Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Теория механизмов и механика систем машин

..pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
20.05 Mб
Скачать

решение которого обычно ищут в виде

 

x e t .

(9.32)

Постоянная α определяется из условия, что решение (9.32) удовлетворяет уравнению (9.31). Определяя dx/dt, d2x/dt2 и подставляя их выражения в уравнение (9.31), получим

2 2n 2

0 ,

(9.33)

 

c

 

 

откуда следует, что

 

 

 

n

2 2 .

(9.34)

 

 

c

 

В решении (9.34) при n < ωc, что соответствует случаю, когда силы демпфирования достаточно малы, получим два комплексных корня α1 = – n + iβ

и α2 = – n iβ (при

2

n2

и i

1 ). Подставляя выражения для них

 

c

 

 

 

в решение (9.32), найдем частные решения. Общее решение получим как сумму частных решений в виде

x e nt C1 cos t C2 sin t .

(9.35)

Из анализа полученного выражения следует, что при действии демпфирующей силы период колебаний возрастает. При n << ωc это возрастание незначительно и может не учитываться. Множитель e–nt в зависимости (9.35) убывает с ростом t. Следовательно, колебания при действии демпфирующей силы затухают со временем (9.10). Определяя постоянные в выражении (9.35), получим после преобразования выражение амплитуды колебаний при действии демпфирующей силы

x e nt x0 cos t dx dt nx0 sin t .

(9.36)

Если в выражении (9.34) n2 2c , то оба корня уравнения – действительные числа. Тогда получим решение

x C1e 1t C2e 2t ,

которое не содержит периодических членов. Следовательно, при достаточно больших значениях демпфирующих сил колебаний звена нет.

9.6.Демпфирование вынужденных колебаний звеньев

Вмеханизмах со сложными кинематическими схемами и сложными конструкциями звеньев трудно выделить источник силы, вызывающей вынужденные колебания. Поэтому в конструктивную схему механизма вводят

201

специальные устройства – демпферы (гасители). С учетом демпфирующих сил для вынужденных колебаний звеньев получим

d 2 x

dx

2

(9.37)

dt

2

2n

 

ct qsin вt ,

 

dt

 

 

где qsin вt – закон изменения силы, вызывающей вынужденные колебания. Общим решением дифференциального уравнения (9.37) будет выражение

x e nt C1 cos t C2 cos t M sin вt N cos вt .

(9.38)

Последние два слагаемых в уравнении (9.38) соответствуют частному решению

x M sin ct N cos ct

(9.39)

для вынужденных колебаний звеньев. Подставляя значения амплитуды для вынужденных колебаний из (9.39) в выражение (9.37), после преобразований найдем

M q c2

в2 c2 в2 4n2 в2 ;

(9.40)

N 2qn в

c2 в2 4n2 в2 .

(9.41)

После преобразований получим выражение для амплитуды вынужден-

ных колебаний

 

 

 

 

 

 

 

x F / C sin ct

1 в2 c2 2 4n2 в2 c4 ,

(9.42)

где F/C – статическая деформация; – сдвиг фаз собственных и вынужден-

ных колебаний; arctg

 

2 в

 

.

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

в

 

 

 

kд – динамический коэффициент при действии демпфирования;

 

kд

 

 

 

 

1

.

 

 

1 в2

c2 2 4n2 в2 c4

 

Динамический коэффициент при действии демпфирования меняется в широких пределах в зависимости от соотношения частот собственных

ивынужденных колебаний. Дифференцируя выражения для kд по (ωв / ωс)

иприравнивая производную к нулю, получим выражение для максимального значения динамического коэффициента.

202

10. УРАВНОВЕШИВАНИЕ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

10.1. Общие сведения

Большинство звеньев рычажных механизмов совершает вращательное, поступательное или плоское движение. Звенья, совершающие плоское движение, входят в поступательные и вращательные пары.

К таким звеньям относятся шатуны двигателей внутреннего сгорания. Наиболее тяжёлые их части, кривошипные и поршневые головки, при решении задачи уравновешивания разделяют (одну из них относят к кри-

вошипу, другую – к поршню) и вместе с ними уравновешивают.

Для вала, как для ротора, определяется масса противовеса. Задача уравновешивания поршня и поршневой головки шатуна сложнее.

Если допустимы большие габариты, можно расположить цилиндры симметрично (рис. 10.1), и силы инерции попарно уравновесятся.

Рис. 10.1. Кинематическая схема компрессора

В высокооборотных двигателях внутреннего сгорания силы инерции поршней уравновешивают противовесами на зубчатых колёсах, вращающимися на валу двигателя (рис. 10.2).

Поршень движется по закону

S = r (l – cosφ + 0,5λsin²φ),

где r – длина кривошипа; l – длина шатуна; λ = l/r. Скорость поршня

V = ds/dt = ωr (sinφ + cos2φ),

ускорение поршня

a = /dt = ω2r (cosφ + λcos2φ).

Сила инерции поршня и присоединённой к нему головки шатуна, как и их ускорение, содержит две составляющие, называемые силой инерции первого порядка

F1И mr 2 cos

203

и силой инерции второго порядка

F2И mr 2 cos2 .

Система противовесов, которая их уравновешивает, показана на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Система противовесов

Противовесы массой m5 вращаются в разные стороны с угловой скоростью кривошипа, противовесы массой m6 – со скоростью вдвое большей.

Вертикальные их составляющие уравновешивают друг друга, горизонтальные – силы инерции поршня. На реальных двигателях система компактна.

На стационарных машинах силы инерции всех вращающихся звеньев уравновешивают противовесами, их размещение показано на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Уравновешивание вращающихся звеньев на стационарных машинах

Центры масс кривошипа и коромысла с противовесами лежат в неподвижных точках О1 и О3. Шатун уравновешен частично.

204

10.2. Статическое уравновешивание рычажных механизмов

Если главный вектор инерции FS = 0, то такой механизм называется статически уравновешенным. Если главный момент сил инерции МS = 0, то механизм называется моментно-уравновешенным.

Рассмотрим случай, когда надо уравновесить механизм статически, т.е. FS = 0 (рис. 10.4, звенья 14). Этого можно добиться только тогда, когда aS = 0, так как S A, FS = –maS, где aS – ускорение центра масс S звена.

Когда центр масс совмещён с A, то он становится неподвижным. Этого добиваются с помощью двух противовесов, один из которых устанавливают на продолжении шатуна, а другой – на продолжении кривошипа.

Для того чтобы рассчитать массы противовесов, применяют метод замещающих масс, суть которого заключается в том, что масса каждого звена условно распределяется по двум точкам (рис. 10.5).

Рис. 10.4. Статическое уравновешивание

Рис. 10.5. Расчет массы противовесов

При этом масса выбранного звена разносится по точкам A и B так, чтобы положение центра масс не изменилось.

m = mA + mB,

lAB = lAS + lBS,

mA lAS = mB lBS.

Масса 3-го звена сосредотачивается в точке С (рис. 10.6)

Масса 2-го звена распределяется по шарнирам В и С. Если на продолжении звена 2 поставить противовес массой mп2 на расстоянии от точки В,

равном lп2 , то центр масс звеньев 2 и 3 переместится в точку В, при этом mп2 lп2 = (m2C + m3C) lBC.

205

В этом случае либо задаются массой противовеса и определяют lп2 , либо задаются lп2 и определяют массу противовеса

mп1lп1 = (m1B + mп2 + m2B + m2C + m3C) lAB.

Рис .10.6. Сосредоточение массы 3-го звена в точке Ñ

После всех указанных мероприятий центр масс переместится в точку A, однако не всегда конструктивно можно установить противовес на продолжении шатуна, поэтому ограничиваются установкой противовеса на звене l. Тогда центр масс системы смещают на линию AC, и этот центр масс перемещается с постоянным ускорением а = const.

В этом случае механизм – частично статически уравновешенный (рис. 10.7), его нежелательно устанавливать на высоком фундаменте, так как главный вектор сил инерции создаёт опрокидывающий момент, что недопустимо.

Рис. 10.7. Частично статически уравновешенный

Рис. 10.8. Четырехшарнирный механизм

механизм

 

В четырёхшарнирном механизме (рис. 10.8) центр масс системы разносится по точкам A и D, а противовесы устанавливаются на продолжении звеньев 1 и 3.

206

11.УРАВНОВЕШИВАНИЕ РОТОРОВ

Вмашиностроении и приборостроении любое вращающееся тело называют ротором (шкивы, зубчатые колеса, звездочки цепных передач, соединительные муфты, маховики, диски сцепления, шлифовальные круги, колеса автомобиля, диски турбин и т.п.). Роторы многих приборов вращаются с частотой 75 тыс. об/мин; роторы центрифуг, предназначенных для получения биологических эмульсий, имеют частоту вращения 500 тыс. об/мин. При конструировании таких роторов необходимо решить задачи динамического синтеза, связанные с распределением масс по условиям уменьшения динамических реакций в опорах ротора.

11.1.Статическая неуравновешенность ротора

Рассмотрим двухопорный ротор, вращающийся относительно оси OZ (рис. 11.1) с угловой скоростью и угловым ускорением .

Рис. 11.1. Схема двухопорного ротора

В точках O1, O2 расположены опоры ротора. Выберем систему координат O1XYZ, вращающуюся вместе с ротором. Положение элементарной массы dm в теле ротора определим радиус-вектором r , проведенным из начала координат.

Положение этой массы можно характеризовать и вектором e , который является кратчайшим расстоянием до оси вращения. Вектор e называется эксцентриситетом неуравновешенной массы. Произведение массы на ее эксцентриситет называется элементарным дисбалансом: dD e dm .

Элементарный дисбаланс направлен по эксцентриситету. Через Fo1x , Fo1 y , Fo2 x , Fo2 y обозначены проекции динамических реакций в опорах ротора.

207

Измеханикиизвестновыражениедлясилыинерцииэлементарноймассы:

 

 

 

r r dm .

(11.1)

dF

 

 

 

 

 

Распишем проекции векторов, входящих в выражение (11.1):

 

 

: 0;0; ; r : x; y; z ; : 0;0; .

 

(11.2)

 

 

 

 

получим

 

 

Для проекций вектора dF

 

 

 

 

y 2 x dm; x 2 y dm; 0 .

(11.3)

dF

 

 

 

 

 

Интегрируя по всему объему, определим проекции силы инерции:

Fx dFx ydm 2 xdm m ys 2 xs ,

(11.4)

m

m

m

 

Fy dFy xdm 2 ydm m xs 2 xs ,

(11.5)

m

m

m

 

 

 

Fz = 0,

(11.6)

где xs, ys – координаты центра масс ротора; m – масса ротора. Далее получаем модуль вектора:

F

F 2 x F 2 y m xs2 ys2

4 2

mecm

4 2 .

(11.7)

Произведение массы ротора на эксцентриситет его центра масс называется дисбалансом ротора D me. Вектор F – главный вектор сил инер-

ции ротора, он приложен в его центре масс S.

Таким образом, статическая неуравновешенность ротора характеризуется наличием дисбаланса его массы или смещением центра масс с оси вращения. Возникающий при этом вектор F в общем случае не совпадает по направлению с вектором дисбаланса D . При постоянной частоте вращения направления этих векторов совпадают.

11.2. Моментная неуравновешенность ротора

Момент силы инерции элементарной массы относительно начала координат находим из выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.8)

 

 

 

dM

r dF .

 

 

С учётом (11.2), (11.3) получаем его проекции:

 

 

 

 

 

:[ z x dm 2

y z dm

,

 

y z dm 2

x z dm

 

,

dM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 dm].

208

Проинтегрировав в проекциях, найдём:

M x dM x x z dm 2 y z dm .

(11.9)

m

m

m

 

M y dM y y z dm 2 x z dm .

(11.10)

m

m

m

 

M z dM z

x2 y2 dm .

(11.11)

 

m

m

 

Интегралы в последних выражениях представляют собой центробежные Jxz, Jyz и осевой Jz моменты инерции. Получаем:

M x Jxz J yz 2 .

(11.12)

M y J yz Jxz 2 .

(11.13)

M z Jz .

(11.14)

Модуль главного момента M сил инерции ротора находится из выражения

M

M x2 M y2

Jxz2 J yz2

4 2 M D 4 2 ,

(11.15)

где M D – модуль главного момента дисбалансов ротора; M D

J xz2 J yz2 .

Таким образом, моментная неуравновешенность ротора характеризуется наличием главного момента дисбалансов, направленного перпендикулярно оси вращения.

Величина и направление главного вектора сил инерции F не зависят от центра приведения элементарных сил, а величина и направление главного момента сил инерции M зависят (на рис. 11.1 он приложен в точке O1).

Для выделения проекций массово-геометрических характеристик из проекций силовых (11.4), (11.5) и моментных характеристик (11.12), (11.13) достаточно принять 1 (аналог скорости, безразмерная величина) и 0 (аналог ускорения). При этих условиях получим

 

Dx mxs ;

Dy mys .

(11.16)

 

MDx J yz ;

MDy J xz .

(11.17)

Если равны

нулю массогеометрические характеристики

( Dx 0 ;

Dy 0 ; MDx 0 ;

MDy 0), то нулю равны главный вектор сил инерции

и главный момент сил инерции ротора.

209

Следовательно, условия, при которых проекции динамических реакций в опорах ротора будут равны нулю, запишутся в виде

xs 0;

ys 0;

J xz 0;

J yz 0.

(11.18)

Это означает, что ось вращения ротора должна быть главной центральной осью. Момент M z Jz непосредственно на динамические реакции не

влияет, и его можно не принимать во внимание.

Виды неуравновешенности ротора можно различать по его массогеометрическим характеристикам:

– при статической неуравновешенности ротора

xs 0;

ys 0;

J xz 0;

J yz 0;

(11.19)

– при моментной неуравновешенности

xs 0;

ys 0;

J xz 0;

J yz 0;

(11.20)

– при динамической неуравновешенности

xs 0;

ys 0;

J xz 0;

J yz 0.

(11.21)

Итак, неуравновешенность – это состояние ротора, отличающееся таким распределением масс, которое во время вращения вызывает переменные нагрузки в опорах ротора. Мерой статической неуравновешенности является дисбаланс ротора D, мерой моментной неуравновешенности – главный вектор дисбаланса MD.

11.3.Приведение неуравновешенности ротора

кдвум плоскостям коррекции

Всякий ротор имеет множество дисбалансов, расположенных в различных плоскостях вращения. Выполняя уравновешивание ротора, можно было бы каждый из этих дисбалансов уменьшить до определённого значения. Для этого надо создавать в теле ротора дополнительные дисбалансы, направленные противоположно исходным дисбалансам, что обеспечивается постановкой дополнительных масс, которые называются корректирующими. Такой путь приводит к значительному увеличению массы ротора, поэтому применим другой метод.

Выберем в роторе три плоскости П, П1, П2 (рис. 11.2), перпендикулярные оси вращения. Подвижную систему координат OXYZ поместим в плоскость П.

210