книги / Теория механизмов и механика систем машин

действием этой силы поршень и рука 3 перемещаются влево с постоянным ускорением и с возрастающей скоростью V32 (рис. 14.13, а). Ограничение хода поршня может осуществляться либо жестким упором без демпфера, либо упором с демпфером.

При остановке на упоре без демпфера скорость звена 3 должна мгновенно уменьшиться с некоторого конечного значения до нуля. При таком изменении скорости ускорение a32 стремится к бесконечности. Такая остановка звена называется жестким ударом. Она сопровождается большими динамическими

Рис. 14.12. Циклограммы командоаппарата и промышленного робота

а б

Рис. 14.13. Диаграмма работы пневмопривода при перемещении руки манипулятора: à — упор без демпфера; á — упор с демпфером

261

нагрузками на звенья механизма. Так как реальный манипулятор представляет собой упруго-инерционную систему, то эти нагрузки вызовут отскок звена 3 от упора, а также колебания всего механизма. Схват будет совершать колебания относительно заданного конечного положения. Время затухания этого процесса t (см. рис. 14.13, а) значительно снижает быстродействие ПР. Уменьшить эти колебания или вообще исключить их можно, обеспечив безударный останов, когда относительная скорость V32 и относительное ускорение a32 звеньев в момент останова равны нулю. Однако это осуществимо только в регулируемом приводе при контурном управлении. Кроме того, при безударном останове в конце хода относительная скорость близка к нулю, а следовательно, время перемещения схвата в требуемое положение значительно возрастает. Компромиссным решением является останов с мягким ударом, при котором относительная скорость в конце хода V32= 0, а ускорение ограничено некоторым допустимым значением a32 < [a].

В механизмах с цикловым управлением режим движения с мягким ударом обеспечивается установкой упоров с демпферами, гасящими кинетическую энергию руки. Расчет демпфера ведется из условия AΣn = 0, которое обеспечивается равенством за цикл движения работы движущей силы АFд3

и работы силы сопротивления демпфера АFс (рис. 14.13, б):

В этом выражении неизвестны две величины: сила сопротивления демпфера Fc и перемещение звена при демпфировании hд, одной из них задаются, вторую рассчитывают.

14.3.2. Пример построения динамической модели переходных процессов манипулятора

Модель переходных процессов рассмотрим на примере манипулятора МРЛ-901П.

Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 14.14, на котором обозначены q1, q2, q3 смещение звеньев манипулятора вследствие деформации; α3 угол изгиба основания консоли вследствие деформации; m сосредоточенная масса; l плечо приложения сосредоточенной массы.

Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень, обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная масса m.

262

Исходными данными для расчета такой модели будут значение подвижной массы m, плечо приложения этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.

При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение А и Б соответ-

ственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движение.

Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты q1 , q2 и q3 . Для описания данной модели

где T кинетическая энергия системы; Q обобщенная сила; k количество степеней свободы.

Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:

263

Потенциальную энергию q1,q2 ,q3 системы определим по формуле

и обобщенные силы также обращаются в нуль.

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы F1, F2 , …, Fn . Потенциальная энергия в состоянии

устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил Fi отклонении от него выражается квадратичной формой ви-

Приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях q1 ,q2 и q3 , получаем три уравнения:

264

где Q1* , Q2* и Q3* обобщенные силы для системы сил F1, F2 , …, Fn , уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия q1 q2 q3 0 . Заменяя в (14.22) производные

потенциальной энергии их выражениями согласно (14.20), получим систему уравнений, определяющих значение координат q1 , q2 и q3 в положении

равновесия:

265

На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол3 мал, и координаты массы m запишем так: q q1 q2 q3 . Поэтому на ос-

новании кинетостатики можем записать

где Q* обобщенная сила; коэффициент сопротивления, пропорцио-

нальный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.

Сила Q* действует на все звенья манипулятора, следовательно:

Коэффициенты Cij в формуле (14.23) будем определять из того, что со-

гласно равенству (14.27) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим, что сначала Q* действует только по координате q1 , затем только по координате q2 и наконец только по координате q3 , тогда выражение (14.23) можно переписать:

266

Коэффициенты 11 , 22 и 33 определяют податливость звеньев манипулятора по координатам q1 , q2 и q3 соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем

где C1 , C2 и C3 – жесткости звеньев по координатам q1 , q2 и q3 соответст-

венно.

Подставляя (14.30), (14.27) и (14.26) в формулы (14.24), получим:

Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:

В манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу. Чтобы в конечном итоге определить положение массы m, координаты которой q q1 q2 q3 , достаточно сложить уравнения в системе (14.31):

где С суммарная жесткость звеньев манипулятора.

Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.

Преобразуя (14.34), получаем уравнение, описывающее переходный процесс в системе

267

где v0 – скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конеч-

ную точку.

Выражение (14.35) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения

268

Подставляя (14.42) в уравнение (14.37) и учитывая (14.39), имеем:

269

Преобразуя выражение (14.46), получим решение уравнения (14.35):

Прологарифмируем выражение (14.47), предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:

где допустимая погрешность позиционирования.

Преобразуя (14.48), получим выражение для определения времени переходного процесса: