ly J E ( I Yn (s A 0% A aw) -

Y (s Д o,T A aw) |p) ds.

0

-*■0

при

(2.11)

Отсюда можно заключить, что

Е\

sup

IY n {s) — Y (s)1p|

n - y o o

для всякого N > 0. Наконец,

El snp

1У„(я) —

Е

sup

y „(s )-y (s )| P

+

1о««<Т

N

N

0<s-4T/\on Да

+

E f sup

( |Yn (.v) |+

|У (s) \У>: а;У < T\ +

lo«s«r

j

+ E I

sup

(|УЯ(«)| +

|У(,)|)М

a-v < 2 4 <

lo<s«T

J

< £ j

sup

\ У „ ( « ) - У (* ) И

+

ДaN

J

+ 2EJ sup

(| Yn(s) |+ |У (5) |)PJ

sup

( |Yn(*) |+ 1У (#) |) >

ЛГ1 <

1 0 < » < T

0 < * 4 T

J

< £

sup r

T|yB(.v)-y(s)|p| +

\o<s^7'Aa;) ДоЛ

J

+

jf E {

snpr ( | Yn (s)| +

I У (*) l )p+1).

Из

(2.8),

(2.10)

и

(2.11)

теперь легко выводится,

что

E l

sup

|У„(в) — y(s)lp,l->0 при

п->- оо,

lo«s«r

/

Пусть

для

заданных a(z)

и b(x) Xn(t) =

(Х„({,

х, w)) — ре­

1

t

Xn(t) = x + $ оа (Хп(q>„(*))) die®(s) + j b (Xn(Ф„ (,))) dsx (2.12)

О

0

или, нокомпонентио,

г

*

* « ( 0 - * * + J ^ ( ^ . ( Ф „ ( * ') ) ^ ( в ) +

Jb‘ (X „ (Tn(в )))* ,

0

О

§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

247

i Y (t)= ( Yj(t, x, w)) — решение уравнения

t

t

Y (t) = I + j

Oa(X (s)) У (s) ditf* («) + J b' (X (*)) Y (s) ds.

(2.16)

дх'сх

- ( п нхп) {t> х, w))

определяется уравнением

t

“ J

(ф,*

(Ф„ C9))

(l<?) +

0

+ .f Ь' (Xn(фп

(Фп (*))ds +

t

о

+

(X* (Фп (s)))LiYjii(n

(% (s)) У [,(„) (фп(s)) dwa(s) +

0

f

+

I b" (x n(Ф„ (*)))*,<,<»> (<Pn (S)) Y h,{n)l

(ф„ (*)) * ,

(2.17)

0

//

о2

•

•

^2

Если

через

где OaН ад = —2—7 Pa И ,

b" (x)h

= —2— 6* (ж).

дх дх

Охдх1

a]ri2,(n) (0

обозначим сумму двух последних членов в правой частя

уравнения (2.17), то с учетом теоремы Ш-3.1

и соотношения

(2.15)

легко заключить, что

Е[

sup la)

j ,(n)(() — a.) j

(t)|r').~>0

при

re-*- с»

(2,18)

ue[o,T]1

l' -

1 2

1/

для всех

T >

0 и р > 1. Здесь

t

ajr ;2(0 =

J Pa (X ( s ) ) b ^ i (*) Y lj%(.9) dw* (a) +

0

l

Е / sup

при re с» (2.20)

US[0,T1

Якоби (У)(£)) =

^ ~ .Х 1(t, х, u?)J

удовлетворяет уравнению (в мат­

ричных обозначениях)

i

t

Y (t) =

/

+

j о'а(X (*)) Y (s) dw« (s) +

\ b’ (X (.s>)) Y (s) ds,

(2.26)

0

0

где Ъ задается

равенством (2.25). Легко

видеть, ято (2.26)

экви­

валентно уравнению

t

t

Y (t) = I

+

j

Oa (X (.s)) Y (S

о dtva(s) +

J b' (X (s)) Y (s)ds.

(2.26)'

0

0

Пусть теперь

Z (i) = (Zj (£))—

решение

уравнения*)

t

t

Z{t) =

I -

f Z (s) o'a(X (*)) о dwa(.5) -

J Z (s) b' (X («)) ds.

(2.27)

о

0

x — X(t, X(t,

X,

w ) ,

w) и x ~ X ( t ,

X(t, X,

w),

U’ ) для всякого X П.Н.

Таким образом,

это

отображение

является

диффеоморфизмом

Ru.

Л е м м а

2.2**).

Пусть X(t,

х,

и-) строится, кв*

и выше,

по

уравнению

\dXlt = oi(Xt) о dw«{t) -

fc* {X,)dt,

(2.28)

U

0 = x.

Тогда для каждого фиксированного Т > 0

X ( T - t , х, w) = X(t,

Х(Т, х,

u>), w)

(2.29)

б д я всякого

к х Pw-n. н.,

где

w

— другой

винеровский

процесс,, определенный равенством

w(t) — w{T — t) — w(T’),

( ) < £ < Г .

(2.30)